क्षेत्रफल और आयतन
मुख्य अवधारणाएं
| # | अवधारणा | व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | वृत्त | क्षेत्रफल = πr², परिधि = 2πr; π = 22/7 लें जब तक कि 3.14 विकल्प में न दिया हो |
| 2 | आयत | क्षेत्रफल = l × b, परिमाप = 2(l + b); विकर्ण = √(l² + b²) |
| 3 | त्रिभुज | क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई; हीरोन का सूत्र: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | घनाभ | आयतन = l × b × h; पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh); सबसे लंबी छड़ = √(l²+b²+h²) |
| 5 | घन | आयतन = a³, पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a², अंतरिक्ष विकर्ण = a√3 |
| 6 | बेलन | आयतन = πr²h, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h) |
| 7 | गोला | आयतन = 4/3 πr³, पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²; व्यास = 2r |
| 8 | शंकु | आयतन = 1/3 πr²h, तिर्यक ऊँचाई l = √(r²+h²), वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl |
15 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न
-
एक वृत्ताकार पार्क की परिधि 176 मीटर है। इसका क्षेत्रफल क्या है? A) 2464 मी²
B) 1232 मी²
C) 616 मी²
D) 352 मी²
उत्तर: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 मी. क्षेत्रफल = 22/7 × 28² = 2464 मी².
शॉर्टकट: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
टैग: वृत्त -
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से दोगुनी है। यदि परिमाप 126 सेमी है, तो क्षेत्रफल है? A) 882 सेमी²
B) 972 सेमी²
C) 792 सेमी²
D) 756 सेमी²
उत्तर: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; क्षेत्रफल = 882 सेमी².
शॉर्टकट: 6x = 126 ⇒ x = 21; क्षेत्रफल = 2x² = 2 × 441 = 882.
टैग: आयत -
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 600 सेमी² है और एक भुजा 30 सेमी है। कर्ण ज्ञात कीजिए। A) 50 सेमी
B) 60 सेमी
C) 40 सेमी
D) 70 सेमी
उत्तर: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 सेमी; कर्ण = √(30²+40²) = 50 सेमी.
शॉर्टकट: 3-4-5 त्रिक को 10 से गुणा किया गया है।
टैग: त्रिभुज -
एक घन का आयतन क्या है जिसका विकर्ण 17.32 सेमी (≈10√3) है? A) 1000 सेमी³
B) 729 सेमी³
C) 800 सेमी³
D) 1331 सेमी³
उत्तर: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; आयतन = 10³ = 1000 सेमी³.
शॉर्टकट: विकर्ण ÷ √3 = भुजा.
टैग: घन -
2 मीटर भुजा वाला एक घनाकार टैंक आधा पानी से भरा है। इसमें कितने लीटर पानी है? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
उत्तर: A
आयतन = 2³ = 8 मी³; आधा = 4 मी³ = 4000 लीटर.
शॉर्टकट: 1 मी³ = 1000 लीटर.
टैग: घन -
एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2200 सेमी² और ऊँचाई 35 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए। A) 10 सेमी
B) 14 सेमी
C) 7 सेमी
D) 21 सेमी
उत्तर: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 सेमी.
शॉर्टकट: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
टैग: बेलन -
21 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले को पिघलाकर 7 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। A) 252 सेमी
B) 126 सेमी
C) 168 सेमी
D) 84 सेमी
उत्तर: A
आयतन समान: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 सेमी.
शॉर्टकट: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
टैग: गोला और बेलन -
एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई 26 सेमी और त्रिज्या 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। A) 816.4 सेमी²
B) 820 सेमी²
C) 800 सेमी²
D) 836 सेमी²
उत्तर: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 सेमी².
टैग: शंकु -
28 सेमी व्यास वाला एक समकोणीय बेलनाकार बर्तन आंशिक रूप से पानी से भरा है। इसमें 7 सेमी त्रिज्या वाला एक गोला डाला जाता है। पानी का स्तर कितना बढ़ जाता है? A) 3.5 सेमी
B) 4 सेमी
C) 7 सेमी
D) 14 सेमी
उत्तर: B
गोले का आयतन = 4/3 π(7)³; वृद्धि h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 सेमी.
शॉर्टकट: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (यहाँ 4 सेमी).
टैग: बेलन में गोला -
एक वर्गाकार मैदान का परिमाप 176 मीटर है। इसे ₹15 प्रति मी² की दर से समतल करने की लागत क्या है? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
उत्तर: A
भुजा = 176 / 4 = 44 मी; क्षेत्रफल = 44² = 1936 मी²; लागत = 1936 × 15 = ₹29 040.
टैग: वर्ग -
एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी, 15 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल है? A) 84 सेमी²
B) 91 सेमी²
C) 72 सेमी²
D) 105 सेमी²
उत्तर: A
s = 21; क्षेत्रफल = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 सेमी².
शॉर्टकट: 13-14-15 एक प्रसिद्ध 84 सेमी² त्रिभुज है।
टैग: हीरोन का सूत्र -
14 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7)? A) 1848 सेमी²
B) 1232 सेमी²
C) 2464 सेमी²
D) 2156 सेमी²
उत्तर: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 सेमी².
टैग: अर्धगोला -
यदि एक आयत का विकर्ण 26 सेमी और चौड़ाई 10 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल है? A) 240 सेमी²
B) 120 सेमी²
C) 260 सेमी²
D) 180 सेमी²
उत्तर: A
l = √(26²–10²) = 24 सेमी; क्षेत्रफल = 24 × 10 = 240 सेमी².
शॉर्टकट: 5-12-13 त्रिक × 2.
टैग: आयत -
एक शंकु और एक बेलन की समान त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। उनके आयतनों का अनुपात है? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
उत्तर: A
शंकु का आयतन : बेलन का आयतन = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
टैग: शंकु बनाम बेलन -
एक आयताकार पार्क 60 मी × 40 मी के किनारे के साथ अंदर 5 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। A) 900 मी²
B) 950 मी²
C) 850 मी²
D) 800 मी²
उत्तर: A
आंतरिक आयत 50 × 30 = 1500 मी²; रास्ता = 2400 – 1500 = 900 मी².
शॉर्टकट: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
टैग: रास्ते का क्षेत्रफल
गति के ट्रिक्स
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| परिधि से वृत्त | r = C / 6.28 (लगभग) | C = 88 मी ⇒ r ≈ 14 मी |
| घन के विकर्ण से भुजा | a = विकर्ण / 1.732 | विकर्ण 17.32 ⇒ a = 10 |
| पानी के स्तर वृद्धि से बेलन का आयतन | 1 लीटर 1000 सेमी³ बढ़ाता है; ऊँचाई = 1000 / आधार क्षेत्रफल | 20 सेमी Ø बर्तन में 1 लीटर ≈ 3.18 सेमी बढ़ाता है |
| गोला→बेलन ऊँचाई | h = 4r_गोला / 3 | 21 सेमी गोला ⇒ h = 28 सेमी जब r_बेलन = 21 सेमी |
| आयत के अंदर रास्ता | रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(l + b – 2w) | 60×40 पार्क में 5 मीटर रास्ता = 2×5×(60+40–10) = 900 मी² |
त्वरित पुनरावलोकन
| बिंदु | विवरण |
|---|---|
| 1 | उत्तरों में हमेशा इकाइयाँ (मी, सेमी, मी², सेमी³) लिखें—आरआरबी अक्सर इकाई रहित विकल्पों के साथ फंसाता है। |
| 2 | π = 22/7 लें जब त्रिज्या 7 का गुणज हो; अन्यथा 3.14 यदि विकल्पों में दिया गया हो। |
| 3 | किसी भी प्रिज्म का आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई; पिरामिड/शंकु = ⅓ × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई। |
| 4 | घनाभ में सबसे लंबी छड़ = √(l²+b²+h²); घन में = a√3. |
| 5 | समान आधार और ऊँचाई के लिए, बेलन का आयतन : शंकु का आयतन = 3 : 1. |
| 6 | अर्धगोला CSA = 2πr²; TSA = 3πr² (आधार सहित). |
| 7 | पानी-स्तर वृद्धि समस्याएं: डाले गए वस्तु का आयतन = πr²h_वृद्धि. |
| 8 | 1 मी = 100 सेमी, 1 मी² = 10 000 सेमी², 1 मी³ = 10⁶ सेमी³ = 1000 लीटर. |
| 9 | समकोण त्रिभुज त्रिक: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). |
| 10 | यदि विकल्प 10% से अधिक भिन्न हों, तो π का अनुमान 3 लगाएं और निकटतम को हटाएं। |
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