പ്രധാന ആശയങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും

10 പരിശീലന MCQs

1. അമനുവിന് എത്ര മാർബിളുകൾ ഉണ്ട്?
   I. അമനുവിന് ഭാനുവിനേക്കാൾ 4 മാർബിളുകൾ കൂടുതൽ ഉണ്ട്.
   II. ഭാനുവിന് ചിത്രയേക്കാൾ 6 മാർബിളുകൾ കുറവ് ഉണ്ട്, അവൾക്ക് 10 മാർബിളുകൾ ഉണ്ട്. ഉത്തരം: C
   പരിഹാരം: II ൽ നിന്ന്, ഭാനു = 10 – 6 = 4. I ൽ നിന്ന്, അമൻ = 4 + 4 = 8. രണ്ട് പ്രസ്താവനകളും ആവശ്യമാണ്.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: നിശ്ചിത സംഖ്യ (10) ൽ നിന്ന് പിന്നോട്ട് പ്രവർത്തിക്കുക.
   ആശയ ടാഗ്: രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ, നിശ്ചിത റഫറൻസ്

2. x² – 5x + 6 = 0 ആണോ?
   I. x ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ < 4 ആണ്.
   II. x ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. ഉത്തരം: C
   പരിഹാരം: I x = 1,2,3 നൽകുന്നു. II അഭാജ്യ സംഖ്യകളായി പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു → x = 2 അല്ലെങ്കിൽ 3. ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നത് ഇവ മാത്രം → അദ്വിതീയ “അതെ”.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: 2 & 3 നേരിട്ട് പ്ലഗ് ചെയ്യുക; രണ്ടും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു → ഒരുമിച്ച് പര്യാപ്തം.
   ആശയ ടാഗ്: ക്വാഡ്രാറ്റിക് റൂട്ട്, അഭാജ്യ ഫിൽട്ടർ

3. ട്രെയിനിന്റെ വേഗത എത്രയാണ്?
   I. ട്രെയിൻ 100 മീറ്റർ പ്ലാറ്റ്ഫോം 10 സെക്കൻഡിൽ കടക്കുന്നു.
   II. ട്രെയിൻ ഒരു കമ്പത്തെ 6 സെക്കൻഡിൽ കടക്കുന്നു. ഉത്തരം: C
   പരിഹാരം: L = നീളം, S = വേഗത എന്നിരിക്കട്ടെ. II L = 6S നൽകുന്നു. I (L + 100)/S = 10 → 6S + 100 = 10S → S = 25 m/s നൽകുന്നു. രണ്ടും ആവശ്യമാണ്.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങൾ → C.
   ആശയ ടാഗ്: ട്രെയിൻ ക്രോസിംഗ്, ആപേക്ഷിക ദൂരം

4. ഏത് വർഷമാണ് രവി ജനിച്ചത്?
   I. അവന്റെ സഹോദരൻ, 4 വയസ്സ് മൂത്തയാൾ, 1996 ൽ ജനിച്ചു.
   II. രവി 2005 ൽ 5 വയസ്സുള്ളപ്പോൾ സ്കൂളിൽ ചേർന്നു. ഉത്തരം: D
   പരിഹാരം: I → 2000; II → 2000. ഓരോ പ്രസ്താവനയും മാത്രം 2000 നൽകുന്നു → ഉത്തരം A അല്ലെങ്കിൽ B ആണ്, പക്ഷേ ഓരോന്നും മാത്രം പര്യാപ്തമായതിനാൽ, ആദ്യം പര്യാപ്തമായി കാണുന്നത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക; എന്നിരുന്നാലും, ചോയ്സ് സെറ്റ് “ഏതെങ്കിലും പ്രസ്താവന I അല്ലെങ്കിൽ II” എന്നതിലേക്ക് നിർബന്ധിക്കുന്നു, അത് ആർ.ആർ.ബി പാറ്റേണിൽ (പഴയ എൻ.സി.ഇ.ആർ.ടി ശൈലി) “D” ഓപ്ഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: രണ്ടിൽ നിന്നും ഒരേ വർഷം ലഭിച്ചാൽ, “ഏത് പ്രസ്താവനയും മാത്രം” അടയാളപ്പെടുത്തുക.
   ആശയ ടാഗ്: പ്രായ വിവർത്തനം

5. പൂർണ്ണസംഖ്യ n 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ?
   I. n 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുന്നു.
   II. n 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുന്നു. ഉത്തരം: C
   പരിഹാരം: LCM(3,4)=12 → രണ്ടും ആവശ്യമാണ്.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: 12 = 3×4 ഉം 3,4 കോപ്രൈം ഉം ആണെന്ന് ഓർക്കുക.
   ആശയ ടാഗ്: ഹരണസാധ്യത നിയമം, LCM

6. ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എത്രയാണ്?
   I. ചുറ്റളവ് = 30 സെ.മീ.
   II. നീളം വീതിയേക്കാൾ 2 സെ.മീ കൂടുതലാണ്. ഉത്തരം: C
   പരിഹാരം: 2(l+b)=30 ഉം l=b+2 ഉം → പരിഹരിച്ച് l=8, b=6 → വിസ്തീർണ്ണം=48 ലഭിക്കും. രണ്ടും ആവശ്യമാണ്.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: രണ്ട് അദ്വിതീയ സമവാക്യങ്ങൾ → C.
   ആശയ ടാഗ്: ദീർഘചതുര സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

7. A,B,C എന്നിവരിൽ ആരാണ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന സ്കോർ നേടിയത്?
   I. A യ്ക്ക് B യേക്കാൾ 10 കൂടുതൽ സ്കോർ ലഭിച്ചു.
   II. C യ്ക്ക് A യേക്കാൾ 20 കുറവ് സ്കോർ ലഭിച്ചു. ഉത്തരം: E (രണ്ടും പര്യാപ്തമല്ല)
   പരിഹാരം: ആപേക്ഷിക സ്കോറുകൾ മാത്രം; മൂന്നിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് തീരുമാനിക്കാൻ സമ്പൂർണ്ണ താരതമ്യം ഇല്ല.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനം ഇല്ല → റാങ്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.
   ആശയ ടാഗ്: ആപേക്ഷിക ഡാറ്റ

8. 6 പുരുഷന്മാർക്ക് എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ജോലി പൂർത്തിയാക്കാനാകും?
   I. 9 പുരുഷന്മാർക്ക് 12 ദിവസം കൊണ്ട് പൂർത്തിയാക്കാനാകും.
   II. ഓരോ പുരുഷന്റെയും കാര്യക്ഷമത ഒന്നുതന്നെയാണ്. ഉത്തരം: A
   പരിഹാരം: I മൊത്തം മന്-ദിവസങ്ങൾ = 108 → 6 പുരുഷന്മാർക്ക് 108/6 = 18 ദിവസം ആവശ്യമാണ്. II അനാവശ്യമാണ് (സ്റ്റാൻഡേർഡ് അനുമാനം).
   ഷോർട്ട്കട്ട്: മൊത്തം ജോലി = സ്ഥിരാങ്കം → മന്-ദിവസങ്ങൾ ആനുപാതികമായി വിപരീതമാണ്.
   ആശയ ടാഗ്: ജോലി തുല്യത

9. ത്രികോണം വലത് കോണാണോ?
   I. വശങ്ങൾ 7, 24, 25 ആണ്.
   II. ഒരു കോൺ 90° ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: D (ഏതെങ്കിലും)
   പരിഹാരം: I പൈഥഗോറസ് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു; II നേരിട്ട് വലത് കോൺ പ്രസ്താവിക്കുന്നു. ഓരോന്നും മാത്രം പര്യാപ്തം → “D – ഏത് പ്രസ്താവനയും” തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: 7-24-25 പൈഥഗോറിയൻ ട്രയാഡ്.
   ആശയ ടാഗ്: പൈഥഗോറസ്, കോൺ നിർവ്വചനം

10. ലാഭ ശതമാനം എത്രയാണ്?
    I. CP = ₹400.
    II. SP = ₹500. ഉത്തരം: C
    പരിഹാരം: % = (500-400)/400×100 = 25% കണക്കാക്കാൻ രണ്ടും ആവശ്യമാണ്.
    ഷോർട്ട്കട്ട്: % ലാഭം = (SP-CP)/CP → എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും ആവശ്യമാണ്.
    ആശയ ടാഗ്: ലാഭ % സൂത്രവാക്യം

5 മുൻ വർഷ ചോദ്യങ്ങൾ

1. [RRB NTPC 2021] എത്ര വിദ്യാർത്ഥികൾ ഗണിതത്തിൽ വിജയിച്ചു?
   I. 150 വിദ്യാർത്ഥികളിൽ 80% ഗണിതത്തിൽ വിജയിച്ചു.
   II. 20% വിദ്യാർത്ഥികൾ ഗണിതത്തിൽ പരാജയപ്പെട്ടു. ഉത്തരം: A
   പരിഹാരം: I നേരിട്ട് 0.8×150 = 120 നൽകുന്നു. II അതേ 80% വിജയം നൽകുന്നു, പക്ഷേ മൊത്തം ആവശ്യമാണ്; I ഇതിനകം മൊത്തം നൽകുന്നതിനാൽ, മാത്രം പര്യാപ്തം → A.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: സമ്പൂർണ്ണ മൊത്തത്തോടുകൂടിയ % → നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ.
   ആശയ ടാഗ്: ശതമാന അടിസ്ഥാനം

2. [RRB Group-D 2019] പൂർണ്ണസംഖ്യ p ഇരട്ട സംഖ്യയാണോ?
   I. 3p + 2 ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.
   II. p² + p ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്. ഉത്തരം: D (ഏതെങ്കിലും)
   പരിഹാരം: I → 3p ഇരട്ട → p ഇരട്ട. II → p(p+1) എല്ലായ്പ്പോഴും ഇരട്ട; എന്നാൽ p ഒറ്റയായാൽ, p+1 ഇരട്ട → ഇപ്പോഴും ഇരട്ട; എന്നിരുന്നാലും, p ഇരട്ട ആയാൽ മാത്രം പ്രസ്താവന II തുച്ഛമായി സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, എന്നാൽ വിപരീതവും ശരിയാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, II എല്ലായ്പ്പോഴും ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യ p യ്ക്കും ശരിയാണ്, അതിനാൽ അത് p നെ നിയന്ത്രിക്കുന്നില്ല; അതിനാൽ I മാത്രമേ ഉപയോഗപ്രദമാകൂ → തിരുത്തൽ: ഉത്തരം A ആയിരിക്കണം. (വിശദീകരണ തിരുത്തൽ: II എല്ലായ്പ്പോഴും ഇരട്ടയാണ്, അതിനാൽ വിവരമില്ല → I മാത്രം പര്യാപ്തം → A അടയാളപ്പെടുത്തുക).
   ഷോർട്ട്കട്ട്: പാരിറ്റി ചെയിൻ 3p+2 ഇരട്ട ⇒ p ഇരട്ട.
   ആശയ ടാഗ്: പാരിറ്റി ലോജിക്

3. [RRB JE 2018] A & B യുടെ പ്രായങ്ങളുടെ അനുപാതം എത്രയാണ്?
   I. A യ്ക്ക് B യേക്കാൾ 6 വയസ്സ് കൂടുതലാണ്.
   II. 6 വർഷത്തിന് ശേഷം, A യുടെ പ്രായം B യുടെ പ്രായത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാകും. ഉത്തരം: C
   പരിഹാരം: I: A=B+6. II: A+6=2(B+6). പരിഹരിക്കുക → B=6, A=12 → അനുപാതം 2:1. രണ്ടും ആവശ്യമാണ്.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ → C.
   ആശയ ടാഗ്: പ്രായ പ്രശ്നങ്ങൾ

4. [RRB NTPC 2016] x > 0 ആണോ?
   I. |x| = x.
   II. x³ > 0. ഉത്തരം: D (ഏതെങ്കിലും)
   പരിഹാരം: I → x≥0; എന്നാൽ x=0 ഉം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, എന്നിട്ടും ചോദ്യം “x>0” ആണ് – മാത്രം പര്യാപ്തമല്ല (x 0 ആകാം). II → x³>0 ⇒ x>0 → മാത്രം പര്യാപ്തം. അതിനാൽ II മാത്രം പര്യാപ്തം → ചോയ്സ് B. (കുറിപ്പ്: പാറ്റേൺ A/B/C/D മാത്രമേ അനുവദിക്കുന്നുള്ളൂ; ഒറ്റ II ഓപ്ഷൻ ഇല്ല → അതിനാൽ ശരിയായ ഓപ്ഷൻ ടാഗ് B ആണ്).
   ഷോർട്ട്കട്ട്: x³ ചിഹ്നം x ന്റെ ചിഹ്നം തന്നെയാണ്.
   ആശയ ടാഗ്: അസമത്വം, സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം

5. [RRB ALP 2018] പ്ലാറ്റ്ഫോമിന്റെ നീളം എത്രയാണ്?
   I. 120 മീറ്റർ നീളമുള്ള ട്രെയിൻ 54 km/h വേഗതയിൽ 15 സെക്കൻഡിൽ അത് കടക്കുന്നു.
   II. 120 മീറ്റർ നീളമുള്ള ട്രെയിൻ ഒരു കമ്പത്തെ 8 സെക്കൻഡിൽ കടക്കുന്നു. ഉത്തരം: A
   പരിഹാരം: I: വേഗത = 15 m/s; ദൂരം = 15×15 = 225 m → പ്ലാറ്റ്ഫോം = 225 – 120 = 105 m. II: വേഗത മാത്രം നൽകുന്നു → പ്ലാറ്റ്ഫോമിന് മാത്രം പര്യാപ്തമല്ല. അതിനാൽ I മാത്രം പര്യാപ്തം → A.
   ഷോർട്ട്കട്ട്: km/h നെ m/s ആക്കി മാറ്റുക (×5/18); ദൂരം = വേഗത × സമയം.
   ആശയ ടാഗ്: ട്രെയിൻ & പ്ലാറ്റ്ഫോം

വേഗത ട്രിക്കുകളും ഷോർട്ട്കട്ടുകളും

ഒഴിവാക്കേണ്ട സാധാരണ തെറ്റുകൾ

ദ്രുത പുനരാലോചന ഫ്ലാഷ്കാർഡുകൾ