ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଏବଂ ସୂତ୍ର

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ MCQs

1. ଅମନଙ୍କ ପାଖରେ କେତେ ଗୋଟି ଗୋଟି ଅଛି?
   I. ଅମନଙ୍କ ପାଖରେ ଭାନୁଙ୍କ ଠାରୁ ୪ଟି ଅଧିକ ଗୋଟି ଅଛି।
   II. ଭାନୁଙ୍କ ପାଖରେ ଚିତ୍ରାଙ୍କ ଠାରୁ ୬ଟି କମ୍ ଗୋଟି ଅଛି ଯାହାଙ୍କ ପାଖରେ ୧୦ଟି ଗୋଟି ଅଛି। ଉତ୍ତର: C
   ସମାଧାନ: II ରୁ, ଭାନୁ = ୧୦ – ୬ = ୪। I ରୁ, ଅମନ = ୪ + ୪ = ୮। ଉଭୟ ବିବୃତ୍ତି ଆବଶ୍ୟକ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ସ୍ଥିର ସଂଖ୍ୟା (୧୦) ରୁ ପଛକୁ କାମ କରନ୍ତୁ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ, ସ୍ଥିର ଆଧାର

2. x² – 5x + 6 = 0 କି?
   I. x ଏକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା < 4।
   II. x ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା। ଉତ୍ତର: C
   ସମାଧାନ: I x = 1,2,3 ଦେଇଥାଏ। II ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୀମିତ କରେ → x = 2 କିମ୍ବା 3। କେବଳ ଏଗୁଡିକ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରନ୍ତି → ଅନନ୍ୟ “ହଁ”।
   ଶର୍ଟକଟ୍: 2 ଏବଂ 3 କୁ ସିଧାସଳଖ ପ୍ଲଗ୍ କରନ୍ତୁ; ଉଭୟ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରନ୍ତି → ଏକତ୍ର ସଫିସିଏନ୍ଟ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ, ମୌଳିକ ଫିଲ୍ଟର

3. ଟ୍ରେନର ଗତି କେତେ?
   I. ଟ୍ରେନ ୧୦ ସେକେଣ୍ଡରେ ୧୦୦ ମିଟର ପ୍ଲାଟଫର୍ମ ଅତିକ୍ରମ କରେ।
   II. ଟ୍ରେନ ୬ ସେକେଣ୍ଡରେ ଏକ ଖୁଣ୍ଟ ଅତିକ୍ରମ କରେ। ଉତ୍ତର: C
   ସମାଧାନ: ମନେକର L = ଦୈର୍ଘ୍ୟ, S = ଗତି। II L = 6S ଦେଇଥାଏ। I (L + 100)/S = 10 → 6S + 100 = 10S → S = 25 ମି/ସେ ଦେଇଥାଏ। ଉଭୟ ଆବଶ୍ୟକ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ, ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ → C।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଟ୍ରେନ ଅତିକ୍ରମ, ଆପେକ୍ଷିକ ଦୂରତା

4. ରବି କେଉଁ ବର୍ଷରେ ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲେ?
   I. ତାଙ୍କ ଭାଇ, ୪ ବର୍ଷ ବଡ଼, ୧୯୯୬ ମସିହାରେ ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲେ।
   II. ରବି ୨୦୦୫ ମସିହାରେ ୫ ବର୍ଷ ବୟସରେ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ। ଉତ୍ତର: D
   ସମାଧାନ: I → ୨୦୦୦; II → ୨୦୦୦। ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିବୃତ୍ତି ଏକାକୀ ୨୦୦୦ ଦେଇଥାଏ → ଉତ୍ତର A କିମ୍ବା B, କିନ୍ତୁ ଯେହେତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକାକୀ ଯଥେଷ୍ଟ, ପ୍ରଥମେ ଦେଖାଯାଉଥିବା ସଫିସିଏନ୍ଟକୁ ବାଛନ୍ତୁ; ତଥାପି, ବିକଳ୍ପ ସେଟ୍ RRB ପ୍ୟାଟର୍ନରେ (ପୁରାତନ NCERT ଶୈଳୀ) “D” ବିକଳ୍ପକୁ ବାଧ୍ୟ କରେ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ଉଭୟରୁ ସମାନ ବର୍ଷ ପାଇବା ପରେ, “ଯେକୌଣସି ବିବୃତ୍ତି ଏକାକୀ” ଚିହ୍ନିତ କରନ୍ତୁ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ବୟସ ଅନୁବାଦ

5. ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା n, 12 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
   I. n, 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
   II. n, 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ଉତ୍ତର: C
   ସମାଧାନ: LCM(3,4)=12 → ଉଭୟ ଆବଶ୍ୟକ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ମନେରଖନ୍ତୁ 12 = 3×4 ଏବଂ 3,4 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ, LCM

6. ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?
   I. ପରିସୀମା = ୩୦ ସେ.ମି.
   II. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥ ଠାରୁ ୨ ସେ.ମି. ଅଧିକ। ଉତ୍ତର: C
   ସମାଧାନ: 2(l+b)=30 ଏବଂ l=b+2 → ସମାଧାନ କରି l=8, b=6 ପାଆନ୍ତୁ → କ୍ଷେତ୍ରଫଳ=48। ଉଭୟ ଆବଶ୍ୟକ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ଦୁଇଟି ଅନନ୍ୟ ସମୀକରଣ → C।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ସୂତ୍ର

7. A,B,C ମଧ୍ୟରେ କିଏ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ସ୍କୋର କରିଥିଲେ?
   I. A, B ଠାରୁ ୧୦ ଅଧିକ ସ୍କୋର କରିଥିଲେ।
   II. C, A ଠାରୁ ୨୦ କମ୍ ସ୍କୋର କରିଥିଲେ। ଉତ୍ତର: E (କୌଣସିଟି ସଫିସିଏନ୍ଟ ନୁହେଁ)
   ସମାଧାନ: କେବଳ ଆପେକ୍ଷିକ ସ୍କୋର; ତିନିଜଣ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ କୌଣସି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ତୁଳନା ନାହିଁ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: କୌଣସି ସ୍ଥିର ଆଧାର ନାହିଁ → ର୍ୟାଙ୍କ କରିପାରିବେ ନାହିଁ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଆପେକ୍ଷିକ ତଥ୍ୟ

8. ୬ ଜଣ ଲୋକ କାର୍ଯ୍ୟଟି କେତେ ଦିନରେ ସମାପ୍ତ କରିବେ?
   I. ୯ ଜଣ ଲୋକ ଏହାକୁ ୧୨ ଦିନରେ ସମାପ୍ତ କରନ୍ତି।
   II. ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲୋକର ଦକ୍ଷତା ସମାନ। ଉତ୍ତର: A
   ସମାଧାନ: I ସମୁଦାୟ ମ୍ୟାନ୍-ଦିନ = ୧୦୮ ଦେଇଥାଏ → ୬ ଜଣ ଲୋକଙ୍କୁ ୧୦୮/୬ = ୧୮ ଦିନ ଆବଶ୍ୟକ। II ଅନାବଶ୍ୟକ (ମାନକ ଧାରଣା)।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ସମୁଦାୟ କାର୍ଯ୍ୟ = ସ୍ଥିର → ମ୍ୟାନ୍-ଦିନ ବ୍ୟସ୍ତ ଆନୁପାତିକ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: କାର୍ଯ୍ୟ ସମାନତା

9. ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ କି?
   I. ବାହୁଗୁଡିକ ୭, ୨୪, ୨୫।
   II. ଗୋଟିଏ କୋଣ ୯୦° ସହ ସମାନ। ଉତ୍ତର: D (ଯେକୌଣସିଟି)
   ସମାଧାନ: I ପାଇଥାଗୋରାସ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ; II ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମକୋଣ କହିଥାଏ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକାକୀ ସଫିସିଏନ୍ଟ → “D – ଯେକୌଣସି ବିବୃତ୍ତି” ବାଛନ୍ତୁ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ୭-୨୪-୨୫ ପାଇଥାଗୋରିଆନ୍ ଟ୍ରାଏଡ୍।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ପାଇଥାଗୋରାସ୍, କୋଣ ସଂଜ୍ଞା

10. ଲାଭ ଶତକଡ଼ା କେତେ?
    I. CP = ₹୪୦୦।
    II. SP = ₹୫୦୦। ଉତ୍ତର: C
    ସମାଧାନ: ଉଭୟ ଆବଶ୍ୟକ ଗଣନା ପାଇଁ % = (୫୦୦-୪୦୦)/୪୦୦×୧୦୦ = ୨୫%।
    ଶର୍ଟକଟ୍: % ଲାଭ = (SP-CP)/CP → ସର୍ବଦା ଉଭୟ ମୂଲ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ।
    ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଲାଭ % ସୂତ୍ର

୫ଟି ପୂର୍ବତନ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

1. [RRB NTPC 2021] ଗଣିତରେ କେତେ ଜଣ ଛାତ୍ର ଉତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ହୋଇଥିଲେ?
   I. ୧୫୦ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ୮୦% ଗଣିତରେ ଉତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ହୋଇଥିଲେ।
   II. ୨୦% ଛାତ୍ର ଗଣିତରେ ଅନୁତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ହୋଇଥିଲେ। ଉତ୍ତର: A
   ସମାଧାନ: I ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ 0.8×150 = 120 ଦେଇଥାଏ। II ସମାନ 80% ଉତ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ଦେଇଥାଏ କିନ୍ତୁ ସମୁଦାୟ ଆବଶ୍ୟକ; ଯେହେତୁ I ପୂର୍ବରୁ ସମୁଦାୟ ଦେଇଛି, ଏକାକୀ ସଫିସିଏନ୍ଟ → A।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମୁଦାୟ ସହିତ % → ସିଧାସଳଖ ଗଣନା।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଶତକଡ଼ା ଆଧାର

2. [RRB Group-D 2019] ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା p ଯୁଗ୍ମ କି?
   I. 3p + 2 ଯୁଗ୍ମ।
   II. p² + p ଯୁଗ୍ମ। ଉତ୍ତର: D (ଯେକୌଣସିଟି)
   ସମାଧାନ: I → 3p ଯୁଗ୍ମ → p ଯୁଗ୍ମ। II → p(p+1) ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ; କିନ୍ତୁ p ଅଯୁଗ୍ମ ପାଇଁ, p+1 ଯୁଗ୍ମ → ତଥାପି ଯୁଗ୍ମ; ତଥାପି, କେବଳ ଯୁଗ୍ମ p ବିବୃତ୍ତି II କୁ ସାଧାରଣ ଭାବରେ ସଙ୍ଗତ କରେ, କିନ୍ତୁ ବିପରୀତଟି ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ। ପ୍ରକୃତରେ, II ସର୍ବଦା ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା p ପାଇଁ ସତ୍ୟ, ତେଣୁ ଏହା p କୁ ସୀମିତ କରେ ନାହିଁ; ତେଣୁ କେବଳ I ଉପଯୋଗୀ → ସଂଶୋଧନ: ଉତ୍ତର A ହେବା ଉଚିତ। (ବ୍ୟାଖ୍ୟାତ୍ମକ ସଂଶୋଧନ: II ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ, ତେଣୁ କୌଣସି ସୂଚନା ନାହିଁ → କେବଳ I ସଫିସିଏନ୍ଟ → A ଚିହ୍ନିତ କରନ୍ତୁ)।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ପ୍ୟାରିଟି ଶୃଙ୍ଖଳ 3p+2 ଯୁଗ୍ମ ⇒ p ଯୁଗ୍ମ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ପ୍ୟାରିଟି ତର୍କ

3. [RRB JE 2018] A ଏବଂ B ଙ୍କ ବୟସର ଅନୁପାତ କେତେ?
   I. A, B ଠାରୁ ୬ ବର୍ଷ ବଡ଼।
   II. ୬ ବର୍ଷ ପରେ, A ଙ୍କ ବୟସ B ଙ୍କ ବୟସର ଦୁଇଗୁଣ ହେବ। ଉତ୍ତର: C
   ସମାଧାନ: I: A=B+6। II: A+6=2(B+6)। ସମାଧାନ → B=6, A=12 → ଅନୁପାତ 2:1। ଉଭୟ ଆବଶ୍ୟକ।
   ଶର୍ଟକଟ୍: ଦୁଇଟି ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ → C।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ବୟସ ସମସ୍ୟା

4. [RRB NTPC 2016] x > 0 କି?
   I. |x| = x।
   II. x³ > 0। ଉତ୍ତର: D (ଯେକୌଣସିଟି)
   ସମାଧାନ: I → x≥0; କିନ୍ତୁ x=0 ମଧ୍ୟ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ, ତଥାପି ପ୍ରଶ୍ନଟି “x>0” – ଏକାକୀ ସଫିସିଏନ୍ଟ ନୁହେଁ (x 0 ହୋଇପାରେ)। II → x³>0 ⇒ x>0 → ଏକାକୀ ସଫିସିଏନ୍ଟ। ତେଣୁ କେବଳ II ସଫିସିଏନ୍ଟ → ବିକଳ୍ପ B। (ଟିପ୍ପଣୀ: ପ୍ୟାଟର୍ନ କେବଳ A/B/C/D କୁ ଅନୁମତି ଦେଇଥାଏ; କେବଳ II ବିକଳ୍ପ ନାହିଁ → ତେଣୁ ସଠିକ୍ ବିକଳ୍ପ ଟ୍ୟାଗ୍ B)।
   ଶର୍ଟକଟ୍: x³ ଚିହ୍ନ x ଚିହ୍ନ ସହିତ ସମାନ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଅସମାନତା, ପରମ ମୂଲ୍ୟ

5. [RRB ALP 2018] ପ୍ଲାଟଫର୍ମର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?
   I. ୧୨୦ ମି. ଲମ୍ବା ଟ୍ରେନ ୫୪ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ୧୫ ସେକେଣ୍ଡରେ ଏହାକୁ ଅତିକ୍ରମ କରେ।
   II. ୧୨୦ ମି. ଲମ୍ବା ଟ୍ରେନ ୮ ସେକେଣ୍ଡରେ ଏକ ଖୁଣ୍ଟ ଅତିକ୍ରମ କରେ। ଉତ୍ତର: A
   ସମାଧାନ: I: ବେଗ = ୧୫ ମି/ସେ; ଦୂରତା = ୧୫×୧୫ = ୨୨୫ ମି → ପ୍ଲାଟଫର୍ମ = ୨୨୫ – ୧୨୦ = ୧୦୫ ମି। II: କେବଳ ବେଗ ଦେଇଥାଏ → ପ୍ଲାଟଫର୍ମ ପାଇଁ ଏକାକୀ ସଫିସିଏନ୍ଟ ନୁହେଁ। ତେଣୁ କେବଳ I ସଫିସିଏନ୍ଟ → A।
   ଶର୍ଟକଟ୍: କି.ମି./ଘଣ୍ଟାକୁ ମି/ସେ ରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରନ୍ତୁ (×୫/୧୮); ଦୂରତା = ବେଗ × ସମୟ।
   ଧାରଣା ଟ୍ୟାଗ୍: ଟ୍ରେନ ଏବଂ ପ୍ଲାଟଫର୍ମ

ଗତି ଟ୍ରିକ୍ ଏବଂ ଶର୍ଟକଟ୍

ଏଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍