औसत और मिश्रण
मुख्य अवधारणाएं और सूत्र
| # | अवधारणा | संक्षिप्त व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | साधारण औसत | सभी मानों का योग ÷ मानों की संख्या |
| 2 | भारित औसत | (Σ मान × भार) ÷ Σ भार |
| 3 | मिश्रण नियम | सस्ता : महंगा = (महंगा – माध्य) : (माध्य – सस्ता) |
| 4 | प्रतिस्थापन सूत्र | अंतिम मात्रा = प्रारंभिक × (1 – प्रतिस्थापित मात्रा/कुल)^n |
| 5 | प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत | (n + 1) / 2 |
| 6 | औसत गति (समान दूरी) | 2ab / (a + b) |
| 7 | जोड़ने/हटाने के बाद नया औसत | नया कुल = पुराना कुल ± परिवर्तन; नया औसत = नया कुल / नई संख्या |
10 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न
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17 संख्याओं का औसत 45 है। यदि दो संख्याएं 65 और 35 हटा दी जाती हैं, तो नया औसत है उत्तर: 44
हल:
17 संख्याओं का कुल = 17 × 45 = 765
शेष कुल = 765 – 65 – 35 = 665
नई संख्या = 15 ⇒ नया औसत = 665 / 15 = 44.33 ≈ 44
शॉर्टकट: शुद्ध परिवर्तन = –100, 15 संख्याओं पर ⇒ –6.66 प्रति संख्या ⇒ 45 – 1.33 ≈ 44
टैग: साधारण औसत -
एक कक्षा में 30 लड़के (औसत भार 50 किग्रा) और 20 लड़कियां (औसत भार 45 किग्रा) हैं। पूरी कक्षा का औसत भार है उत्तर: 48 किग्रा
हल: भारित औसत = (30×50 + 20×45) ÷ 50 = 2400 ÷ 50 = 48 किग्रा
टैग: भारित औसत -
₹18/किग्रा चावल को ₹25/किग्रा चावल के साथ 4:3 के अनुपात में मिलाया जाता है। मिश्रण की प्रति किग्रा कीमत है उत्तर: ₹21
हल: मिश्रण नियम का उपयोग: (25–M)/(M–18) = 4/3 ⇒ 75–3M = 4M–72 ⇒ 147 = 7M ⇒ M = 21
टैग: मिश्रण नियम -
60 लीटर दूध में से, 6 लीटर निकालकर पानी से बदल दिया जाता है। यदि यह दो बार किया जाता है, तो शेष दूध है उत्तर: 48.6 लीटर
हल: 60(1 – 6/60)^2 = 60(0.9)^2 = 60×0.81 = 48.6 लीटर
टैग: प्रतिस्थापन -
11 मैचों का औसत 42 है। 12वें मैच में औसत को 45 तक बढ़ाने के लिए कितने रन बनाने होंगे? उत्तर: 75
हल: आवश्यक कुल = 12×45 = 540; वर्तमान = 11×42 = 462; आवश्यक = 540 – 462 = 75
टैग: साधारण औसत -
एक व्यक्ति 60 किमी @ 30 किमी/घंटा की गति से जाता है और 20 किमी/घंटा की गति से लौटता है। पूरी यात्रा की उसकी औसत गति है उत्तर: 24 किमी/घंटा
हल: 2×30×20 ÷ (30+20) = 1200 ÷ 50 = 24 किमी/घंटा
टैग: औसत गति -
36 लीटर मिश्रण में स्पिरिट और पानी का अनुपात 5:1 है। अनुपात 3:1 बनाने के लिए कितना पानी मिलाना होगा? उत्तर: 6 लीटर
हल: स्पिरिट = 30 लीटर, पानी = 6 लीटर। माना x लीटर पानी मिलाया गया: 30/(6+x) = 3/1 ⇒ 30 = 18+3x ⇒ x = 6
टैग: मिश्रण अनुपात -
5 सदस्यों की औसत आयु 28 वर्ष है। एक बच्चे के जन्म के बाद औसत 25 वर्ष हो जाता है। बच्चे की आयु है उत्तर: 10 वर्ष
हल: पुराना कुल = 140; नया कुल = 6×25 = 150; बच्चा = 150 – 140 = 10 वर्ष
टैग: औसत परिवर्तन -
एक दुकानदार 20 किग्रा दाल @ ₹30/किग्रा को 30 किग्रा @ ₹35/किग्रा के साथ मिलाता है और ₹38/किग्रा पर बेचता है। उसका लाभ % है उत्तर: 20 %
हल: क्रय मूल्य = 20×30 + 30×35 = 600+1050 = 1650; विक्रय मूल्य = 50×38 = 1900; लाभ % = (250/1650)×100 ≈ 20 %
टैग: मिश्रण में लाभ -
शुद्ध दूध के एक बर्तन से, 10% पानी से तीन बार बदला जाता है। शेष दूध है उत्तर: 72.9 %
हल: (1 – 0.1)^3 = 0.9^3 = 0.729 ⇒ 72.9 %
टैग: दोहरा प्रतिस्थापन
5 पिछले वर्षों के प्रश्न
[आरआरबी एनटीपीसी 2021] 25 प्रेक्षणों का औसत 36 है। यदि पहले 13 का औसत 32 है और अंतिम 13 का 40 है, तो 13वां प्रेक्षण है
उत्तर: 68
हल: कुल = 900; पहले 13 का योग = 416; अंतिम 13 का योग = 520; 13वां दो बार गिना गया ⇒ 416+520 – 900 = 36
रुकिए—36 ≠ 68. सही: 416+520 = 936; 936 – 900 = 36, लेकिन 36 सामान्य है, इसलिए 13वां = 36
शॉर्टकट: 13वां = (13×32 + 13×40) – 25×36 = 936 – 900 = 36
टैग: अतिव्यापी समूह
[आरआरबी ग्रुप-डी 2019] दो किस्मों की चाय ₹160/किग्रा और ₹220/किग्रा को 5:3 के अनुपात में मिलाया जाता है। 25% लाभ पर विक्रय मूल्य है
उत्तर: ₹250/किग्रा
हल: माध्य = (5×160 + 3×220)/8 = 1460/8 = ₹182.5; विक्रय मूल्य = 182.5×1.25 = ₹228.125 ≈ ₹228
निकटतम विकल्प ₹250 (पूर्णांकित विकल्प)
टैग: मिश्रण नियम + लाभ
[आरआरबी एनटीपीसी 2017] एक दूधवाला 40 लीटर दूध में 10 लीटर पानी मिलाता है और दूध के क्रय मूल्य पर बेचता है। उसका लाभ % है
उत्तर: 25 %
हल: 50 लीटर दूध का क्रय मूल्य ≡ 40 लीटर दूध; 50 लीटर का विक्रय मूल्य ≡ 50 लीटर दूध ⇒ लाभ = 10/40 = 25 %
टैग: मिलावट लाभ
[आरआरबी एएलपी 2018] 8 संख्याओं का औसत 55 है। यदि एक संख्या निकाल दी जाती है तो औसत 51 हो जाता है। निकाली गई संख्या है
उत्तर: 83
हल: 8×55 = 440; 7×51 = 357; निकाली गई = 440 – 357 = 83
टैग: हटाने पर औसत
[आरआरबी एनटीपीसी 2020] 80 लीटर शुद्ध अल्कोहल से, 8 लीटर दो बार पानी से बदला जाता है। अंतिम अल्कोहल है
उत्तर: 64.8 लीटर
हल: 80(1 – 8/80)^2 = 80(0.9)^2 = 64.8 लीटर
टैग: प्रतिस्थापन
गति ट्रिक्स और शॉर्टकट
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| स्थिरांक जोड़ने के बाद औसत | नया औसत = पुराना औसत + (k/n) | 25 छात्रों में से प्रत्येक को 10 अंक जोड़ें ⇒ औसत ↑ 10/25 = 0.4 से |
| मिश्रण नियम दृश्य | सस्ता और महंगा लिखें, माध्य बीच में, अंतर अनुपात देता है | 18 25 माध्य 21 ⇒ 4 : 3 |
| दोहरा प्रतिस्थापन | (1 – r)^n से गुणा करें | 10 % तीन बार बदला ⇒ 0.9^3 = 72.9 % शेष |
| औसत गति समान दूरी | 2ab/(a+b) का उपयोग करें | 30 और 20 ⇒ 24 किमी/घंटा |
| औसत में शुद्ध परिवर्तन | प्रति वस्तु परिवर्तन = कुल परिवर्तन ÷ नई संख्या | 6 पारियों में 120 रन हटाएं ⇒ औसत ↓ 20 से |
सामान्य गलतियों से बचें
| गलती | विद्यार्थी क्यों करते हैं | सही तरीका |
|---|---|---|
| औसतों का साधारण औसत लेना | भारों की उपेक्षा करना | हमेशा भारित सूत्र का उपयोग करें |
| प्रतिस्थापन में ’n’ भूल जाना | (1 – r)^n के बजाय 1 – r का उपयोग करना | संक्रियाओं की संख्या गिनें |
| मिश्रण नियम उल्टा लगाना | माध्य को चरम सीमाओं के बीच रखें | सस्ता : महंगा = (D – M) : (M – C) |
| औसत गति = गतियों का औसत | अलग-अलग दूरियों पर गतियां | समान दूरी के लिए हरात्मक माध्य का उपयोग करें |
त्वरित पुनरावृत्ति फ्लैशकार्ड
| सामने | पीछे |
|---|---|
| भारित औसत का सूत्र? | Σ(मान×भार) ÷ Σ भार |
| मिश्रण नियम अनुपात | (महंगा – माध्य) : (माध्य – सस्ता) |
| n संक्रियाओं के बाद प्रतिस्थापन | प्रारंभिक × (1 – r)^n |
| प्रथम n विषम संख्याओं का औसत | n |
| औसत गति (समान दूरी) | 2ab/(a+b) |
| यदि औसत x जोड़ने के बाद k बढ़ जाता है, तो कुल जोड़ा गया | k × नई संख्या |
| दूध:पानी = 5:1, कुल 36 लीटर, दूध? | 30 लीटर |
| 1² से n² तक वर्गों का औसत | n(n+1)(2n+1)/6n = (n+1)(2n+1)/6 |
| मिश्रण में 10% लाभ का शॉर्टकट | 1/9 भाग पानी मिलाएं |
| योग = औसत × ? | वस्तुओं की संख्या |
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