కీలక అంశాలు & సూత్రాలు

10 అభ్యాస బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు

Q1. న్యూఢిల్లీ స్టేషన్ వద్ద 100 ప్రయాణీకుల సర్వేలో, 60 మంది IRCTC యాప్ మరియు 40 మంది UTS యాప్ ఉపయోగిస్తారు. 20 ప్రయాణీకులు రెండు యాప్లను ఉపయోగిస్తే, కేవలం IRCTC యాప్ ఎంత మంది ఉపయోగిస్తారు? A) 20 B) 40 C) 60 D) 80

సమాధానం: B) 40

పరిష్కారం: కేవలం IRCTC = మొత్తం IRCTC - రెండూ = 60 - 20 = 40

శార్ట్కట్: కేవలం A = n(A) - n(A∩B)

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - “కేవలం A” ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం

Q2. ముంబై సెంట్రల్ స్టేషన్ వద్ద, 150 ప్రయాణీకులను సర్వే చేశారు. 90 మంది టీ ను ఇష్టపడతారు, 70 మంది కాఫీ ను ఇష్టపడతారు మరియు 40 మంది రెండింటినీ ఇష్టపడతారు. ఎంత మంది ఏదీ ఇష్టపడరు? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60

సమాధానం: A) 30

పరిష్కారం: n(T∪C) = 90 + 70 - 40 = 120 ఏదీ కాదు = 150 - 120 = 30

శార్ట్కట్: ఏదీ కాదు = మొత్తం - [n(A)+n(B)-n(A∩B)]

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - “ఏదీ కాదు” ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం

Q3. 80 ప్రయాణీకులున్న ట్రెయిన్ కంపార్ట్మెంట్లో, 50 మంది హిందీ మాట్లాడగలరు మరియు 35 మంది ఇంగ్లీష్ మాట్లాడగలరు. ప్రతి ఒక్కరూ కనీసం ఒక భాష మాట్లాడగలిగితే, ఎంత మంది రెండు భాషలు మాట్లాడగలరు? A) 5 B) 15 C) 25 D) 35

సమాధానం: A) 5

పరిష్కారం: n(H∩E) = n(H) + n(E) - మొత్తం = 50 + 35 - 80 = 5

శార్ట్కట్: రెండూ = n(A)+n(B)-మొత్తం (మొత్తం = n(A∪B) అయినప్పుడు)

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - యూనియన్ మొత్తానికి సమానమైనప్పుడు ఇంటర్సెక్షన్ను కనుగొనడం

Q4. హౌరా స్టేషన్ వద్ద, 200 ప్రయాణీకులలో, 120 మందికి రిజర్వు టిక్కెట్లు ఉన్నాయి, 100 మందికి ప్లాట్ఫారం టిక్కెట్లు ఉన్నాయి మరియు 60 మందికి రెండూ ఉన్నాయి. ఎంత మందికి కేవలం ప్లాట్ఫారం టిక్కెట్లు మాత్రమే ఉన్నాయి? A) 40 B) 60 C) 80 D) 100

సమాధానం: A) 40

పరిష్కారం: కేవలం ప్లాట్ఫారం = ప్లాట్ఫారం మొత్తం - రెండూ = 100 - 60 = 40

శార్ట్కట్: దృశ్యమానం చేయండి: ప్లాట్ఫారం వృత్తం మైనస్ ఓవర్లాప్ ప్రాంతం

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - ప్రత్యేక ప్రాంతాలను కనుగొనడం

Q5. రాజధాని ఎక్స్ప్రెస్లో, ఆహార ప్రాధాన్యతల గురించి 180 ప్రయాణీకులను సర్వే చేశారు. 110 మంది శాకాహారాన్ని ప్రాధాన్యత ఇస్తారు, 95 మంది మాంసాహారాన్ని ప్రాధాన్యత ఇస్తారు మరియు 45 మంది రెండింటినీ ప్రాధాన్యత ఇస్తారు. ఎంత మంది కేవలం శాకాహారాన్ని మాత్రమే ప్రాధాన్యత ఇస్తారు? A) 45 B) 65 C) 85 D) 105

సమాధానం: B) 65

పరిష్కారం: కేవలం శాకాహారం = మొత్తం శాకాహారం - రెండూ = 110 - 45 = 65

శార్ట్కట్: కేవలం A = n(A) - n(A∩B)

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - ప్రత్యేక ప్రాధాన్యతలను లెక్కించడం

Q6. చెన్నై సెంట్రల్లో, మూడు రకాల పాస్లు అందుబాటులో ఉన్నాయి: మాసిక (M), త్రైమాసిక (Q), మరియు వార్షిక (Y). 250 మంది రెగ్యులర్ కమ్యూటర్ల సమూహంలో, 150 మందికి M ఉంది, 120 మందికి Q ఉంది, 100 మందికి Y ఉంది. 80 మందికి M∩Q ఉంది, 70 మందికి Q∩Y ఉంది, 60 మందికి M∩Y ఉంది మరియు 50 మందికి మూడూ ఉన్నాయి. కనీసం ఒక పాస్ ఎంత మందికి ఉంది? A) 200 B) 220 C) 240 D) 250

సమాధానం: B) 220

పరిష్కారం: 3-సెట్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి: n(M∪Q∪Y) = 150+120+100-80-70-60+50 = 220

శార్ట్కట్: గుర్తుంచుకోండి: సింగిల్స్ ని కూడండి, జతలను తీసివేయండి, ట్రిపుల్ ఇంటర్సెక్షన్ను కూడండి

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - మూడు ఓవర్లాపింగ్ సెట్లు

Q7. 300 ప్రయాణీకులున్న దురంతో ఎక్స్ప్రెస్లో, సర్వేలు చూపిస్తున్నాయి: 180 మంది AC క్లాస్ ఉపయోగిస్తారు, 160 మంది స్లీపర్ క్లాస్ ఉపయోగిస్తారు, 140 మంది చైర్ కార్ ఉపయోగిస్తారు. 100 మంది AC&స్లీపర్ ఉపయోగిస్తారు, 80 మంది స్లీపర్&చైర్ ఉపయోగిస్తారు, 70 మంది AC&చైర్ ఉపయోగిస్తారు, 50 మంది మూడింటినీ ఉపయోగిస్తారు. ఎంత మంది కేవలం AC క్లాస్ మాత్రమే ఉపయోగిస్తారు? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90

సమాధానం: A) 60

పరిష్కారం: కేవలం AC = AC మొత్తం - (AC∩స్లీపర్ + AC∩చైర్ - మూడూ) = 180 - (100 + 70 - 50) = 180 - 120 = 60

శార్ట్కట్: కేవలం A = n(A) - [n(A∩B)+n(A∩C)-n(A∩B∩C)]

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - 3 సెట్లలో ప్రత్యేక ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం

Q8. ఒక జంక్షన్ స్టేషన్ వద్ద, 3 దిశల నుండి రైళ్లు వస్తాయి. మొత్తం 24 రైళ్లు: ఉత్తరం నుండి 15, దక్షిణం నుండి 18, తూర్పు నుండి 16. 10 రైళ్లు ఉత్తరం&దక్షిణం నుండి వస్తాయి, 8 రైళ్లు దక్షిణం&తూర్పు నుండి వస్తాయి, 9 రైళ్లు ఉత్తరం&తూర్పు నుండి వస్తాయి. 5 రైళ్లు మూడు దిశల నుండి వస్తే, ఎన్ని రైళ్లు ఖచ్చితంగా రెండు దిశల నుండి వస్తాయి? A) 12 B) 15 C) 17 D) 20

సమాధానం: A) 12

పరిష్కారం: ఖచ్చితంగా రెండు దిశలు = (N∩S మాత్రమే) + (S∩E మాత్రమే) + (N∩E మాత్రమే) = (10-5) + (8-5) + (9-5) = 5 + 3 + 4 = 12

శార్ట్కట్: ఖచ్చితంగా రెండు = జతల ఇంటర్సెక్షన్ల మొత్తం - 3×(మూడూ)

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - “ఖచ్చితంగా రెండు” ప్రాంతాలను లెక్కించడం

Q9. భాషా నైపుణ్యాల గురించి 400 మంది రైల్వే ఉద్యోగుల సర్వేలో: 250 మందికి ఇంగ్లీష్ తెలుసు, 200 మందికి హిందీ తెలుసు, 180 మందికి ప్రాంతీయ భాష తెలుసు. 150 మందికి E&H తెలుసు, 120 మందికి H&R తెలుసు, 100 మందికి E&R తెలుసు, 80 మందికి మూడూ తెలుసు. ఎంత మందికి ఖచ్చితంగా ఒక భాష మాత్రమే తెలుసు? A) 120 B) 140 C) 160 D) 180

సమాధానం: C) 160

పరిష్కారం: కేవలం ఇంగ్లీష్ = 250 - (150+100-80) = 80 కేవలం హిందీ = 200 - (150+120-80) = 10 కేవలం ప్రాంతీయ = 180 - (120+100-80) = 40 మొత్తం = 80 + 10 + 40 = 130

శార్ట్కట్: ప్రతి “కేవలం” ని విడిగా లెక్కించి, ఆపై మొత్తం చేయండి

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - క్లిష్టమైన 3-సెట్ సమస్యలలో “ఖచ్చితంగా ఒకటి” కనుగొనడం

Q10. ఒక మెట్రో స్టేషన్ వద్ద, ప్రయాణీకుల వర్గాలు: సీనియర్ సిటిజన్స్ (S), విద్యార్థులు (T), వికలాంగులు (D). మొత్తం ప్రయాణీకులు: 500. ఇవ్వబడింది: n(S)=200, n(T)=180, n(D)=150, n(S∩T)=80, n(T∩D)=70, n(S∩D)=60, n(S∩T∩D)=40. ఎంత మంది ఈ వర్గాలలో ఏదీ కాదు? A) 60 B) 80 C) 100 D) 120

సమాధానం: A) 60

పరిష్కారం: n(S∪T∪D) = 200+180+150-80-70-60+40 = 360 ఏదీ కాదు = 500 - 360 = 140

శార్ట్కట్: కాంప్లిమెంట్ ఉపయోగించండి: ఏదీ కాదు = మొత్తం - n(A∪B∪C)

భావన: వెన్ రేఖాచిత్రాలు - కాంప్లిమెంట్ లెక్కింపుతో అధునాతన 3-సెట్

5 మునుపటి సంవత్సర ప్రశ్నలు

PYQ 1. 50 మంది విద్యార్థుల తరగతిలో, 30 మంది క్రికెట్ మరియు 25 మంది ఫుట్బాల్ ఇష్టపడతారు. 10 మంది విద్యార్థులు రెండు ఆటలను ఇష్టపడితే, ఎంత మంది ఏదీ ఇష్టపడరు? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

సమాధానం: B) 5

పరిష్కారం: n(C∪F) = 30 + 25 - 10 = 45 ఏదీ కాదు = 50 - 45 = 5

పరీక్ష చిట్కా: “ఏదీ కాదు” అడిగినప్పుడు, మొత్తం యూనియన్కు సమానమా అని ఎల్లప్పుడూ ధృవీకరించండి

PYQ 2. ఒక రైల్వే కౌంటర్ వద్ద, 120 మంది క్యూలో ఉన్నారు. 80 మందికి రిజర్వేషన్ టిక్కెట్లు కావాలి, 70 మందికి ప్లాట్ఫారం టిక్కెట్లు కావాలి మరియు 50 మందికి రెండూ కావాలి. ఎంత మందికి కేవలం ప్లాట్ఫారం టిక్కెట్లు మాత్రమే కావాలి? [RRB Group D 2022]

సమాధానం: A) 20

పరిష్కారం: కేవలం ప్లాట్ఫారం = 70 - 50 = 20

పరీక్ష చిట్కా: రైల్వే సందర్భంలో, “రెండూ” అంటే సాధారణంగా రెండు రకాల టిక్కెట్లు ఉండటం

PYQ 3. 200 ప్రయాణీకుల సర్వే: 120 మంది శాకాహారం, 100 మంది మాంసాహారం, 60 మంది రెండూ. కేవలం శాకాహార ప్రయాణీకులను కనుగొనండి. [RRB ALP 2018]

సమాధానం: C) 60

పరిష్కారం: కేవలం శాకాహారం = 120 - 60 = 60

పరీక్ష చిట్కా: ఆహార ప్రాధాన్యత ప్రశ్నలు రైల్వే పరీక్షలలో సాధారణం

PYQ 4. మూడు రైలు మార్గాలు A, B, C. రోజుకు మొత్తం 15 రైళ్లు. మార్గం A పై 8, B పై 10, C పై 7. A&B పై 4, B&C పై 3, A&C పై 2, మూడింటి పై 1. ఖచ్చితంగా ఒక మార్గం పై ఉన్న రైళ్లను కనుగొనండి. [RRB JE 2019]

సమాధానం: B) 7

పరిష్కారం: కేవలం A = 8 - (4+2-1) = 3 కేవలం B = 10 - (4+3-1) = 4 కేవలం C = 7 - (3+2-1) = 3 కేవలం ఒక్కటి మొత్తం = 3 + 4 + 3 = 10

పరీక్ష చిట్కా: మార్గం-ఆధారిత ప్రశ్నలు 3-సెట్ వెన్ రేఖాచిత్రాలను పరీక్షిస్తాయి

PYQ 5. RPF నియామకంలో, 300 మంది దరఖాస్తుదారులు. 180 మందికి ఎత్తు ప్రమాణాలు ఉన్నాయి, 200 మందికి విద్యా ప్రమాణాలు ఉన్నాయి, 150 మందికి రెండూ ఉన్నాయి. ఎంత మందికి కేవలం విద్యా ప్రమాణాలు మాత్రమే ఉన్నాయి? [RPF SI 2019]

సమాధానం: A) 50

పరిష్కారం: కేవలం విద్య = 200 - 150 = 50

పరీక్ష చిట్కా: నియామక ప్రమాణాల ప్రశ్నలు తరచుగా వెన్ రేఖాచిత్రాలను ఉపయోగిస్తాయి

వేగ ట్రిక్స్ & శార్ట్కట్లు

తప్పు చేయడానికి సాధారణ తప్పులు

త్వరిత రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డ్లు

అంశం కనెక్షన్లు

ప్రత్యక్ష లింక్:

• సెట్ థియరీ: వెన్ రేఖాచిత్రాలు సెట్ ఆపరేషన్లను దృశ్యమానంగా సూచిస్తాయి
• శాతం సమస్యలు: తరచుగా శాతం లెక్కింపులతో కలిపి ఉంటాయి
• డేటా ఇంటర్ప్రిటేషన్: ఓవర్లాపింగ్ డేటాను అర్థం చేసుకోవడానికి పునాది

కలిపిన ప్రశ్నలు:

• వెన్ + శాతం: “40% ప్రయాణీకులు రెండింటినీ ఇష్టపడతారు…”
• వెన్ + నిష్పత్తి: “AC మరియు Non-AC ప్రయాణీకుల నిష్పత్తి, వారికి కూడా ఉన్న…”
• వెన్ + సగటు: “ఓవర్లాపింగ్ వర్గాలలో ప్రయాణీకుల సగటు వయస్సు”

దీనికి పునాది:

• లాజికల్ రీజనింగ్: అధునాతన సిల్లోజిజం సమస్యలు
• డేటా సఫిషియెన్సీ: వెన్ డేటా పూర్తిగా ఉందో లేదో నిర్ణయించడం
• క్లిష్టమైన DI: బహుమితీయ డేటా ప్రాతినిధ్యం