2.1 పరిచయం

మనకు తెలిసినట్లుగా, మనం లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు 1, 2, 3, 4,.. సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తాము. మనం లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు అవి సహజంగా వస్తాయి. అందువల్ల, గణిత శాస్త్రవేత్తలు లెక్కించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అని పిలుస్తారు.

ముందున్న సంఖ్య మరియు తరువాత వచ్చే సంఖ్య

ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకున్నప్పుడు, ఆ సంఖ్యకు 1ని కలిపి తరువాతి సంఖ్యను పొందవచ్చు, అంటే దాని తరువాత వచ్చే సంఖ్యను పొందవచ్చు.

16 తరువాత వచ్చే సంఖ్య $16+1=17$, 19 తరువాత వచ్చే సంఖ్య $19+1=20$ మరియు అలాగే చెప్పవచ్చు.

17కి ముందు 16 వస్తుంది, 17కి ముందున్న సంఖ్య $17-1=16$ అని చెప్పవచ్చు, 20కి ముందున్న సంఖ్య $20-1=19$ మరియు అలాగే చెప్పవచ్చు.

ఇవి చేయండి

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 యొక్క ముందున్న సంఖ్య మరియు తరువాత వచ్చే సంఖ్యను రాయండి.
2. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ముందున్న సంఖ్య లేదా?
3. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు తరువాత వచ్చే సంఖ్య లేదా? చివరి సహజ సంఖ్య ఉందా?

సంఖ్య 3కి ఒక ముందున్న సంఖ్య మరియు ఒక తరువాత వచ్చే సంఖ్య ఉన్నాయి. 2 గురించి ఏమిటి? తరువాత వచ్చే సంఖ్య 3 మరియు ముందున్న సంఖ్య 1. 1కి తరువాత వచ్చే సంఖ్య మరియు ముందున్న సంఖ్య రెండూ ఉన్నాయా?

మన పాఠశాలలోని పిల్లల సంఖ్యను మనం లెక్కించవచ్చు; ఒక నగరంలోని వ్యక్తుల సంఖ్యను కూడా లెక్కించవచ్చు; భారతదేశంలోని వ్యక్తుల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు. మొత్తం ప్రపంచంలోని వ్యక్తుల సంఖ్యను కూడా లెక్కించవచ్చు. ఆకాశంలోని నక్షత్రాల సంఖ్య లేదా మన తలపైనున్న వెంట్రుకల సంఖ్యను మనం లెక్కించలేకపోవచ్చు కానీ మనం లెక్కించగలిగితే, వాటికి కూడా ఒక సంఖ్య ఉంటుంది. అప్పుడు మనం అటువంటి సంఖ్యకు మరో ఒకటి కలిపి పెద్ద సంఖ్యను పొందవచ్చు. ఆ సందర్భంలో రెండు తలలపై ఉన్న వెంట్రుకల సంఖ్యను కూడా రాయవచ్చు.

ఇప్పుడు బహుశా స్పష్టంగా ఉంది, అతిపెద్ద సంఖ్య అనేది లేదు. పైన పంచుకున్న ఈ ప్రశ్నలు తప్ప, మనం సహజ సంఖ్యలతో పనిచేసినప్పుడు మన మనస్సులో మరెన్నో ప్రశ్నలు రావచ్చు. మీరు కొన్ని అటువంటి ప్రశ్నల గురించి ఆలోచించి, మీ స్నేహితులతో చర్చించవచ్చు. వాటిలో చాలావరకు మీకు స్పష్టమైన సమాధానాలు తెలియకపోవచ్చు!

2.2 పూర్ణ సంఖ్యలు

సహజ సంఖ్యలలో 1కి ముందున్న సంఖ్య లేదని మనం చూశాము. సహజ సంఖ్యల సముదాయానికి మనం 1కి ముందున్న సంఖ్యగా సున్నాను కలుపుతాము.

సహజ సంఖ్యలతో పాటు సున్నా కలిసి పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ఇవి చేయండి

1. అన్ని సహజ సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలు కూడా అవుతాయా?
2. అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు కూడా అవుతాయా?
3. అతిపెద్ద పూర్ణ సంఖ్య ఏది?**

మీ మునుపటి తరగతులలో మీరు సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం వంటి అన్ని ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను సంఖ్యలపై చేయడం నేర్చుకున్నారు. వాటిని సమస్యలకు ఎలా వర్తింపజేయాలో కూడా మీకు తెలుసు. వాటిని ఒక సంఖ్యారేఖపై ప్రయత్నిద్దాం. మనం ముందుకు సాగే ముందు, సంఖ్యారేఖ అంటే ఏమిటో తెలుసుకుందాం!

2.3 సంఖ్యారేఖ

ఒక రేఖ గీయండి. దానిపై ఒక బిందువు గుర్తించండి. దానిని 0 అని లేబుల్ చేయండి. 0కి కుడివైపున రెండవ బిందువు గుర్తించండి. దానిని 1 అని లేబుల్ చేయండి.

0 మరియు 1 అని లేబుల్ చేయబడిన ఈ బిందువుల మధ్య దూరాన్ని యూనిట్ దూరం అంటారు. ఈ రేఖపై, 1కి కుడివైపున మరియు 1 నుండి యూనిట్ దూరంలో ఒక బిందువు గుర్తించి దానిని 2 అని లేబుల్ చేయండి. ఈ విధంగా రేఖపై యూనిట్ దూరాలలో బిందువులను $3,4,5, \ldots$ గా లేబుల్ చేస్తూ వెళ్లండి. ఈ పద్ధతిలో మీరు కుడివైపున ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్యకు వెళ్లవచ్చు.

ఇది పూర్ణ సంఖ్యల కోసం ఒక సంఖ్యారేఖ.

2 మరియు 4 బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత? ఖచ్చితంగా, అది 2 యూనిట్లు. 2 మరియు 6 బిందువుల మధ్య దూరం, 2 మరియు 7 బిందువుల మధ్య దూరం చెప్పగలరా?

సంఖ్యారేఖపై మీరు చూస్తారు, సంఖ్య 7, 4కి కుడివైపున ఉంది. ఈ సంఖ్య 7, 4 కంటే పెద్దది, అంటే $7>4$. సంఖ్య 8, 6కి కుడివైపున ఉంది మరియు $8>6$. ఈ పరిశీలనలు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలలో, మరొక సంఖ్యకు కుడివైపున ఉన్న సంఖ్య పెద్ద సంఖ్య అని చెప్పడంలో మాకు సహాయపడతాయి. ఎడమవైపున ఉన్న పూర్ణ సంఖ్య చిన్న సంఖ్య అని కూడా చెప్పవచ్చు.

ఉదాహరణకు, $4<9 ; 4$ 9కి ఎడమవైపున ఉంది. అదేవిధంగా, $12>5 ; 12$ 5కి కుడివైపున ఉంది.

10 మరియు 20 గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

సంఖ్యారేఖపై 30, 12, 18ను గుర్తించండి. ఏ సంఖ్య చాలా ఎడమవైపున ఉంది? 1005 మరియు 9756లో, ఏ సంఖ్య మరొక సంఖ్యకు సాపేక్షంగా కుడివైపున ఉంటుందో మీరు చెప్పగలరా.

12 తరువాత వచ్చే సంఖ్య మరియు 7కి ముందున్న సంఖ్యను సంఖ్యారేఖపై ఉంచండి.

సంఖ్యారేఖపై సంకలనం

పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనాన్ని సంఖ్యారేఖపై చూపించవచ్చు. 3 మరియు 4 యొక్క సంకలనాన్ని చూద్దాం.

3 నుండి ప్రారంభించండి. ఈ సంఖ్యకు 4ని కలుపుతున్నందున, మనం కుడివైపుకు 4 జంపులు చేస్తాము; 3 నుండి 4, 4 నుండి 5, 5 నుండి 6 మరియు 6 నుండి 7 వరకు పైన చూపినట్లుగా. నాల్గవ జంపులో చివరి \to యొక్క కొన 7 వద్ద ఉంది.

3 మరియు 4 యొక్క మొత్తం 7, అంటే $3+4=7$.

ఇవి చేయండి

సంఖ్యారేఖను ఉపయోగించి $4+5$; $2+6 ; 3+5$ మరియు $1+6$ను కనుగొనండి.

సంఖ్యారేఖపై వ్యవకలనం

రెండు పూర్ణ సంఖ్యల వ్యవకలనాన్ని కూడా సంఖ్యారేఖపై చూపించవచ్చు. $7-5$ని కనుగొందాం.

7 నుండి ప్రారంభించండి. 5 తీసివేయబడుతున్నందున, 1 యూనిట్ యొక్క 1 జంపుతో ఎడమవైపుకు తరలండి. అలాంటి 5 జంపులు చేయండి. మనం 2 బిందువు వద్దకు చేరుతాము. మనకు $7-5=2$ వస్తుంది.

ఇవి చేయండి

సంఖ్యారేఖను ఉపయోగించి $8-3$; $6-2 ; 9-6$ను కనుగొనండి.

సంఖ్యారేఖపై గుణకారం

ఇప్పుడు మనం సంఖ్యారేఖపై పూర్ణ సంఖ్యల గుణకారాన్ని చూస్తాము.

$4 \times 3$ని కనుగొందాం.

0 నుండి ప్రారంభించి, ఒక సారి 3 యూనిట్లు కుడివైపుకు తరలండి, అలాంటి 4 మూవ్లు చేయండి. మీరు ఎక్కడ చేరుతారు? మీరు 12 వద్దకు చేరుతారు. కాబట్టి, మనం చెప్పవచ్చు, $3 \times 4=12$.

ఇవి చేయండి

సంఖ్యారేఖను ఉపయోగించి $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ను కనుగొనండి

అభ్యాసం 2.1

1. 10999 తరువాత వచ్చే మూడు సహజ సంఖ్యలను రాయండి.

2. 10001కి ముందు వచ్చే మూడు పూర్ణ సంఖ్యలను రాయండి.

3. అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య ఏది?

4. 32 మరియు 53 మధ్య ఎన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు ఉన్నాయి?

5. తరువాత వచ్చే సంఖ్యను రాయండి :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. ముందున్న సంఖ్యను రాయండి :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. క్రింది జతల సంఖ్యలలో, సంఖ్యారేఖపై ఏ పూర్ణ సంఖ్య మరొక సంఖ్యకు ఎడమవైపున ఉందో చెప్పండి. వాటిని తగిన $sign(>,<)$తో కూడా రాయండి.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. క్రింది వాక్యాలలో ఏవి నిజం $(T)$ మరియు ఏవి అసత్యం $(F)$ ?

(a) సున్నా అతిచిన్న సహజ సంఖ్య.
(b) 400, 399కి ముందున్న సంఖ్య.
(c) సున్నా అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య.
(d) 600, 599 తరువాత వచ్చే సంఖ్య.
(e) అన్ని సహజ సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలు.
(f) అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు.
(g) రెండు అంకెల సంఖ్యకు ముందున్న సంఖ్య ఎప్పుడూ ఒక అంకె సంఖ్య కాదు.
(h) 1 అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య.
(i) సహజ సంఖ్య 1కి ముందున్న సంఖ్య లేదు.
(j) పూర్ణ సంఖ్య 1కి ముందున్న సంఖ్య లేదు.
(k) పూర్ణ సంఖ్య 13, 11 మరియు 12 మధ్య ఉంటుంది.
(l) పూర్ణ సంఖ్య 0కి ముందున్న సంఖ్య లేదు.
(m) రెండు అంకెల సంఖ్య తరువాత వచ్చే సంఖ్య ఎప్పుడూ రెండు అంకెల సంఖ్యే.

మనం ఏమి చర్చించాము?

1. మనం లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలు $1,2,3, \ldots$ సహజ సంఖ్యలుగా పిలువబడతాయి.

2. మీరు ఒక సహజ సంఖ్యకు 1ని కలిపితే, దాని తరువాత వచ్చే సంఖ్యను పొందుతారు. మీరు ఒక సహజ సంఖ్య నుండి 1ని తీసివేస్తే, దాని ముందున్న సంఖ్యను పొందుతారు.

3. ప్రతి సహజ సంఖ్యకు ఒక తరువాత వచ్చే సంఖ్య ఉంటుంది. 1 తప్ప ప్రతి సహజ సంఖ్యకు ఒక ముందున్న సంఖ్య ఉంటుంది.

4. మనం సహజ సంఖ్యల సముదాయానికి సున్నా సంఖ్యను కలిపితే, పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయాన్ని పొందుతాము. అందువలన, సంఖ్యలు $0,1,2,3, \ldots$ పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

5. ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యకు ఒక తరువాత వచ్చే సంఖ్య ఉంటుంది. సున్నా తప్ప ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యకు ఒక ముందున్న సంఖ్య ఉంటుంది.

6. అన్ని సహజ సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలు, కానీ అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు కావు.

7. మనం ఒక రేఖ తీసుకుని, దానిపై ఒక బిందువు గుర్తించి దానిని 0 అని లేబుల్ చేస్తాము. అప్పుడు మనం 0కి కుడివైపున సమాన అంతరాలలో బిందువులను గుర్తించి, వాటిని $1,2,3, \ldots$గా లేబుల్ చేస్తాము. ఈ విధంగా, పూర్ణ సంఖ్యలు ప్రతినిధావత్వం చేయబడిన ఒక సంఖ్యారేఖ మనకు ఉంటుంది. సంఖ్యారేఖపై సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం వంటి సంఖ్యా కార్యకలాపాలను మనం సులభంగా చేయవచ్చు.

8. సంకలనం సంఖ్యారేఖపై కుడివైపుకు తరలడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది, అయితే వ్యవకలనం ఎడమవైపుకు తరలడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. గుణకారం సున్నా నుండి ప్రారంభించి సమాన దూరం యొక్క జంపులు చేయడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.