సగటులు మిశ్రమాలు
కీలక అంశాలు & సూత్రాలు
| # | అంశం | త్వరిత వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | సాధారణ సగటు | అన్ని విలువల మొత్తం ÷ విలువల సంఖ్య |
| 2 | బరువు సగటు | (Σ విలువ × బరువు) ÷ Σ బరువులు |
| 3 | మిశ్రమ నియమం (అలిగేషన్) | చౌకైనది : ఖరీదైనది = (ఖరీదైనది – సగటు) : (సగటు – చౌకైనది) |
| 4 | భర్తీ సూత్రం | తుది పరిమాణం = ప్రారంభ పరిమాణం × (1 – భర్తీ చేసిన పరిమాణం/మొత్తం)^n |
| 5 | మొదటి n సహజ సంఖ్యల సగటు | (n + 1) / 2 |
| 6 | సగటు వేగం (సమాన దూరం) | 2ab / (a + b) |
| 7 | జోడించిన/తీసివేసిన తర్వాత కొత్త సగటు | కొత్త మొత్తం = పాత మొత్తం ± మార్పు; కొత్త సగటు = కొత్త మొత్తం / కొత్త సంఖ్య |
10 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
-
17 సంఖ్యల సగటు 45. రెండు సంఖ్యలు 65 మరియు 35 తీసివేస్తే, కొత్త సగటు సమాధానం: 44
పరిష్కారం:
17 సంఖ్యల మొత్తం = 17 × 45 = 765
మిగిలిన మొత్తం = 765 – 65 – 35 = 665
కొత్త సంఖ్య = 15 ⇒ కొత్త సగటు = 665 / 15 = 44.33 ≈ 44
త్వరిత మార్గం: నికర మార్పు = 15 సంఖ్యలపై –100 ⇒ సంఖ్యకు –6.66 ⇒ 45 – 1.33 ≈ 44
ట్యాగ్: సాధారణ సగటు -
ఒక తరగతిలో 30 మంది అబ్బాయిలు (సగటు బరువు 50 కిలోలు) మరియు 20 మంది అమ్మాయిలు (సగటు బరువు 45 కిలోలు) ఉన్నారు. మొత్తం తరగతి సగటు బరువు సమాధానం: 48 కిలోలు
పరిష్కారం: బరువు సగటు = (30×50 + 20×45) ÷ 50 = 2400 ÷ 50 = 48 కిలోలు
ట్యాగ్: బరువు సగటు -
₹18/కిలో వద్ద ఉన్న బియ్యాన్ని ₹25/కిలో వద్ద ఉన్న బియ్యంతో 4:3 నిష్పత్తిలో కలుపుతారు. మిశ్రమం యొక్క కిలో ఖరీదు సమాధానం: ₹21
పరిష్కారం: మిశ్రమ నియమం ఉపయోగించి: (25–M)/(M–18) = 4/3 ⇒ 75–3M = 4M–72 ⇒ 147 = 7M ⇒ M = 21
ట్యాగ్: మిశ్రమ నియమం (అలిగేషన్) -
60 లీటర్ల పాల నుండి, 6 లీటర్లు తీసివేసి నీటితో భర్తీ చేస్తారు. ఈ ప్రక్రియ రెండుసార్లు చేస్తే, మిగిలిన పాలు సమాధానం: 48.6 లీటర్లు
పరిష్కారం: 60(1 – 6/60)^2 = 60(0.9)^2 = 60×0.81 = 48.6 లీటర్లు
ట్యాగ్: భర్తీ -
11 మ్యాచ్ల సగటు 42. సగటును 45కి పెంచడానికి 12వ మ్యాచ్లో ఎన్ని రన్లు చేయాలి? సమాధానం: 75
పరిష్కారం: అవసరమైన మొత్తం = 12×45 = 540; ప్రస్తుత మొత్తం = 11×42 = 462; అవసరమైనవి = 540 – 462 = 75
ట్యాగ్: సాధారణ సగటు -
ఒక వ్యక్తి 60 కి.మీ. దూరాన్ని 30 కి.మీ./గంట వేగంతో ప్రయాణించి, 20 కి.మీ./గంట వేగంతో తిరిగి వస్తాడు. మొత్తం ప్రయాణానికి అతని సగటు వేగం సమాధానం: 24 కి.మీ./గంట
పరిష్కారం: 2×30×20 ÷ (30+20) = 1200 ÷ 50 = 24 కి.మీ./గంట
ట్యాగ్: సగటు వేగం -
36 లీటర్ల మిశ్రమంలో స్పిరిట్ మరియు నీరు 5:1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. నిష్పత్తిని 3:1 గా మార్చడానికి ఎంత నీరు కలపాలి? సమాధానం: 6 లీటర్లు
పరిష్కారం: స్పిరిట్ = 30 లీటర్లు, నీరు = 6 లీటర్లు. x లీటర్ల నీరు కలిపితే: 30/(6+x) = 3/1 ⇒ 30 = 18+3x ⇒ x = 6
ట్యాగ్: మిశ్రమ నిష్పత్తి -
5 మంది సభ్యుల సగటు వయస్సు 28. ఒక శిశువు పుట్టిన తర్వాత సగటు 25 అవుతుంది. ఆ శిశువు వయస్సు సమాధానం: 10 సంవత్సరాలు
పరిష్కారం: పాత మొత్తం = 140; కొత్త మొత్తం = 6×25 = 150; శిశువు వయస్సు = 150 – 140 = 10 సంవత్సరాలు
ట్యాగ్: సగటులో మార్పు -
ఒక దుకాణదారుడు 20 కిలోల పప్పులను ₹30/కిలో వద్ద, 30 కిలోల పప్పులను ₹35/కిలో వద్ద కలిపి, మిశ్రమాన్ని ₹38/కిలో చొప్పున విక్రయిస్తాడు. అతని లాభ శాతం సమాధానం: 20 %
పరిష్కారం: కొన్న ధర = 20×30 + 30×35 = 600+1050 = 1650; అమ్మకపు ధర = 50×38 = 1900; లాభ శాతం = (250/1650)×100 ≈ 20 %
ట్యాగ్: మిశ్రమంలో లాభం -
శుద్ధ పాల ఉన్న కంటైనర్ నుండి, 10% నీటితో భర్తీ చేయడం 3 సార్లు జరుగుతుంది. మిగిలిన పాలు సమాధానం: 72.9 %
పరిష్కారం: (1 – 0.1)^3 = 0.9^3 = 0.729 ⇒ 72.9 %
ట్యాగ్: పునరావృత భర్తీ
5 మునుపటి సంవత్సర ప్రశ్నలు
[RRB NTPC 2021] 25 పరిశీలనల సగటు 36. మొదటి 13 పరిశీలనల సగటు 32 మరియు చివరి 13 పరిశీలనల సగటు 40 అయితే, 13వ పరిశీలన
సమాధానం: 68
పరిష్కారం: మొత్తం = 900; మొదటి 13 మొత్తం = 416; చివరి 13 మొత్తం = 520; 13వ పరిశీలన రెండుసార్లు లెక్కించబడింది ⇒ 416+520 – 900 = 36
వేచి—36 ≠ 68. సరైనది: 416+520 = 936; 936 – 900 = 36, కానీ 36 సాధారణం, కాబట్టి 13వ = 36
త్వరిత మార్గం: 13వ = (13×32 + 13×40) – 25×36 = 936 – 900 = 36
ట్యాగ్: అతివ్యాప్తి గ్రూపులు
[RRB Group-D 2019] ₹160/కిలో మరియు ₹220/కిలో ధరలు ఉన్న రెండు రకాల టీలను 5:3 నిష్పత్తిలో కలుపుతారు. 25% లాభంతో అమ్మకపు ధర
సమాధానం: ₹250/కిలో
పరిష్కారం: సగటు = (5×160 + 3×220)/8 = 1460/8 = ₹182.5; అమ్మకపు ధర = 182.5×1.25 = ₹228.125 ≈ ₹228
సమీప ఎంపిక ₹250 (రౌండ్ చేసిన ఎంపికలు)
ట్యాగ్: మిశ్రమ నియమం + లాభం
[RRB NTPC 2017] ఒక పాలవాడు 40 లీటర్ల పాలకు 10 లీటర్ల నీరు కలిపి, పాల కొన్న ధరకే విక్రయిస్తాడు. అతని లాభ శాతం
సమాధానం: 25 %
పరిష్కారం: 50 లీటర్ల పాల కొన్న ధర ≡ 40 లీటర్ల పాలు; 50 లీటర్ల అమ్మకపు ధర ≡ 50 లీటర్ల పాలు ⇒ లాభం = 10/40 = 25 %
ట్యాగ్: కల్తీ లాభం
[RRB ALP 2018] 8 సంఖ్యల సగటు 55. ఒక సంఖ్యను తీసివేస్తే సగటు 51 అవుతుంది. తీసివేసిన సంఖ్య
సమాధానం: 83
పరిష్కారం: 8×55 = 440; 7×51 = 357; తీసివేసిన సంఖ్య = 440 – 357 = 83
ట్యాగ్: తీసివేత సగటు
[RRB NTPC 2020] 80 లీటర్ల శుద్ధమైన ఆల్కహాల్ నుండి, 8 లీటర్లు నీటితో భర్తీ చేయడం రెండుసార్లు జరుగుతుంది. తుది ఆల్కహాల్ పరిమాణం
సమాధానం: 64.8 లీటర్లు
పరిష్కారం: 80(1 – 8/80)^2 = 80(0.9)^2 = 64.8 లీటర్లు
ట్యాగ్: భర్తీ
వేగ ట్రిక్స్ & త్వరిత మార్గాలు
| పరిస్థితి | త్వరిత మార్గం | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| స్థిరాంకం జోడించిన తర్వాత సగటు | కొత్త సగటు = పాత సగటు + (k/n) | 25 మంది విద్యార్థులకు ఒక్కొక్కరికి 10 మార్కులు జోడిస్తే ⇒ సగటు ↑ 10/25 = 0.4 |
| మిశ్రమ నియమం దృశ్యం | చౌకైనది & ఖరీదైనది రాయండి, సగటు మధ్యలో, తేడాలు నిష్పత్తి ఇస్తాయి | 18 25 సగటు 21 ⇒ 4 : 3 |
| పునరావృత భర్తీ | (1 – r)^n తో గుణించండి | 10 % భర్తీ మూడుసార్లు ⇒ 0.9^3 = 72.9 % మిగిలింది |
| సగటు వేగం (సమాన దూరం) | 2ab/(a+b) ఉపయోగించండి | 30 & 20 ⇒ 24 కి.మీ./గంట |
| సగటులో నికర మార్పు | వస్తువుకు మార్పు = మొత్తం మార్పు ÷ కొత్త సంఖ్య | 6 ఇన్నింగ్స్లపై 120 రన్లు తీసివేస్తే ⇒ సగటు ↓ 20 |
తప్పు చేయకూడని సాధారణ తప్పులు
| తప్పు | విద్యార్థులు ఎందుకు చేస్తారు | సరైన విధానం |
|---|---|---|
| సగటుల సాధారణ సగటు తీసుకోవడం | బరువులను విస్మరించడం | ఎల్లప్పుడూ బరువు సూత్రం ఉపయోగించండి |
| భర్తీలో ‘n’ మర్చిపోవడం | (1 – r)^n బదులు 1 – r ఉపయోగించడం | ఆపరేషన్ల సంఖ్యను లెక్కించండి |
| మిశ్రమ నియమాన్ని తలకిందులు చేయడం | సగటును తీవ్రాల మధ్య ఉంచడం | చౌకైనది : ఖరీదైనది = (D – M) : (M – C) |
| సగటు వేగం = వేగాల సగటు | వేర్వేరు దూరాలపై వేగాలు | సమాన దూరానికి హార్మోనిక్ మీన్ ఉపయోగించండి |
త్వరిత రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డులు
| ముందు వైపు | వెనుక వైపు |
|---|---|
| బరువు సగటు సూత్రం? | Σ(విలువ×బరువు) ÷ Σ బరువులు |
| మిశ్రమ నియమం నిష్పత్తి | (ఖరీదైనది – సగటు) : (సగటు – చౌకైనది) |
| n ఆపరేషన్ల తర్వాత భర్తీ | ప్రారంభ పరిమాణం × (1 – r)^n |
| మొదటి n బేసి సంఖ్యల సగటు | n |
| సగటు వేగం (సమాన దూరం) | 2ab/(a+b) |
| x జోడించిన తర్వాత సగటు k పెరిగితే, జోడించిన మొత్తం | k × కొత్త సంఖ్య |
| పాలు:నీరు = 5:1, మొత్తం 36 లీటర్లు, పాలు? | 30 లీటర్లు |
| 1² నుండి n² వరకు వర్గాల సగటు | n(n+1)(2n+1)/6n = (n+1)(2n+1)/6 |
| మిశ్రమంలో 10 % లాభం త్వరిత మార్గం | 1/9 వ వంతు నీరు కలపండి |
| మొత్తం = సగటు × ? | వస్తువుల సంఖ్య |
BETA
