२.१ परिचय

जसे आपल्याला माहित आहे, आपण मोजणी सुरू करताना 1, 2, 3, 4,.. वापरतो. आपण मोजायला सुरुवात करतो तेव्हा त्या स्वाभाविकपणे येतात. म्हणून, गणितज्ञ मोजणीच्या संख्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.

पूर्ववर्ती आणि उत्तरवर्ती

कोणतीही नैसर्गिक संख्या दिली असता, त्या संख्येत 1 मिळवून तुम्हाला पुढची संख्या मिळते म्हणजेच तुम्हाला तिचा उत्तरवर्ती मिळतो.

16 चा उत्तरवर्ती $16+1=17$ आहे, 19 चा $19+1=20$ आहे आणि असेच.

17 च्या आधी 16 येते, आपण म्हणतो की 17 चा पूर्ववर्ती $17-1=16$ आहे, 20 चा पूर्ववर्ती $20-1=19$ आहे, आणि असेच.

हे करून पहा

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 यांचे पूर्ववर्ती आणि उत्तरवर्ती लिहा.
2. अशी काही नैसर्गिक संख्या आहे का जिचा कोणताही पूर्ववर्ती नाही?
3. अशी काही नैसर्गिक संख्या आहे का जिचा कोणताही उत्तरवर्ती नाही? शेवटची नैसर्गिक संख्या आहे का?

संख्या 3 ला एक पूर्ववर्ती आणि एक उत्तरवर्ती आहे. 2 बद्दल काय? उत्तरवर्ती 3 आहे आणि पूर्ववर्ती 1 आहे. 1 ला उत्तरवर्ती आणि पूर्ववर्ती दोन्ही आहेत का?

आपण आपल्या शाळेतील मुलांची संख्या मोजू शकतो; आपण शहरातील लोकसंख्याही मोजू शकतो; आपण भारतातील लोकसंख्याही मोजू शकतो. संपूर्ण जगातील लोकसंख्याही मोजता येऊ शकते. आपण कदाचित आकाशातील ताऱ्यांची संख्या किंवा आपल्या डोक्यावरील केसांची संख्या मोजू शकत नाही, पण जर आपल्याला ती मोजता आली तर त्यांच्यासाठीही एक संख्या असेल. मग आपण अशा संख्येत आणखी एक मिळवून एक मोठी संख्या मिळवू शकतो. त्या परिस्थितीत आपण दोन डोक्यांवरील एकूण केसांची संख्याही लिहू शकतो.

आता कदाचित हे स्पष्ट झाले आहे की सर्वात मोठी संख्या अस्तित्वात नाही. वर सामायिक केलेल्या या प्रश्नांव्यतिरिक्त, नैसर्गिक संख्यांसोबत काम करताना आपल्या मनात आणखी अनेक प्रश्न येऊ शकतात. तुम्ही असे काही प्रश्न विचार करू शकता आणि ते तुमच्या मित्रांशी चर्चा करू शकता. त्यापैकी अनेकांची उत्तरे तुम्हाला स्पष्टपणे माहिती नसतील!

२.२ पूर्ण संख्या

आपण पाहिले आहे की नैसर्गिक संख्यांमध्ये 1 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही. नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये आपण 1 चा पूर्ववर्ती म्हणून शून्य मिळवतो.

नैसर्गिक संख्या आणि शून्य मिळून पूर्ण संख्यांचा संच तयार होतो.

हे करून पहा

1. सर्व नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्याही आहेत का?
2. सर्व पूर्ण संख्या नैसर्गिक संख्याही आहेत का?
3. सर्वात मोठी पूर्ण संख्या कोणती?

तुमच्या मागील इयत्तांमध्ये तुम्ही संख्यांवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार अशा सर्व मूलभूत क्रिया करायला शिकलात आहात. तसेच त्या समस्यांवर कशा लागू करायच्या हेही तुम्हाला माहिती आहे. चला त्या आता एका संख्या रेषेवर करून पाहूया. पुढे जाण्यापूर्वी, संख्या रेषा म्हणजे काय ते शोधून काढूया!

२.३ संख्या रेषा

एक रेषा काढा. त्यावर एक बिंदू चिन्हांकित करा. त्यावर 0 असे नाव द्या. 0 च्या उजवीकडे दुसरा बिंदू चिन्हांकित करा. त्यावर 1 असे नाव द्या.

0 आणि 1 असे नाव दिलेल्या या बिंदूंमधील अंतराला एकक अंतर म्हणतात. या रेषेवर, 1 च्या उजवीकडे आणि 1 पासून एकक अंतरावर एक बिंदू चिन्हांकित करा आणि त्यावर 2 असे नाव द्या. याप्रकारे रेषेवर $3,4,5, \ldots$ अशा एकक अंतरावर बिंदूंना नावे देत रहा. या पद्धतीने तुम्ही उजवीकडे कोणत्याही पूर्ण संख्येवर जाऊ शकता.

ही पूर्ण संख्यांसाठीची संख्या रेषा आहे.

बिंदू 2 आणि 4 मधील अंतर किती? नक्कीच, ते 2 एकक आहे. तुम्ही बिंदू 2 आणि 6 मधील अंतर, 2 आणि 7 मधील अंतर सांगू शकता का?

संख्या रेषेवर तुम्ही पाहाल की संख्या 7 ही 4 च्या उजवीकडे आहे. ही संख्या 7 ही 4 पेक्षा मोठी आहे, म्हणजेच $7>4$. संख्या 8 ही 6 च्या उजवीकडे आहे आणि $8>6$. ही निरीक्षणे आपल्याला असे सांगण्यास मदत करतात की, कोणत्याही दोन पूर्ण संख्यांपैकी, दुसऱ्या संख्येच्या उजवीकडील संख्या ही मोठी संख्या असते. आपण असेही म्हणू शकतो की डावीकडील पूर्ण संख्या ही लहान संख्या असते.

उदाहरणार्थ, $4<9 ; 4$ ही 9 च्या डावीकडे आहे. त्याचप्रमाणे, $12>5 ; 12$ ही 5 च्या उजवीकडे आहे.

10 आणि 20 बद्दल तुम्ही काय म्हणाल?

संख्या रेषेवर 30, 12, 18 चिन्हांकित करा. कोणती संख्या सर्वात डावीकडे आहे? 1005 आणि 9756 पैकी, कोणती संख्या दुसऱ्या संख्येच्या तुलनेत उजवीकडे असेल हे तुम्ही सांगू शकता का?

12 चा उत्तरवर्ती आणि 7 चा पूर्ववर्ती यांना संख्या रेषेवर ठेवा.

संख्या रेषेवर बेरीज

पूर्ण संख्यांची बेरीज संख्या रेषेवर दाखवता येते. 3 आणि 4 ची बेरीज पाहूया.

3 पासून सुरुवात करा. या संख्येत आपण 4 मिळवत असल्याने आपण उजवीकडे 4 उड्या मारतो; 3 ते 4, 4 ते 5, 5 ते 6 आणि 6 ते 7 वर दाखवल्याप्रमाणे. चौथ्या उडीतील शेवटच्या \to चा टोकबिंदू 7 वर आहे.

3 आणि 4 ची बेरीज 7 आहे, म्हणजेच $3+4=7$.

हे करून पहा

संख्या रेषेचा वापर करून $4+5$; $2+6 ; 3+5$ आणि $1+6$ शोधा.

संख्या रेषेवर वजाबाकी

दोन पूर्ण संख्यांची वजाबाकीही संख्या रेषेवर दाखवता येते. चला $7-5$ शोधूया.

7 पासून सुरुवात करा. 5 वजा केले जात असल्याने, डावीकडे 1 एककाची 1 उडी मारा. अशा 5 उड्या मारा. आपण बिंदू 2 वर पोहोचतो. आपल्याला $7-5=2$ मिळते.

हे करून पहा

संख्या रेषेचा वापर करून $8-3$; $6-2 ; 9-6$ शोधा.

संख्या रेषेवर गुणाकार

आता आपण संख्या रेषेवर पूर्ण संख्यांचा गुणाकार पाहू

चला $4 \times 3$ शोधूया.

0 पासून सुरुवात करा, एकावेळी 3 एकके उजवीकडे सरकत, अशा 4 सरकण्या करा. तुम्ही कोठे पोहोचता? तुम्ही 12 वर पोहोचाल. म्हणून, आपण म्हणतो, $3 \times 4=12$.

हे करून पहा

संख्या रेषेचा वापर करून $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ शोधा

उदाहरणे २.१

1. 10999 नंतर येणाऱ्या तीन नैसर्गिक संख्या लिहा.

2. 10001 च्या अगोदर येणाऱ्या तीन पूर्ण संख्या लिहा.

3. सर्वात लहान पूर्ण संख्या कोणती?

4. 32 आणि 53 यांच्यामध्ये किती पूर्ण संख्या आहेत?

5. खालील संख्यांचे उत्तरवर्ती लिहा :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. खालील संख्यांचे पूर्ववर्ती लिहा :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. खालील प्रत्येक संख्यांच्या जोडीमध्ये, संख्या रेषेवर कोणती पूर्ण संख्या दुसऱ्या संख्येच्या डावीकडे आहे ते सांगा. तसेच त्यांच्यामध्ये योग्य $sign(>,<)$ लावून त्या लिहा.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. खालीलपैकी कोणती विधाने सत्य $(T)$ आहेत आणि कोणती असत्य $(F)$ आहेत?

(a) शून्य ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे.
(b) 400 ही 399 ची पूर्ववर्ती आहे.
(c) शून्य ही सर्वात लहान पूर्ण संख्या आहे.
(d) 600 ही 599 ची उत्तरवर्ती आहे.
(e) सर्व नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या आहेत.
(f) सर्व पूर्ण संख्या नैसर्गिक संख्या आहेत.
(g) दोन अंकी संख्येचा पूर्ववर्ती कधीही एक अंकी संख्या नसते.
(h) 1 ही सर्वात लहान पूर्ण संख्या आहे.
(i) नैसर्गिक संख्या 1 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही.
(j) पूर्ण संख्या 1 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही.
(k) पूर्ण संख्या 13 ही 11 आणि 12 यांच्यामध्ये आहे.
(l) पूर्ण संख्या 0 ला कोणताही पूर्ववर्ती नाही.
(m) दोन अंकी संख्येचा उत्तरवर्ती नेहमी दोन अंकी संख्या असतो.

आपण काय शिकलो?

1. $1,2,3, \ldots$ या संख्या, ज्या आपण मोजणीसाठी वापरतो, त्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.

2. एखाद्या नैसर्गिक संख्येत 1 मिळवल्यास, आपल्याला तिचा उत्तरवर्ती मिळतो. एखाद्या नैसर्गिक संख्येतून 1 वजा केल्यास, आपल्याला तिचा पूर्ववर्ती मिळतो.

3. प्रत्येक नैसर्गिक संख्येला एक उत्तरवर्ती असतो. 1 वगळता प्रत्येक नैसर्गिक संख्येला एक पूर्ववर्ती असतो.

4. नैसर्गिक संख्यांच्या संचात शून्य ही संख्या मिळवल्यास, आपल्याला पूर्ण संख्यांचा संच मिळतो. अशाप्रकारे, $0,1,2,3, \ldots$ या संख्या पूर्ण संख्यांचा संच तयार करतात.

5. प्रत्येक पूर्ण संख्येला एक उत्तरवर्ती असतो. शून्य वगळता प्रत्येक पूर्ण संख्येला एक पूर्ववर्ती असतो.

6. सर्व नैसर्गिक संख्या पूर्ण संख्या आहेत, पण सर्व पूर्ण संख्या नैसर्गिक संख्या नाहीत.

7. आपण एक रेषा घेतो, त्यावर एक बिंदू चिन्हांकित करतो आणि त्यावर 0 असे नाव देतो. मग आपण 0 च्या उजवीकडे, समान अंतरावर, बिंदू चिन्हांकित करतो. त्यांना $1,2,3, \ldots$ अशी नावे देतो. अशाप्रकारे, आपल्याकडे पूर्ण संख्या दर्शविणारी एक संख्या रेषा असते. आपण संख्या रेषेवर बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार या संख्या क्रिया सहज करू शकतो.

8. बेरीज ही संख्या रेषेवर उजवीकडे सरकण्याशी संबंधित आहे, तर वजाबाकी ही डावीकडे सरकण्याशी संबंधित आहे. गुणाकार ही शून्यापासून सुरुवात करून समान अंतराच्या उड्या मारण्याशी संबंधित आहे.