వైశాల్యం ఘనపరిమాణం
కీలక అంశాలు
| # | అంశం | వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | వృత్తం | వైశాల్యం = πr², చుట్టుకొలత = 2πr; π = 22/7 తీసుకోండి, 3.14 ఎంపికగా లేకపోతే |
| 2 | దీర్ఘచతురస్రం | వైశాల్యం = l × b, చుట్టుకొలత = 2(l + b); కర్ణం = √(l² + b²) |
| 3 | త్రిభుజం | వైశాల్యం = ½ × భూమి × ఎత్తు; హీరోన్ సూత్రం: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | దీర్ఘఘనం | ఘనపరిమాణం = l × b × h; ఉపరితల వైశాల్యం = 2(lb + bh + lh); అతి పొడవైన కడ్డీ = √(l²+b²+h²) |
| 5 | ఘనం | ఘనపరిమాణం = a³, ఉపరితల వైశాల్యం = 6a², అంతర కర్ణం = a√3 |
| 6 | స్థూపం | ఘనపరిమాణం = πr²h, వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం = 2πrh, మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం = 2πr(r+h) |
| 7 | గోళం | ఘనపరిమాణం = 4/3 πr³, ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²; వ్యాసం = 2r |
| 8 | శంఖువు | ఘనపరిమాణం = 1/3 πr²h, ఏటవాలు ఎత్తు l = √(r²+h²), వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం = πrl |
15 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
-
ఒక వృత్తాకార పార్క్ చుట్టుకొలత 176 మీ. దాని వైశాల్యం ఎంత? A) 2464 m²
B) 1232 m²
C) 616 m²
D) 352 m²
సమాధానం: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 m. వైశాల్యం = 22/7 × 28² = 2464 m².
శార్ట్కట్: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
ట్యాగ్: వృత్తం -
ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు దాని వెడల్పుకు రెట్టింపు. చుట్టుకొలత 126 సెం.మీ అయితే, వైశాల్యం ఎంత? A) 882 cm²
B) 972 cm²
C) 792 cm²
D) 756 cm²
సమాధానం: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; వైశాల్యం = 882 cm².
శార్ట్కట్: 6x = 126 ⇒ x = 21; వైశాల్యం = 2x² = 2 × 441 = 882.
ట్యాగ్: దీర్ఘచతురస్రం -
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం వైశాల్యం 600 cm² మరియు ఒక భుజం 30 cm. కర్ణం కనుగొనండి. A) 50 cm
B) 60 cm
C) 40 cm
D) 70 cm
సమాధానం: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 cm; కర్ణం = √(30²+40²) = 50 cm.
శార్ట్కట్: 3-4-5 త్రికం 10 రెట్లు.
ట్యాగ్: త్రిభుజం -
కర్ణం 17.32 cm (≈10√3) ఉన్న ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత? A) 1000 cm³
B) 729 cm³
C) 800 cm³
D) 1331 cm³
సమాధానం: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; ఘనపరిమాణం = 10³ = 1000 cm³.
శార్ట్కట్: కర్ణం ÷ √3 = భుజం.
ట్యాగ్: ఘనం -
2 మీటర్ల భుజం ఉన్న ఘనాకార ట్యాంక్ సగం నీటితో నిండి ఉంది. ఎన్ని లీటర్ల నీరు ఉంది? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
సమాధానం: A
ఘనపరిమాణం = 2³ = 8 m³; సగం = 4 m³ = 4000 L.
శార్ట్కట్: 1 m³ = 1000 L.
ట్యాగ్: ఘనం -
ఒక స్థూపం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం 2200 cm² మరియు ఎత్తు 35 cm. వ్యాసార్థం కనుగొనండి. A) 10 cm
B) 14 cm
C) 7 cm
D) 21 cm
సమాధానం: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 cm.
శార్ట్కట్: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
ట్యాగ్: స్థూపం -
21 సెం.మీ వ్యాసార్థం ఉన్న గోళాన్ని కరిగించి 7 సెం.మీ వ్యాసార్థం ఉన్న స్థూపంగా మార్చారు. స్థూపం యొక్క ఎత్తు కనుగొనండి. A) 252 cm
B) 126 cm
C) 168 cm
D) 84 cm
సమాధానం: A
ఘనపరిమాణాలు సమానం: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 cm.
శార్ట్కట్: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
ట్యాగ్: గోళం & స్థూపం -
ఒక శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు 26 సెం.మీ మరియు వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ. దాని వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం కనుగొనండి. A) 816.4 cm²
B) 820 cm²
C) 800 cm²
D) 836 cm²
సమాధానం: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 cm².
ట్యాగ్: శంఖువు -
28 సెం.మీ వ్యాసం ఉన్న ఒక లంబ వృత్త స్థూపాకార పాత్ర కొంత నీటితో నిండి ఉంది. 7 సెం.మీ వ్యాసార్థం ఉన్న గోళం దానిలో వేయబడింది. నీటి మట్టం ఎంత పెరిగింది? A) 3.5 cm
B) 4 cm
C) 7 cm
D) 14 cm
సమాధానం: B
గోళం ఘనపరిమాణం = 4/3 π(7)³; పెరుగుదల h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 cm.
శార్ట్కట్: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (ఇక్కడ 4 cm).
ట్యాగ్: స్థూపంలో గోళం -
ఒక చతురస్రాకార మైదానం చుట్టుకొలత 176 మీ. చదరపు మీటరుకు ₹15 చొప్పున దాన్ని సమం చేయడానికి అయ్యే ఖర్చు ఎంత? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
సమాధానం: A
భుజం = 176 / 4 = 44 m; వైశాల్యం = 44² = 1936 m²; ఖర్చు = 1936 × 15 = ₹29 040.
ట్యాగ్: చతురస్రం -
ఒక త్రిభుజం భుజాలు 13 సెం.మీ, 14 సెం.మీ, 15 సెం.మీ. దాని వైశాల్యం ఎంత? A) 84 cm²
B) 91 cm²
C) 72 cm²
D) 105 cm²
సమాధానం: A
s = 21; వైశాల్యం = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 cm².
శార్ట్కట్: 13-14-15 అనేది ప్రసిద్ధ 84 cm² త్రిభుజం.
ట్యాగ్: హీరోన్ -
14 సెం.మీ వ్యాసార్థం ఉన్న అర్ధగోళాకార గిన్నె యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (π = 22/7)? A) 1848 cm²
B) 1232 cm²
C) 2464 cm²
D) 2156 cm²
సమాధానం: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 cm².
ట్యాగ్: అర్ధగోళం -
ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క కర్ణం 26 సెం.మీ మరియు వెడల్పు 10 సెం.మీ అయితే, దాని వైశాల్యం ఎంత? A) 240 cm²
B) 120 cm²
C) 260 cm²
D) 180 cm²
సమాధానం: A
l = √(26²–10²) = 24 cm; వైశాల్యం = 24 × 10 = 240 cm².
శార్ట్కట్: 5-12-13 త్రికం × 2.
ట్యాగ్: దీర్ఘచతురస్రం -
ఒక శంఖువు మరియు స్థూపం ఒకే వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 7 సెం.మీ కలిగి ఉన్నాయి. వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ఎంత? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
సమాధానం: A
శంఖువు ఘనపరిమాణం : స్థూపం ఘనపరిమాణం = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
ట్యాగ్: శంఖువు vs స్థూపం -
60 మీ × 40 మీ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ లోపల సరిహద్దు వెంబడి 5 మీటర్ల వెడల్పు మార్గం ఉంది. మార్గం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి. A) 900 m²
B) 950 m²
C) 850 m²
D) 800 m²
సమాధానం: A
లోపలి దీర్ఘచతురస్రం 50 × 30 = 1500 m²; మార్గం = 2400 – 1500 = 900 m².
శార్ట్కట్: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
ట్యాగ్: మార్గం వైశాల్యం
వేగ ట్రిక్స్
| పరిస్థితి | శార్ట్కట్ | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| చుట్టుకొలత నుండి వృత్తం | r = C / 6.28 (సుమారు) | C = 88 m ⇒ r ≈ 14 m |
| ఘనం కర్ణం నుండి భుజం | a = కర్ణం / 1.732 | కర్ణం 17.32 ⇒ a = 10 |
| నీటి పెరుగుదల నుండి స్థూపం ఘనపరిమాణం | 1 L పెంచుతుంది 1000 cm³; ఎత్తు = 1000 / భూవైశాల్యం | 20 cm Ø పాత్రలో 1 L ≈ 3.18 cm పెంచుతుంది |
| గోళం→స్థూపం ఎత్తు | h = 4r_గోళం / 3 | 21 cm గోళం ⇒ h = 28 cm r_స్థూపం = 21 cm అయినప్పుడు |
| దీర్ఘచతురస్రం లోపల మార్గం | మార్గం_వైశాల్యం = 2w(l + b – 2w) | 60×40 పార్క్ లోపల 5 m మార్గం = 2×5×(60+40–10) = 900 m² |
త్వరిత రివిజన్
| పాయింట్ | వివరణ |
|---|---|
| 1 | సమాధానాలలో ఎల్లప్పుడూ యూనిట్లు (m, cm, m², cm³) రాయండి—RRB తరచుగా యూనిట్ లేని ఎంపికలతో ట్రాప్ చేస్తుంది. |
| 2 | వ్యాసార్థం 7 గుణిజం అయినప్పుడు π = 22/7 తీసుకోండి; లేకపోతే ఎంపికలలో ఇచ్చినట్లయితే 3.14 తీసుకోండి. |
| 3 | ఏదైనా ప్రిజం ఘనపరిమాణం = భూవైశాల్యం × ఎత్తు; పిరమిడ్/శంఖువు = ⅓ × భూవైశాల్యం × ఎత్తు. |
| 4 | దీర్ఘఘనంలో అతి పొడవైన కడ్డీ = √(l²+b²+h²); ఘనంలో = a√3. |
| 5 | ఒకే భూమి మరియు ఎత్తు కోసం, Vol_స్థూపం : Vol_శంఖువు = 3 : 1. |
| 6 | అర్ధగోళం CSA = 2πr²; TSA = 3πr² (భూమి చేర్చి). |
| 7 | నీటి పెరుగుదల సమస్యలు: వేసిన వస్తువు ఘనపరిమాణం = πr²h_పెరుగుదల. |
| 8 | 1 m = 100 cm, 1 m² = 10 000 cm², 1 m³ = 10⁶ cm³ = 1000 L. |
| 9 | లంబకోణ త్రిభుజ త్రికాలు: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). |
| 10 | ఎంపికలు 10 % కంటే ఎక్కువ తేడా ఉంటే, π ను 3గా అంచనా వేసి సమీపమైనవి తొలగించండి. |
BETA
