वेन आरेख
प्रमुख अवधारणाएँ और सूत्र
| # | अवधारणा | त्वरित व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | संघ (A∪B) | A या B में कुल तत्व = n(A) + n(B) - n(A∩B) |
| 2 | सर्वनिष्ठ (A∩B) | दोनों समुच्चय A और B में साझा तत्व |
| 3 | केवल A | A में परंतु B में नहीं = n(A) - n(A∩B) |
| 3 | केवल B | B में परंतु A में नहीं = n(B) - n(A∩B) |
| 5 | न A न B | कुल - n(A∪B) |
| 6 | तीन समुच्चय सूत्र | n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) |
| 7 | प्रतिशत विधि | आसान गणना के लिए सभी मानों को प्रतिशत में बदलें |
10 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न
Q1. नई दिल्ली स्टेशन पर 100 यात्रियों के सर्वेक्षण में, 60 IRCTC ऐप और 40 UTS ऐप का उपयोग करते हैं। यदि 20 यात्री दोनों ऐप का उपयोग करते हैं, तो कितने केवल IRCTC ऐप का उपयोग करते हैं? A) 20 B) 40 C) 60 D) 80
उत्तर: B) 40
हल: केवल IRCTC = कुल IRCTC - दोनों = 60 - 20 = 40
शॉर्टकट: केवल A = n(A) - n(A∩B)
अवधारणा: वेन आरेख - “केवल A” क्षेत्र खोजना
Q2. मुंबई सेंट्रल स्टेशन पर 150 यात्रियों का सर्वेक्षण किया गया। 90 चाय पसंद करते हैं, 70 कॉफी पसंद करते हैं और 40 दोनों पसंद करते हैं। कितनों को कोई भी नहीं पसंद? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60
उत्तर: A) 30
हल: n(T∪C) = 90 + 70 - 40 = 120 कोई भी नहीं = 150 - 120 = 30
शॉर्टकट: कोई भी नहीं = कुल - [n(A)+n(B)-n(A∩B)]
अवधारणा: वेन आरेख - “कोई भी नहीं” क्षेत्र खोजना
Q3. एक ट्रेन के डिब्बे में 80 यात्री हैं, 50 हिंदी बोल सकते हैं और 35 अंग्रेज़ी बोल सकते हैं। यदि हर कोई कम से कम एक भाषा बोलता है, तो कितने दोनों बोलते हैं? A) 5 B) 15 C) 25 D) 35
उत्तर: A) 5
हल: n(H∩E) = n(H) + n(E) - कुल = 50 + 35 - 80 = 5
शॉर्टकट: दोनों = n(A)+n(B)-कुल (जब कुल = n(A∪B))
संकल्पना: वेन आरेख - प्रतिच्छेदन ज्ञात करना जब कुल सम्मिलन के बराबर हो
Q4. हावड़ा स्टेशन पर, 200 यात्रियों में से 120 के पास आरक्षित टिकट हैं, 100 के पास प्लेटफॉर्म टिकट हैं, और 60 के पास दोनों हैं। कितनों के पास केवल प्लेटफॉर्म टिकट हैं? A) 40 B) 60 C) 80 D) 100
उत्तर: A) 40
हल: केवल प्लेटफॉर्म = कुल प्लेटफॉर्म - दोनों = 100 - 60 = 40
शॉर्टकट: कल्पना करें: प्लेटफॉर्म वृत्त घटाएं ओवरलैप क्षेत्र
संकल्पना: वेन आरेख - विशिष्ट क्षेत्र ज्ञात करना
Q5. राजधानी एक्सप्रेस में, 180 यात्रियों से भोजन पसंद के बारे में सर्वेक्षण किया गया। 110 शाकाहार पसंद करते हैं, 95 मांसाहार पसंद करते हैं, और 45 दोनों पसंद करते हैं। कितने केवल शाकाहार पसंद करते हैं? A) 45 B) 65 C) 85 D) 105
उत्तर: B) 65
हल: केवल शाकाहार = कुल शाकाहार - दोनों = 110 - 45 = 65
शॉर्टकट: केवल A = n(A) - n(A∩B)
संकल्पना: वेन आरेख - विशिष्ट पसंदों की गणना
Q6. चेन्नई सेंट्रल पर तीन प्रकार के पास उपलब्ध हैं: मासिक (M), त्रैमासिक (Q), और वार्षिक (Y)। 250 नियमित यात्रियों के एक समूह में, 150 के पास M है, 120 के पास Q है, 100 के पास Y है। 80 के पास M∩Q है, 70 के पास Q∩Y है, 60 के पास M∩Y है, और 50 के पास तीनों हैं। कितने लोगों के पास कम से कम एक पास है? A) 200 B) 220 C) 240 D) 250
उत्तर: B) 220
हल: 3-सेट सूत्र का उपयोग करते हुए: n(M∪Q∪Y) = 150+120+100-80-70-60+50 = 220
शॉर्टकट: याद रखें: एकल जोड़ें, युग्म घटाएं, त्रिक प्रतिच्छेदन जोड़ें
संकल्पना: वेन आरेख - तीन अतिव्यापी सेट
Q7. 300 यात्रियों वाली दुरोंतो एक्सप्रेस में सर्वेक्षण बताते हैं: 180 एसी क्लास का उपयोग करते हैं, 160 स्लीपर क्लास का उपयोग करते हैं, 140 चेयर कार का उपयोग करते हैं। 100 एसी और स्लीपर का उपयोग करते हैं, 80 स्लीपर और चेयर का उपयोग करते हैं, 70 एसी और चेयर का उपयोग करते हैं, 50 तीनों का उपयोग करते हैं। कितने लोग केवल एसी क्लास का उपयोग करते हैं? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90
उत्तर: A) 60
हल: केवल एसी = एसी कुल - (एसी∩स्लीपर + एसी∩चेयर - तीनों) = 180 - (100 + 70 - 50) = 180 - 120 = 60
शॉर्टकट: केवल A = n(A) - [n(A∩B)+n(A∩C)-n(A∩B∩C)]
संकल्पना: वेन आरेख - 3 सेटों में विशिष्ट क्षेत्र खोजना
Q8. एक जंक्शन स्टेशन पर तीन दिशाओं से ट्रेनें आती हैं। कुल 24 ट्रेनें हैं: 15 उत्तर से, 18 दक्षिण से, 16 पूर्व से। 10 उत्तर और दक्षिण से आती हैं, 8 दक्षिण और पूर्व से, 9 उत्तर और पूर्व से। यदि 5 ट्रेनें तीनों दिशाओं से आती हैं, तो कितनी ट्रेनें ठीक दो दिशाओं से आती हैं? A) 12 B) 15 C) 17 D) 20
उत्तर: A) 12
हल: केवल दो दिशाएँ = (N∩S केवल) + (S∩E केवल) + (N∩E केवल) = (10-5) + (8-5) + (9-5) = 5 + 3 + 4 = 12
शॉर्टकट: केवल दो = युग्म अंतःखंडों का योग - 3×(तीनों)
संकल्पना: वेन आरेख - “केवल दो” क्षेत्रों की गणना
Q9. 400 रेलवे कर्मचारियों की भाषा कौशल पर सर्वेक्षण में: 250 अंग्रेज़ी जानते हैं, 200 हिंदी जानते हैं, 180 क्षेत्रीय भाषा जानते हैं। 150 E&H जानते हैं, 120 H&R जानते हैं, 100 E&R जानते हैं, 80 तीनों जानते हैं। कितने केवल एक भाषा जानते हैं? A) 120 B) 140 C) 160 D) 180
उत्तर: C) 160
हल: केवल अंग्रेज़ी = 250 - (150+100-80) = 80 केवल हिंदी = 200 - (150+120-80) = 10 केवल क्षेत्रीय = 180 - (120+100-80) = 40 कुल = 80 + 10 + 40 = 130
शॉर्टकट: प्रत्येक “केवल” को अलग से निकालें फिर योग करें
संकल्पना: वेन आरेख - जटिल 3-समुच्चय समस्याओं में “केवल एक” खोजना
Q10.** एक मेट्रो स्टेशन पर यात्री श्रेणियाँ हैं: वरिष्ठ नागरिक (S), छात्र (T), विकलांग (D). कुल यात्री: 500। दिया गया है: n(S)=200, n(T)=180, n(D)=150, n(S∩T)=80, n(T∩D)=70, n(S∩D)=60, n(S∩T∩D)=40। कितने इनमें से किसी श्रेणी के नहीं हैं? A) 60 B) 80 C) 100 D) 120
उत्तर: A) 60
हल: n(S∪T∪D) = 200+180+150-80-70-60+40 = 360 कोई नहीं = 500 - 360 = 140
शॉर्टकट: पूरक का प्रयोग करें: कोई नहीं = कुल - n(A∪B∪C)
संकल्पना: वेन आरेख - पूरक सहित उन्नत 3-समुच्चय गणना
5 पिछले वर्ष के प्रश्न
PYQ 1. 50 छात्रों की एक कक्षा में, 30 को क्रिकेट पसंद है और 25 को फुटबॉल पसंद है। यदि 10 छात्रों को दोनों खेल पसंद हैं, तो कितने छात्रों को कोई भी पसंद नहीं है? [RRB NTPC 2021 CBT-1]
उत्तर: B) 5
हल: n(C∪F) = 30 + 25 - 10 = 45 कोई भी नहीं = 50 - 45 = 5
परीक्षा टिप: जब “कोई भी नहीं” पूछा जाए तो हमेशा जांचें कि कुल यूनियन के बराबर है या नहीं
PYQ 2. एक रेलवे काउंटर पर, 120 लोग कतार में हैं। 80 को आरक्षण टिकट चाहिए, 70 को प्लेटफॉर्म टिकट चाहिए, और 50 को दोनों चाहिए। कितने लोगों को केवल प्लेटफॉर्म टिकट चाहिए? [RRB Group D 2022]
उत्तर: A) 20
हल: केवल प्लेटफॉर्म = 70 - 50 = 20
परीक्षा टिप: रेलवे संदर्भ में, “दोनों” का आमतौर पर अर्थ होता है दो प्रकार के टिकट होना
PYQ 3. 200 यात्रियों का सर्वेक्षण: 120 शाकाहारी, 100 मांसाहारी, 60 दोनों। केवल शाकाहारी यात्रियों का पता लगाएं। [RRB ALP 2018]
उत्तर: C) 60
हल: केवल शाकाहारी = 120 - 60 = 60
परीक्षा टिप: खाद्य पसंद के प्रश्न रेलवे परीक्षाओं में आम हैं
PYQ 4. तीन ट्रेन मार्ग A, B, C। कुल 15 ट्रेनें दैनिक। 8 मार्ग A पर, 10 B पर, 7 C पर। 4 A&B पर, 3 B&C पर, 2 A&C पर, 1 तीनों पर। केवल एक मार्ग वाली ट्रेनें ज्ञात करें। [RRB JE 2019]
उत्तर: B) 7
हल: केवल A = 8 - (4+2-1) = 3 केवल B = 10 - (4+3-1) = 4 केवल C = 7 - (3+2-1) = 3 कुल केवल एक = 3 + 4 + 3 = 10
परीक्षा टिप: मार्ग-आधारित प्रश्न 3-सेट वेन आरेखों की जाँच करते हैं
PYQ 5. RPF भर्ती में, 300 आवेदक। 180 में ऊंचाई मानदंड, 200 में शिक्षा मानदंड, 150 में दोनों हैं। कितनों के पास केवल शिक्षा मानदंड है? [RPF SI 2019]
उत्तर: A) 50
हल: केवल शिक्षा = 200 - 150 = 50
परीक्षा टिप: भर्ती मानदंड प्रश्न अक्सर वेन आरेखों का उपयोग करते हैं
स्पीड ट्रिक्स और शॉर्टकट्स
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| “दोनों” खोजना जब कुल=संघ | दोनों = A + B - कुल | यदि 100 लोग, 60 को चाय पसंद, 50 को कॉफी पसंद: दोनों = 60+50-100 = 10 |
| “केवल A” गणना | केवल A = A - दोनों | यदि 80 के पास कार, 30 के पास कार और बाइक दोनों: केवल कार = 80-30 = 50 |
| प्रतिशत विधि | सबको पहले % में बदलें | 200 लोगों में, 40% X पसंद करते, 30% Y पसंद करते, 10% दोनों पसंद करते: केवल X = 40-10 = 30% |
| तीन सेट “ठीक दो” | युग्मों का योग - 3×ट्रिपल | यदि A∩B=20, B∩C=15, A∩C=10, तीनों=5: ठीक दो = (20+15+10)-(3×5) = 30 |
| न कोई गणना | न कोई = कुल - (A+B-दोनों) | कुल 150, A=90, B=70, दोनों=40: न कोई = 150-(90+70-40) = 30 |
टालने योग्य सामान्य गलतियाँ
| गलती | छात्र ऐसा क्यों करते हैं | सही तरीका |
|---|---|---|
| “केवल A” को “कुल A” से उलझाना | “केवल” को ध्यान से नहीं पढ़ना | हमेशा कुल से प्रतिच्छेदन घटाएं |
| प्रतिच्छेदन को दो बार घटाना भूल जाना | A+B जोड़ते समय ओवरलैप घटाना नहीं | याद रखें: A∪B = A + B - A∩B |
| कुल = संघ मान लेना | “न तो” मौजूद है या नहीं, यह नहीं देखना | सत्यापित करें कि सभी तत्व गिने गए हैं |
| तीन-समुच्चय क्षेत्रों की गलत गिनती | जटिल ओवरलैपिंग उलझन | आरेख बनाएं और प्रत्येक क्षेत्र को स्पष्ट रूप से लेबल करें |
| प्रतिशत विधि में गणना त्रुटियाँ | रूपांतरण चरणों में जल्दबाजी | हमेशा सत्यापित करें: केवल A% = A% - दोनों% |
त्वरित संशोधन फ़्लैशकार्ड
| सामने (प्रश्न/पद) | पीछे (उत्तर) |
|---|---|
| संघ सूत्र (2 समुच्चय) | n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) |
| प्रतिच्छेदन का अर्थ | दोनों समुच्चयों में सामान्य तत्व |
| “केवल A” सूत्र | n(A) - n(A∩B) |
| न तो सूत्र | कुल - n(A∪B) |
| तीन समुच्चय संघ | A+B+C-(A∩B+B∩C+C∩A)+A∩B∩C |
| ठीक दो क्षेत्र | युग्म योग - 3×ट्रिपल प्रतिच्छेदन |
| प्रतिशत शॉर्टकट | मानसिक गणित आसान बनाने के लिए % में बदलें |
| दृश्य जाँच विधि | वृत्त बनाएं और सत्यापित करें कि क्षेत्र जुड़ते हैं |
| रेलवे संदर्भ टिप | टिकट, मार्ग, यात्री श्रेणियाँ सामान्य हैं |
| समय बचत | समीकरणों की तुलना में योग-घटाव विधि का प्रयोग करें |
विषय संबंध
सीधा लिंक:
- समुच्चय सिद्धांत: वेन आरेख समुच्चय संक्रियाओं को दृश्य रूप से दर्शाते हैं
- प्रतिशत समस्याएँ: अक्सर प्रतिशत गणनाओं के साथ संयुक्त होती हैं
- डेटा व्याख्या: अतिव्यापी डेटा की व्याख्या की आधारशिला
संयुक्त प्रश्न:
- वेन + प्रतिशत: “40% यात्री दोनों पसंद करते हैं…”
- वेन + अनुपात: “एसी से गैर-एसी यात्रियों का अनुपात जिनके पास यह भी है…”
- वेन + औसत: “अतिव्यापी श्रेणियों में यात्रियों की औसत आयु”
आधार बनता है:
- तार्किक तर्क: उन्नत निगमन समस्याओं के लिए
- डेटा पर्याप्तता: यह निर्धारित करना कि वेन डेटा पूर्ण है या नहीं
- जटिल डीआई: बहु-आयामी डेटा निरूपण
BETA
