ক্ষেত্রফল ও আয়তন
মূল ধারণাসমূহ
| # | ধারণা | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | বৃত্ত | ক্ষেত্রফল = πr², পরিধি = 2πr; π = 22/7 নিন, যদি না 3.14 বিকল্প হিসেবে দেওয়া থাকে |
| 2 | আয়তক্ষেত্র | ক্ষেত্রফল = l × b, পরিসীমা = 2(l + b); কর্ণ = √(l² + b²) |
| 3 | ত্রিভুজ | ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা; হেরনের সূত্র: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | আয়তঘন | আয়তন = l × b × h; পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2(lb + bh + lh); দীর্ঘতম রড = √(l²+b²+h²) |
| 5 | ঘনক | আয়তন = a³, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 6a², স্থান কর্ণ = a√3 |
| 6 | চোঙ | আয়তন = πr²h, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh, মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r+h) |
| 7 | গোলক | আয়তন = 4/3 πr³, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²; ব্যাস = 2r |
| 8 | শঙ্কু | আয়তন = 1/3 πr²h, তির্যক উচ্চতা l = √(r²+h²), বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = πrl |
১৫টি অনুশীলন এমসিকিউ
-
একটি বৃত্তাকার পার্কের পরিধি ১৭৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত? A) 2464 m²
B) 1232 m²
C) 616 m²
D) 352 m²
উত্তর: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 m. ক্ষেত্রফল = 22/7 × 28² = 2464 m².
সংক্ষিপ্ত কৌশল: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
ট্যাগ: বৃত্ত -
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি পরিসীমা ১২৬ সেমি হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত? A) 882 cm²
B) 972 cm²
C) 792 cm²
D) 756 cm²
উত্তর: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; ক্ষেত্রফল = 882 cm².
সংক্ষিপ্ত কৌশল: 6x = 126 ⇒ x = 21; ক্ষেত্রফল = 2x² = 2 × 441 = 882.
ট্যাগ: আয়তক্ষেত্র -
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬০০ বর্গসেমি এবং একটি বাহু ৩০ সেমি। অতিভুজ নির্ণয় করুন। A) 50 cm
B) 60 cm
C) 40 cm
D) 70 cm
উত্তর: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 cm; অতিভুজ = √(30²+40²) = 50 cm.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: 3-4-5 ত্রয়ী ১০ দ্বারা গুণিত।
ট্যাগ: ত্রিভুজ -
একটি ঘনকের কর্ণ ১৭.৩২ সেমি (≈10√3) হলে এর আয়তন কত? A) 1000 cm³
B) 729 cm³
C) 800 cm³
D) 1331 cm³
উত্তর: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; আয়তন = 10³ = 1000 cm³.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: কর্ণ ÷ √3 = বাহু।
ট্যাগ: ঘনক -
২ মিটার বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনাকার ট্যাঙ্ক অর্ধেক জলপূর্ণ। কত লিটার জল আছে? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
উত্তর: A
আয়তন = 2³ = 8 m³; অর্ধেক = 4 m³ = 4000 L.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: 1 m³ = 1000 L.
ট্যাগ: ঘনক -
একটি চোঙের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২২০০ বর্গসেমি এবং উচ্চতা ৩৫ সেমি। ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন। A) 10 cm
B) 14 cm
C) 7 cm
D) 21 cm
উত্তর: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 cm.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
ট্যাগ: চোঙ -
২১ সেমি ব্যাসার্ধের একটি গোলক গলিয়ে ৭ সেমি ব্যাসার্ধের একটি চোঙে পুনর্গঠন করা হলো। চোঙের উচ্চতা নির্ণয় করুন। A) 252 cm
B) 126 cm
C) 168 cm
D) 84 cm
উত্তর: A
আয়তন সমান: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 cm.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
ট্যাগ: গোলক ও চোঙ -
একটি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা ২৬ সেমি এবং ব্যাসার্ধ ১০ সেমি। এর বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 816.4 cm²
B) 820 cm²
C) 800 cm²
D) 836 cm²
উত্তর: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 cm².
ট্যাগ: শঙ্কু -
২৮ সেমি ব্যাসের একটি সমচোঙাকার পাত্র আংশিকভাবে জলপূর্ণ। ৭ সেমি ব্যাসার্ধের একটি গোলক তাতে ফেলা হলো। জলতল কতটা বৃদ্ধি পাবে? A) 3.5 cm
B) 4 cm
C) 7 cm
D) 14 cm
উত্তর: B
গোলকের আয়তন = 4/3 π(7)³; বৃদ্ধি h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 cm.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (এখানে 4 cm).
ট্যাগ: চোঙে গোলক -
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ১৭৬ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ১৫ টাকা দরে এটি সমতল করার খরচ কত? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
উত্তর: A
বাহু = 176 / 4 = 44 m; ক্ষেত্রফল = 44² = 1936 m²; খরচ = 1936 × 15 = ₹29 040.
ট্যাগ: বর্গক্ষেত্র -
একটি ত্রিভুজের বাহু তিনটি ১৩ সেমি, ১৪ সেমি, ১৫ সেমি। এর ক্ষেত্রফল কত? A) 84 cm²
B) 91 cm²
C) 72 cm²
D) 105 cm²
উত্তর: A
s = 21; ক্ষেত্রফল = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 cm².
সংক্ষিপ্ত কৌশল: 13-14-15 একটি সুপরিচিত 84 বর্গসেমি ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ।
ট্যাগ: হেরনের সূত্র -
১৪ সেমি ব্যাসার্ধের একটি অর্ধগোলাকার বাটির মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত? (π = 22/7) A) 1848 cm²
B) 1232 cm²
C) 2464 cm²
D) 2156 cm²
উত্তর: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 cm².
ট্যাগ: অর্ধগোলক -
যদি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ২৬ সেমি এবং প্রস্থ ১০ সেমি হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত? A) 240 cm²
B) 120 cm²
C) 260 cm²
D) 180 cm²
উত্তর: A
l = √(26²–10²) = 24 cm; ক্ষেত্রফল = 24 × 10 = 240 cm².
সংক্ষিপ্ত কৌশল: 5-12-13 ত্রয়ী × 2.
ট্যাগ: আয়তক্ষেত্র -
একটি শঙ্কু এবং একটি চোঙের ব্যাসার্ধ একই ৬ সেমি এবং উচ্চতা ৭ সেমি। তাদের আয়তনের অনুপাত কত? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
উত্তর: A
শঙ্কুর আয়তন : চোঙের আয়তন = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
ট্যাগ: শঙ্কু বনাম চোঙ -
৬০ মি × ৪০ মি একটি আয়তাকার পার্কের সীমানা বরাবর ভিতরে ৫ মিটার চওড়া একটি পথ আছে। পথটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। A) 900 m²
B) 950 m²
C) 850 m²
D) 800 m²
উত্তর: A
ভিতরের আয়তক্ষেত্র ৫০ × ৩০ = ১৫০০ বর্গমি; পথের ক্ষেত্রফল = ২৪০০ – ১৫০০ = ৯০০ বর্গমি.
সংক্ষিপ্ত কৌশল: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
ট্যাগ: পথের ক্ষেত্রফল
দ্রুত কৌশল
| পরিস্থিতি | সংক্ষিপ্ত কৌশল | উদাহরণ |
|---|---|---|
| পরিধি থেকে বৃত্ত | r = C / 6.28 (প্রায়) | C = 88 m ⇒ r ≈ 14 m |
| ঘনকের কর্ণ থেকে বাহু | a = কর্ণ / 1.732 | কর্ণ 17.32 ⇒ a = 10 |
| জলতল বৃদ্ধি থেকে চোঙের আয়তন | 1 L 1000 cm³ বৃদ্ধি করে; উচ্চতা = 1000 / ভূমির ক্ষেত্রফল | 20 cm Ø পাত্রে 1 L জল ≈ 3.18 cm বৃদ্ধি করে |
| গোলক→চোঙ উচ্চতা | h = 4r_গোলক / 3 | 21 cm গোলক ⇒ h = 28 cm যখন r_চোঙ = 21 cm |
| আয়তক্ষেত্রের ভিতরের পথ | পথের ক্ষেত্রফল = 2w(l + b – 2w) | 60×40 পার্কে 5 m পথ = 2×5×(60+40–10) = 900 m² |
দ্রুত পুনরালোচনা
| পয়েন্ট | বিবরণ |
|---|---|
| 1 | উত্তর সর্বদা এককসহ (মি, সেমি, বর্গমি, ঘনসেমি) লিখুন—আরআরবি প্রায়শই এককবিহীন বিকল্প দিয়ে ফাঁদ পাতে। |
| 2 | π = 22/7 নিন যখন ব্যাসার্ধ 7 এর গুণিতক; অন্যথায় বিকল্পে দেওয়া থাকলে 3.14 নিন। |
| 3 | যেকোন প্রিজমের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা; পিরামিড/শঙ্কু = ⅓ × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা। |
| 4 | আয়তঘনে দীর্ঘতম রড = √(l²+b²+h²); ঘনকে = a√3. |
| 5 | একই ভূমি ও উচ্চতার জন্য, চোঙের আয়তন : শঙ্কুর আয়তন = 3 : 1. |
| 6 | অর্ধগোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr²; মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² (ভূমিসহ)। |
| 7 | জলতল বৃদ্ধির সমস্যা: ফেলা বস্তুর আয়তন = πr²h_বৃদ্ধি। |
| 8 | 1 m = 100 cm, 1 m² = 10 000 cm², 1 m³ = 10⁶ cm³ = 1000 L. |
| 9 | সমকোণী ত্রিভুজের ত্রয়ী: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). |
| 10 | যদি বিকল্পগুলির পার্থক্য > 10 % হয়, π ≈ 3 ধরে নিকটতম বিকল্প বাদ দিন। |
BETA
