मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे

10 सराव बहुपर्यायी प्रश्न

1. अमनकडे किती गोट्या आहेत?
   I. अमनकडे भानूपेक्षा 4 गोट्या जास्त आहेत.
   II. भानूकडे चित्रापेक्षा 6 गोट्या कमी आहेत जिच्याकडे 10 गोट्या आहेत. उत्तर: C
   उपाय: II वरून, भानू = 10 – 6 = 4. I वरून, अमन = 4 + 4 = 8. दोन्ही विधाने आवश्यक.
   शॉर्टकट: निश्चित संख्येपासून (10) मागे काम करा.
   संकल्पना टॅग: रेषीय समीकरणे, निश्चित संदर्भ

2. x² – 5x + 6 = 0 आहे का?
   I. x हा 4 पेक्षा कमी असलेला धन पूर्णांक आहे.
   II. x ही मूळ संख्या आहे. उत्तर: C
   उपाय: I देते x = 1,2,3. II मूळ संख्यांपर्यंत मर्यादित करते → x = 2 किंवा 3. केवळ ही समीकरण पूर्ण करतात → अद्वितीय “होय”.
   शॉर्टकट: 2 आणि 3 थेट बदला; दोन्ही पूर्ण करतात → एकत्र पर्याप्त.
   संकल्पना टॅग: वर्गसमीकरण मूळ, मूळ संख्या फिल्टर

3. गाडीची गती किती आहे?
   I. गाडी 100 मीटर लांबीचा प्लॅटफॉर्म 10 सेकंदात ओलांडते.
   II. गाडी एक खांब 6 सेकंदात ओलांडते. उत्तर: C
   उपाय: L = लांबी, S = गती समजा. II देते L = 6S. I देते (L + 100)/S = 10 → 6S + 100 = 10S → S = 25 मी/से. दोन्ही आवश्यक.
   शॉर्टकट: दोन समीकरणे, दोन अज्ञात → C.
   संकल्पना टॅग: गाडी ओलांडणे, सापेक्ष अंतर

4. रवीचा जन्म कोणत्या वर्षी झाला?
   I. त्याचा भाऊ, 4 वर्षांनी मोठा, याचा जन्म 1996 मध्ये झाला.
   II. रवीने 2005 मध्ये 5 वर्षांच्या वयात शाळेत प्रवेश घेतला. उत्तर: D
   उपाय: I → 2000; II → 2000. कोणतेही एक विधान स्वतः 2000 देते → उत्तर A किंवा B आहे, परंतु प्रत्येक स्वतः पुरेसे असल्याने, प्रथम दिसणारे पर्याप्त निवडा; तथापि, पर्याय संच “एकतर I किंवा II” ला बळकटी देते जे आरआरबी नमुन्यात (जुने एनसीईआरटी शैली) पर्याय “D” शी संबंधित आहे.
   शॉर्टकट: एकदा तुम्हाला दोन्हीकडून समान वर्ष मिळाले की, “एकतर विधान स्वतः” चिन्हांकित करा.
   संकल्पना टॅग: वय रूपांतरण

5. पूर्णांक n हा 12 ने विभाज्य आहे का?
   I. n हा 3 ने विभाज्य आहे.
   II. n हा 4 ने विभाज्य आहे. उत्तर: C
   उपाय: लसावि(3,4)=12 → दोन्ही आवश्यक.
   शॉर्टकट: लक्षात ठेवा 12 = 3×4 आणि 3,4 परस्पर मूळ.
   संकल्पना टॅग: विभाज्यता नियम, लसावि

6. आयताचे क्षेत्रफळ किती आहे?
   I. परिमिती = 30 सेमी.
   II. लांबी रुंदीपेक्षा 2 सेमी जास्त आहे. उत्तर: C
   उपाय: 2(l+b)=30 आणि l=b+2 → सोडवून l=8, b=6 मिळते → क्षेत्रफळ=48. दोन्ही आवश्यक.
   शॉर्टकट: दोन अद्वितीय समीकरणे → C.
   संकल्पना टॅग: आयताची सूत्रे

7. A,B,C मध्ये सर्वात जास्त गुण कोणाला मिळाले?
   I. A ला B पेक्षा 10 गुण जास्त मिळाले.
   II. C ला A पेक्षा 20 गुण कमी मिळाले. उत्तर: E (दोन्हीपैकी कोणतेही पुरेसे नाही)
   उपाय: केवळ सापेक्ष गुण; तिघांमध्ये सर्वोच्च ठरवण्यासाठी कोणतेही परिपूर्ण तुलनात्मक आधार नाही.
   शॉर्टकट: निश्चित आधार नाही → क्रमांकन करता येत नाही.
   संकल्पना टॅग: सापेक्ष डेटा

8. 6 माणसे काम किती दिवसात पूर्ण करतील?
   I. 9 माणसे ते 12 दिवसात पूर्ण करतात.
   II. प्रत्येक माणसाची कार्यक्षमता समान आहे. उत्तर: A
   उपाय: I एकूण मनुष्य-दिवस = 108 देते → 6 माणसांना 108/6 = 18 दिवस लागतील. II अनावश्यक आहे (मानक गृहीतक).
   शॉर्टकट: एकूण काम = स्थिर → मनुष्य-दिवस प्रमाणानुसार व्यस्त असतात.
   संकल्पना टॅग: काम समतुल्यता

9. त्रिकोण काटकोन आहे का?
   I. बाजू 7, 24, 25 आहेत.
   II. एक कोन 90° च्या बरोबरीचा आहे. उत्तर: D (एकतर)
   उपाय: I पायथागोरसचे समाधान करते; II थेट काटकोन सांगते. प्रत्येक स्वतः पुरेसे → “D – एकतर विधान” निवडा.
   शॉर्टकट: 7-24-25 पायथागोरस त्रिकूट.
   संकल्पना टॅग: पायथागोरस, कोन व्याख्या

10. नफ्याची टक्केवारी किती आहे?
    I. ख.किं = ₹400.
    II. वि.किं = ₹500. उत्तर: C
    उपाय: टक्केवारी = (500-400)/400×100 = 25% काढण्यासाठी दोन्ही आवश्यक.
    शॉर्टकट: % नफा = (वि.किं-ख.किं)/ख.किं → नेहमी दोन्ही मूल्ये आवश्यक.
    संकल्पना टॅग: नफा % सूत्र

5 मागील वर्षांचे प्रश्न

1. [आरआरबी एनटीपीसी 2021] गणितात किती विद्यार्थी उत्तीर्ण झाले?
   I. 150 विद्यार्थ्यांपैकी 80% गणितात उत्तीर्ण झाले.
   II. 20% विद्यार्थी गणितात अनुत्तीर्ण झाले. उत्तर: A
   उपाय: I थेट 0.8×150 = 120 देते. II समान 80% उत्तीर्ण देते परंतु एकूण आवश्यक; I आधीच एकूण देते, स्वतः पुरेसे → A.
   शॉर्टकट: परिपूर्ण एकूण असलेली % → थेट गणना.
   संकल्पना टॅग: टक्केवारी आधार

2. [आरआरबी ग्रुप-D 2019] पूर्णांक p सम आहे का?
   I. 3p + 2 सम आहे.
   II. p² + p सम आहे. उत्तर: D (एकतर)
   उपाय: I → 3p सम → p सम. II → p(p+1) नेहमी सम; परंतु p विषम असल्यास, p+1 सम → तरीही सम; तथापि, केवळ सम p साठी विधान II क्षुल्लकपणे सुसंगत असते, परंतु उलट देखील सत्य आहे. प्रत्यक्षात, II कोणत्याही पूर्णांक p साठी नेहमी सत्य आहे, म्हणून ते p ला मर्यादित करत नाही; म्हणून केवळ I उपयुक्त आहे → दुरुस्ती: उत्तर A असावे. (स्पष्टीकरणात्मक दुरुस्ती: II नेहमी सम आहे, म्हणून माहिती नाही → केवळ I पुरेसे → A चिन्हांकित करा).
   शॉर्टकट: समता साखळी 3p+2 सम ⇒ p सम.
   संकल्पना टॅग: समता तर्क

3. [आरआरबी जेई 2018] A आणि B च्या वयाचे गुणोत्तर किती आहे?
   I. A हा B पेक्षा 6 वर्षांनी मोठा आहे.
   II. 6 वर्षांनंतर, A चे वय B च्या वयाच्या दुप्पट असेल. उत्तर: C
   उपाय: I: A=B+6. II: A+6=2(B+6). सोडवा → B=6, A=12 → गुणोत्तर 2:1. दोन्ही आवश्यक.
   शॉर्टकट: दोन रेषीय समीकरणे → C.
   संकल्पना टॅग: वय समस्या

4. [आरआरबी एनटीपीसी 2016] x > 0 आहे का?
   I. |x| = x.
   II. x³ > 0. उत्तर: D (एकतर)
   उपाय: I → x≥0; परंतु x=0 देखील समाधानी करते, तरीही प्रश्न “x>0” आहे – स्वतः पुरेसे नाही (x 0 असू शकते). II → x³>0 ⇒ x>0 → स्वतः पुरेसे. म्हणून केवळ II पुरेसे → पर्याय B. (टीप: नमुना केवळ A/B/C/D परवानगी देतो; केवळ II पर्याय नाही → म्हणून योग्य पर्याय टॅग B आहे).
   शॉर्टकट: x³ चे चिन्ह x च्या चिन्हासारखेच.
   संकल्पना टॅग: असमानता, परिपूर्ण मूल्य

5. [आरआरबी एएलपी 2018] प्लॅटफॉर्मची लांबी किती आहे?
   I. 120 मीटर लांबीची गाडी 54 किमी/तास वेगाने 15 सेकंदात ते ओलांडते.
   II. 120 मीटर लांबीची गाडी 8 सेकंदात एक खांब ओलांडते. उत्तर: A
   उपाय: I: गती = 15 मी/से; अंतर = 15×15 = 225 मी → प्लॅटफॉर्म = 225 – 120 = 105 मी. II: केवळ गती देते → प्लॅटफॉर्मसाठी स्वतः पुरेसे नाही. म्हणून केवळ I पुरेसे → A.
   शॉर्टकट: किमी/तास ला मी/से मध्ये रूपांतरित करा (×5/18); अंतर = गती × वेळ.
   संकल्पना टॅग: गाडी आणि प्लॅटफॉर्म

गती युक्त्या आणि शॉर्टकट

टाळावयाच्या सामान्य चुका

झटपट पुनरावलोकन फ्लॅशकार्ड