2.1 परिचय

जैसा कि हम जानते हैं, हम 1, 2, 3, 4,.. का उपयोग तब करते हैं जब हम गिनना शुरू करते हैं। जब हम गिनती शुरू करते हैं तो ये स्वाभाविक रूप से आती हैं। इसलिए, गणितज्ञ गिनती की संख्याओं को प्राकृत संख्याएँ कहते हैं।

पूर्ववर्ती और परवर्ती

किसी भी प्राकृत संख्या को देखते हुए, आप उस संख्या में 1 जोड़ सकते हैं और अगली संख्या प्राप्त कर सकते हैं अर्थात आप उसका परवर्ती प्राप्त करते हैं।

16 का परवर्ती $16+1=17$ है, 19 का $19+1=20$ है और इसी तरह आगे।

संख्या 17 से पहले 16 आती है, हम कहते हैं कि 17 का पूर्ववर्ती $17-1=16$ है, 20 का पूर्ववर्ती $20-1=19$ है, और इसी तरह आगे।

ये कीजिए

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 के पूर्ववर्ती और परवर्ती लिखिए।
2. क्या कोई ऐसी प्राकृत संख्या है जिसका कोई पूर्ववर्ती नहीं है?
3. क्या कोई ऐसी प्राकृत संख्या है जिसका कोई परवर्ती नहीं है? क्या कोई अंतिम प्राकृत संख्या है?

संख्या 3 का एक पूर्ववर्ती और एक परवर्ती है। 2 के बारे में क्या? परवर्ती 3 है और पूर्ववर्ती 1 है। क्या 1 का भी एक परवर्ती और एक पूर्ववर्ती है?

हम अपने स्कूल में बच्चों की संख्या गिन सकते हैं; हम एक शहर में लोगों की संख्या भी गिन सकते हैं; हम भारत में लोगों की संख्या गिन सकते हैं। पूरी दुनिया में लोगों की संख्या भी गिनी जा सकती है। हो सकता है हम आकाश में तारों की संख्या या अपने सिर के बालों की संख्या न गिन पाएं, लेकिन अगर हम सक्षम हों, तो उनके लिए भी एक संख्या होगी। हम तब ऐसी संख्या में एक और जोड़ सकते हैं और एक बड़ी संख्या प्राप्त कर सकते हैं। उस स्थिति में हम दो सिरों के बालों की संख्या भी लिख सकते हैं।

अब शायद यह स्पष्ट है कि कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है। ऊपर साझा किए गए इन प्रश्नों के अलावा, और भी कई ऐसे प्रश्न हैं जो हमारे मन में आ सकते हैं जब हम प्राकृत संख्याओं के साथ काम करते हैं। आप ऐसे कुछ प्रश्न सोच सकते हैं और उन पर अपने दोस्तों के साथ चर्चा कर सकते हैं। हो सकता है आप उनमें से कई के उत्तर स्पष्ट रूप से न जानते हों!

2.2 पूर्ण संख्याएँ

हमने देखा है कि प्राकृत संख्याओं में संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं है। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में हम 1 के पूर्ववर्ती के रूप में शून्य जोड़ते हैं।

प्राकृत संख्याओं के साथ शून्य मिलकर पूर्ण संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं।

ये कीजिए

1. क्या सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ भी हैं?
2. क्या सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ भी हैं?
3. सबसे बड़ी पूर्ण संख्या कौन सी है?

आपकी पिछली कक्षाओं में आपने संख्याओं पर सभी मूल संक्रियाएँ जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग करना सीखा है। आप यह भी जानते हैं कि समस्याओं पर उन्हें कैसे लागू किया जाता है। आइए हम उन्हें एक संख्या रेखा पर आज़माएँ। इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, आइए जानें कि संख्या रेखा क्या है!

2.3 संख्या रेखा

एक रेखा खींचिए। उस पर एक बिंदु अंकित कीजिए। उसे 0 नाम दीजिए। 0 के दाईं ओर एक दूसरा बिंदु अंकित कीजिए। उसे 1 नाम दीजिए।

0 और 1 नामांकित इन बिंदुओं के बीच की दूरी को इकाई दूरी कहा जाता है। इस रेखा पर, 1 के दाईं ओर और 1 से इकाई दूरी पर एक बिंदु अंकित कीजिए और उसे 2 नाम दीजिए। इस तरह रेखा पर इकाई दूरी पर बिंदुओं को $3,4,5, \ldots$ के रूप में नामांकित करते जाइए। आप इस तरह से दाईं ओर किसी भी पूर्ण संख्या पर जा सकते हैं।

यह पूर्ण संख्याओं के लिए एक संख्या रेखा है।

बिंदु 2 और 4 के बीच की दूरी क्या है? निश्चित रूप से, यह 2 इकाई है। क्या आप बिंदु 2 और 6, बिंदु 2 और 7 के बीच की दूरी बता सकते हैं?

संख्या रेखा पर आप देखेंगे कि संख्या 7, 4 के दाईं ओर है। यह संख्या 7, 4 से बड़ी है, अर्थात $7>4$। संख्या 8, 6 के दाईं ओर स्थित है और $8>6$। ये अवलोकन हमें यह कहने में मदद करते हैं कि किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं में से, दूसरी संख्या के दाईं ओर वाली संख्या बड़ी संख्या होती है। हम यह भी कह सकते हैं कि बाईं ओर वाली पूर्ण संख्या छोटी संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, $4<9 ; 4$, 9 के बाईं ओर है। इसी तरह, $12>5 ; 12$, 5 के दाईं ओर है।

10 और 20 के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

संख्या रेखा पर 30, 12, 18 अंकित कीजिए। कौन सी संख्या सबसे दूर बाईं ओर है? क्या आप 1005 और 9756 में से बता सकते हैं कि कौन सी संख्या दूसरी संख्या के सापेक्ष दाईं ओर होगी।

संख्या रेखा पर 12 के परवर्ती और 7 के पूर्ववर्ती को स्थित कीजिए।

संख्या रेखा पर जोड़

पूर्ण संख्याओं का जोड़ संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। आइए 3 और 4 के जोड़ को देखें।

3 से शुरू करें। चूंकि हम इस संख्या में 4 जोड़ते हैं, इसलिए हम दाईं ओर 4 छलांग लगाते हैं; 3 से 4, 4 से 5, 5 से 6 और 6 से 7 जैसा ऊपर दिखाया गया है। चौथी छलांग में अंतिम \to की नोक 7 पर है।

3 और 4 का योग 7 है, अर्थात $3+4=7$।

ये कीजिए

संख्या रेखा का उपयोग करके $4+5$; $2+6 ; 3+5$ और $1+6$ ज्ञात कीजिए।

संख्या रेखा पर घटाव

दो पूर्ण संख्याओं का घटाव भी संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। आइए $7-5$ ज्ञात करें।

7 से शुरू करें। चूंकि 5 घटाया जा रहा है, इसलिए बाईं ओर 1 इकाई की 1 छलांग के साथ बढ़ें। ऐसी 5 छलांग लगाएं। हम बिंदु 2 पर पहुंचते हैं। हमें $7-5=2$ प्राप्त होता है।

ये कीजिए

संख्या रेखा का उपयोग करके $8-3$; $6-2 ; 9-6$ ज्ञात कीजिए।

संख्या रेखा पर गुणा

अब हम संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओं का गुणा देखते हैं।

आइए $4 \times 3$ ज्ञात करें।

0 से शुरू करें, एक बार में 3 इकाई दाईं ओर बढ़ें, ऐसे 4 चल बनाएं। आप कहाँ पहुँचते हैं? आप 12 पर पहुँचेंगे। तो, हम कहते हैं, $3 \times 4=12$।

ये कीजिए

संख्या रेखा का उपयोग करके $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 2.1

1. 10999 के बाद आने वाली तीन प्राकृत संख्याएँ लिखिए।

2. 10001 से ठीक पहले आने वाली तीन पूर्ण संख्याएँ लिखिए।

3. सबसे छोटी पूर्ण संख्या कौन सी है?

4. 32 और 53 के बीच कितनी पूर्ण संख्याएँ हैं?

5. निम्नलिखित के परवर्ती लिखिए:

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. निम्नलिखित के पूर्ववर्ती लिखिए:

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. निम्नलिखित संख्याओं के प्रत्येक युग्म में, बताइए कि कौन सी पूर्ण संख्या संख्या रेखा पर दूसरी संख्या के बाईं ओर स्थित है। उन्हें उचित $sign(>,<)$ के साथ भी लिखिए।

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य $(T)$ हैं और कौन से असत्य $(F)$ हैं?

(a) शून्य सबसे छोटी प्राकृत संख्या है।
(b) 400, 399 का पूर्ववर्ती है।
(c) शून्य सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
(d) 600, 599 का परवर्ती है।
(e) सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं।
(f) सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ हैं।
(g) दो अंकों की संख्या का पूर्ववर्ती कभी भी एक अंक की संख्या नहीं होता है।
(h) 1 सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
(i) प्राकृत संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं है।
(j) पूर्ण संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं है।
(k) पूर्ण संख्या 13, 11 और 12 के बीच स्थित है।
(l) पूर्ण संख्या 0 का कोई पूर्ववर्ती नहीं है।
(m) दो अंकों की संख्या का परवर्ती हमेशा दो अंकों की संख्या होता है।

हमने क्या चर्चा की?

1. संख्याएँ $1,2,3, \ldots$ जिनका उपयोग हम गिनती के लिए करते हैं, प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं।

2. यदि आप एक प्राकृत संख्या में 1 जोड़ते हैं, तो हम उसका परवर्ती प्राप्त करते हैं। यदि आप एक प्राकृत संख्या में से 1 घटाते हैं, तो आप उसका पूर्ववर्ती प्राप्त करते हैं।

3. प्रत्येक प्राकृत संख्या का एक परवर्ती होता है। 1 को छोड़कर प्रत्येक प्राकृत संख्या का एक पूर्ववर्ती होता है।

4. यदि हम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में संख्या शून्य जोड़ते हैं, तो हमें पूर्ण संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है। इस प्रकार, संख्याएँ $0,1,2,3, \ldots$ पूर्ण संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं।

5. प्रत्येक पूर्ण संख्या का एक परवर्ती होता है। शून्य को छोड़कर प्रत्येक पूर्ण संख्या का एक पूर्ववर्ती होता है।

6. सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं, लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ नहीं हैं।

7. हम एक रेखा लेते हैं, उस पर एक बिंदु अंकित करते हैं और उसे 0 नाम देते हैं। फिर हम 0 के दाईं ओर, समान अंतराल पर बिंदु अंकित करते हैं। उन्हें $1,2,3, \ldots$ के रूप में नाम देते हैं। इस प्रकार, हमारे पास एक संख्या रेखा होती है जिस पर पूर्ण संख्याएँ निरूपित होती हैं। हम संख्या रेखा पर जोड़, घटाव और गुणा की संख्या संक्रियाएँ आसानी से कर सकते हैं।

8. जोड़ संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ने के अनुरूप है, जबकि घटाव बाईं ओर बढ़ने के अनुरूप है। गुणा शून्य से शुरू करके समान दूरी की छलांग लगाने के अनुरूप है।