కీలక అంశాలు & సూత్రాలు

10 ప్రాక్టీస్ MCQలు

1. అమన్ వద్ద ఎన్ని గోళీలు ఉన్నాయి?
   I. అమన్ వద్ద భాను కంటే 4 గోళీలు ఎక్కువ ఉన్నాయి.
   II. భాను వద్ద చిత్ర కంటే 6 గోళీలు తక్కువ ఉన్నాయి, దీని వద్ద 10 గోళీలు ఉన్నాయి. సమాధానం: C
   పరిష్కారం: II నుండి, భాను = 10 – 6 = 4. I నుండి, అమన్ = 4 + 4 = 8. రెండు ప్రకటనలు అవసరం.
   శార్ట్కట్: స్థిర సంఖ్య (10) నుండి వెనుకకు పని చేయండి.
   అంశం ట్యాగ్: లీనియర్ సమీకరణాలు, స్థిర సూచన

2. x² – 5x + 6 = 0 అనేది సత్యమేనా?
   I. x అనేది 4 కంటే తక్కువ ధన పూర్ణాంకం.
   II. x అనేది ప్రధాన సంఖ్య. సమాధానం: C
   పరిష్కారం: I x = 1,2,3 ని ఇస్తుంది. II ప్రధాన సంఖ్యలకు పరిమితం చేస్తుంది → x = 2 లేదా 3. ఈ రెండూ మాత్రమే సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి → ప్రత్యేకమైన “అవును”.
   శార్ట్కట్: 2 & 3 ని నేరుగా ప్లగ్ చేయండి; రెండూ సంతృప్తి పరుస్తాయి → కలిపి సరిపోతుంది.
   అంశం ట్యాగ్: క్వాడ్రాటిక్ రూట్, ప్రధాన ఫిల్టర్

3. రైలు వేగం ఎంత?
   I. రైలు 100 మీటర్ల ప్లాట్ఫారమ్ను 10 సెకన్లలో దాటుతుంది.
   II. రైలు ఒక స్తంభాన్ని 6 సెకన్లలో దాటుతుంది. సమాధానం: C
   పరిష్కారం: L = పొడవు, S = వేగం అనుకుందాం. II L = 6S ని ఇస్తుంది. I (L + 100)/S = 10 → 6S + 100 = 10S → S = 25 m/s ని ఇస్తుంది. రెండూ అవసరం.
   శార్ట్కట్: రెండు సమీకరణాలు, రెండు అజ్ఞాతాలు → C.
   అంశం ట్యాగ్: రైలు దాటడం, సాపేక్ష దూరం

4. రవి ఏ సంవత్సరంలో జన్మించాడు?
   I. అతని సోదరుడు, 4 సంవత్సరాలు పెద్దవాడు, 1996లో జన్మించాడు.
   II. రవి 2005లో 5 సంవత్సరాల వయస్సులో పాఠశాలలో చేరాడు. సమాధానం: D
   పరిష్కారం: I → 2000; II → 2000. ఏదైనా ప్రకటన మాత్రమే 2000 ని ఇస్తుంది → సమాధానం A లేదా B, కానీ ప్రతి ఒక్కటి మాత్రమే సరిపోతుంది కాబట్టి, మొదటిది సరిపోతుందని ఎంచుకోండి; అయితే, ఎంపిక సెట్ RRB నమూనాలో (పాత NCERT శైలి) “D” ఎంపికకు బలవంతపెడుతుంది.
   శార్ట్కట్: రెండింటి నుండి ఒకే సంవత్సరం వచ్చిన తర్వాత, “ఏదైనా ప్రకటన మాత్రమే” గుర్తించండి.
   అంశం ట్యాగ్: వయస్సు అనువాదం

5. పూర్ణాంకం n 12 తో భాగించబడుతుందా?
   I. n 3 తో భాగించబడుతుంది.
   II. n 4 తో భాగించబడుతుంది. సమాధానం: C
   పరిష్కారం: LCM(3,4)=12 → రెండూ అవసరం.
   శార్ట్కట్: 12 = 3×4 మరియు 3,4 కోప్రైమ్ అని గుర్తుంచుకోండి.
   అంశం ట్యాగ్: భాజ్యత నియమం, LCM

6. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఎంత?
   I. చుట్టుకొలత = 30 సెం.మీ.
   II. పొడవు వెడల్పు కంటే 2 సెం.మీ. ఎక్కువ. సమాధానం: C
   పరిష్కారం: 2(l+b)=30 మరియు l=b+2 → పరిష్కరించి l=8, b=6 → వైశాల్యం=48. రెండూ అవసరం.
   శార్ట్కట్: రెండు ప్రత్యేకమైన సమీకరణాలు → C.
   అంశం ట్యాగ్: దీర్ఘచతురస్రం సూత్రాలు

7. A,B,C లలో ఎవరు అత్యధికంగా స్కోర్ చేశారు?
   I. A B కంటే 10 ఎక్కువ స్కోర్ చేశాడు.
   II. C A కంటే 20 తక్కువ స్కోర్ చేశాడు. సమాధానం: E (ఏదీ సరిపోదు)
   పరిష్కారం: సాపేక్ష స్కోర్లు మాత్రమే; మూడింటిలో అత్యధికంగా నిర్ణయించడానికి సంపూర్ణ పోలిక లేదు.
   శార్ట్కట్: స్థిరమైన బేస్ లేదు → ర్యాంక్ చేయలేము.
   అంశం ట్యాగ్: సాపేక్ష డేటా

8. 6 మంది పురుషులు ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు?
   I. 9 మంది పురుషులు దానిని 12 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు.
   II. ప్రతి మనిషి సామర్థ్యం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సమాధానం: A
   పరిష్కారం: I మొత్తం మనిషి-రోజులు = 108 → 6 మంది పురుషులకు 108/6 = 18 రోజులు అవసరం. II అనవసరమైనది (ప్రామాణిక ఊహ).
   శార్ట్కట్: మొత్తం పని = స్థిరాంకం → మనిషి-రోజులు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి.
   అంశం ట్యాగ్: పని సమానత్వం

9. త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజమా?
   I. భుజాలు 7, 24, 25.
   II. ఒక కోణం 90° కు సమానం. సమాధానం: D (ఏదైనా)
   పరిష్కారం: I పైథాగరస్ను సంతృప్తిపరుస్తుంది; II నేరుగా లంబకోణాన్ని పేర్కొంటుంది. ప్రతి ఒక్కటి మాత్రమే సరిపోతుంది → “D – ఏదైనా ప్రకటన” ఎంచుకోండి.
   శార్ట్కట్: 7-24-25 పైథాగోరియన్ ట్రయాడ్.
   అంశం ట్యాగ్: పైథాగరస్, కోణం నిర్వచనం

10. లాభం శాతం ఎంత?
    I. కొన్నవెల = ₹400.
    II. అమ్మినవెల = ₹500. సమాధానం: C
    పరిష్కారం: రెండూ % = (500-400)/400×100 = 25% గణించడానికి అవసరం.
    శార్ట్కట్: % లాభం = (అమ్మినవెల-కొన్నవెల)/కొన్నవెల → ఎల్లప్పుడూ రెండు విలువలు అవసరం.
    అంశం ట్యాగ్: లాభం % సూత్రం

5 మునుపటి సంవత్సరం ప్రశ్నలు

1. [RRB NTPC 2021] గణితంలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉత్తీర్ణులయ్యారు?
   I. 150 మంది విద్యార్థులలో 80% గణితంలో ఉత్తీర్ణులయ్యారు.
   II. 20% విద్యార్థులు గణితంలో ఫెయిల్ అయ్యారు. సమాధానం: A
   పరిష్కారం: I నేరుగా 0.8×150 = 120 ని ఇస్తుంది. II అదే 80% ఉత్తీర్ణులయ్యారని ఇస్తుంది కానీ మొత్తం అవసరం; I ఇప్పటికే మొత్తాన్ని ఇస్తుంది కాబట్టి, మాత్రమే సరిపోతుంది → A.
   శార్ట్కట్: సంపూర్ణ మొత్తంతో % → ప్రత్యక్ష గణన.
   అంశం ట్యాగ్: శాతం బేస్

2. [RRB Group-D 2019] పూర్ణాంకం p సరి సంఖ్యా?
   I. 3p + 2 సరి సంఖ్య.
   II. p² + p సరి సంఖ్య. సమాధానం: D (ఏదైనా)
   పరిష్కారం: I → 3p సరి → p సరి. II → p(p+1) ఎల్లప్పుడూ సరి; కానీ p బేసి అయితే, p+1 సరి → ఇంకా సరి; అయితే, సరి p మాత్రమే ప్రకటన II ని సామాన్యంగా స్థిరంగా చేస్తుంది, అయితే రివర్స్ కూడా నిజం. వాస్తవానికి, II ఏదైనా పూర్ణాంకం p కి ఎల్లప్పుడూ నిజం, కాబట్టి అది p ని నిర్బంధించదు; అందువల్ల I మాత్రమే ఉపయోగపడుతుంది → దిద్దుబాటు: సమాధానం A అయి ఉండాలి. (వివరణాత్మక దిద్దుబాటు: II ఎల్లప్పుడూ సరి, కాబట్టి సమాచారం లేదు → I మాత్రమే సరిపోతుంది → A గుర్తించండి).
   శార్ట్కట్: పారిటీ చైన్ 3p+2 సరి ⇒ p సరి.
   అంశం ట్యాగ్: పారిటీ లాజిక్

3. [RRB JE 2018] A & B ల వయస్సుల నిష్పత్తి ఎంత?
   I. A B కంటే 6 సంవత్సరాలు పెద్దవాడు.
   II. 6 సంవత్సరాల తర్వాత, A B కంటే రెండు రెట్లు పెద్దవాడు అవుతాడు. సమాధానం: C
   పరిష్కారం: I: A=B+6. II: A+6=2(B+6). పరిష్కరించండి → B=6, A=12 → నిష్పత్తి 2:1. రెండూ అవసరం.
   శార్ట్కట్: రెండు లీనియర్ సమీకరణాలు → C.
   అంశం ట్యాగ్: వయస్సు సమస్యలు

4. [RRB NTPC 2016] x > 0 అనేది సత్యమేనా?
   I. |x| = x.
   II. x³ > 0. సమాధానం: D (ఏదైనా)
   పరిష్కారం: I → x≥0; కానీ x=0 కూడా సంతృప్తి పరుస్తుంది, అయితే ప్రశ్న “x>0” – మాత్రమే సరిపోదు (x 0 కావచ్చు). II → x³>0 ⇒ x>0 → మాత్రమే సరిపోతుంది. కాబట్టి II మాత్రమే సరిపోతుంది → ఎంపిక B. (గమనిక: నమూనా A/B/C/D మాత్రమే అనుమతిస్తుంది; సింగిల్ II ఎంపిక లేదు → అందువల్ల సరైన ఎంపిక ట్యాగ్ B).
   శార్ట్కట్: x³ గుర్తు x గుర్తుతో సమానం.
   అంశం ట్యాగ్: అసమానత, సంపూర్ణ విలువ

5. [RRB ALP 2018] ప్లాట్ఫారమ్ పొడవు ఎంత?
   I. 120 మీటర్ల పొడవు ఉన్న రైలు గంటకు 54 కి.మీ. వేగంతో దానిని 15 సెకన్లలో దాటుతుంది.
   II. 120 మీటర్ల పొడవు ఉన్న రైలు ఒక స్తంభాన్ని 8 సెకన్లలో దాటుతుంది. సమాధానం: A
   పరిష్కారం: I: వేగం = 15 మీ/సె; దూరం = 15×15 = 225 మీ → ప్లాట్ఫారమ్ = 225 – 120 = 105 మీ. II: వేగం మాత్రమే ఇస్తుంది → ప్లాట్ఫారమ్ కోసం మాత్రమే సరిపోదు. అందువల్ల I మాత్రమే సరిపోతుంది → A.
   శార్ట్కట్: కి.మీ./గం ను మీ/సె కి మార్చండి (×5/18); దూరం = వేగం × సమయం.
   అంశం ట్యాగ్: రైలు & ప్లాట్ఫారమ్

స్పీడ్ ట్రిక్స్ & శార్ట్కట్లు

తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి సాధారణ తప్పులు

త్వరిత రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డ్లు