କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ
ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣାସମୂହ
| # | ଧାରଣା | ବ୍ୟାଖ୍ୟା |
|---|---|---|
| 1 | ବୃତ୍ତ | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr², ପରିଧି = 2πr; π = 22/7 ନେବେ ଯଦି 3.14 ଏକ ବିକଳ୍ପ ନଥାଏ |
| 2 | ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = l × b, ପରିସୀମା = 2(l + b); କର୍ଣ୍ଣ = √(l² + b²) |
| 3 | ତ୍ରିଭୁଜ | କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ½ × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା; ହେରୋନ୍ ସୂତ୍ର: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | ଘନାଭ | ଆୟତନ = l × b × h; ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2(lb + bh + lh); ଦୀର୍ଘତମ ଦଣ୍ଡ = √(l²+b²+h²) |
| 5 | ଘନକ୍ଷେତ୍ର | ଆୟତନ = a³, ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6a², ମଧ୍ୟସ୍ଥ କର୍ଣ୍ଣ = a√3 |
| 6 | ସିଲିଣ୍ଡର | ଆୟତନ = πr²h, ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳ = 2πrh, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ = 2πr(r+h) |
| 7 | ଗୋଲକ | ଆୟତନ = 4/3 πr³, ପୃଷ୍ଠତଳ = 4πr²; ବ୍ୟାସ = 2r |
| 8 | ଶଙ୍କୁ | ଆୟତନ = 1/3 πr²h, ତିର୍ଯ୍ୟକ୍ ଉଚ୍ଚତା l = √(r²+h²), ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳ = πrl |
15 ଟି ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ
-
ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ପାର୍କର ପରିଧି 176 ମି. ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 2464 ମି²
B) 1232 ମି²
C) 616 ମି²
D) 352 ମି²
ଉତ୍ତର: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 ମି. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 22/7 × 28² = 2464 ମି².
ଶର୍ଟକଟ୍: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
ଟ୍ୟାଗ୍: ବୃତ୍ତ -
ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇଗୁଣ ଅଟେ। ଯଦି ପରିସୀମା 126 ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 882 ସେ.ମି²
B) 972 ସେ.ମି²
C) 792 ସେ.ମି²
D) 756 ସେ.ମି²
ଉତ୍ତର: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 882 ସେ.ମି².
ଶର୍ଟକଟ୍: 6x = 126 ⇒ x = 21; କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2x² = 2 × 441 = 882.
ଟ୍ୟାଗ୍: ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର -
ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 600 ସେ.ମି² ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁ 30 ସେ.ମି.। କର୍ଣ୍ଣ କେତେ? A) 50 ସେ.ମି.
B) 60 ସେ.ମି.
C) 40 ସେ.ମି.
D) 70 ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 ସେ.ମି.; କର୍ଣ୍ଣ = √(30²+40²) = 50 ସେ.ମି.
ଶର୍ଟକଟ୍: 3-4-5 ଟ୍ରିପ୍ଲେଟ୍ 10 ଗୁଣିତକ।
ଟ୍ୟାଗ୍: ତ୍ରିଭୁଜ -
ଏକ ଘନକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ 17.32 ସେ.ମି. (≈10√3) ହେଲେ ଏହାର ଆୟତନ କେତେ? A) 1000 ସେ.ମି³
B) 729 ସେ.ମି³
C) 800 ସେ.ମି³
D) 1331 ସେ.ମି³
ଉତ୍ତର: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; ଆୟତନ = 10³ = 1000 ସେ.ମି³.
ଶର୍ଟକଟ୍: କର୍ଣ୍ଣ ÷ √3 = ବାହୁ।
ଟ୍ୟାଗ୍: ଘନକ୍ଷେତ୍ର -
2 ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଘନାକାର ଟ୍ୟାଙ୍କିର ଅଧେ ପାଣିରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଛି। ସେଥିରେ କେତେ ଲିଟର ପାଣି ଅଛି? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
ଉତ୍ତର: A
ଆୟତନ = 2³ = 8 ମି³; ଅଧେ = 4 ମି³ = 4000 ଲି.
ଶର୍ଟକଟ୍: 1 ମି³ = 1000 ଲି.
ଟ୍ୟାଗ୍: ଘନକ୍ଷେତ୍ର -
ଏକ ସିଲିଣ୍ଡରର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳ 2200 ସେ.ମି² ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 35 ସେ.ମି.। ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ? A) 10 ସେ.ମି.
B) 14 ସେ.ମି.
C) 7 ସେ.ମି.
D) 21 ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 ସେ.ମି.
ଶର୍ଟକଟ୍: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
ଟ୍ୟାଗ୍: ସିଲିଣ୍ଡର -
21 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଗୋଲକକୁ ତରଳାଇ 7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡରରେ ପରିଣତ କରାଗଲା। ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା କେତେ? A) 252 ସେ.ମି.
B) 126 ସେ.ମି.
C) 168 ସେ.ମି.
D) 84 ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: A
ଆୟତନ ସମାନ: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 ସେ.ମି.
ଶର୍ଟକଟ୍: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
ଟ୍ୟାଗ୍: ଗୋଲକ ଓ ସିଲିଣ୍ଡର -
ଏକ ଶଙ୍କୁର ତିର୍ଯ୍ୟକ୍ ଉଚ୍ଚତା 26 ସେ.ମି. ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 10 ସେ.ମି.। ଏହାର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 816.4 ସେ.ମି²
B) 820 ସେ.ମି²
C) 800 ସେ.ମି²
D) 836 ସେ.ମି²
ଉତ୍ତର: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 ସେ.ମି².
ଟ୍ୟାଗ୍: ଶଙ୍କୁ -
28 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡ୍ରିକାଲ୍ ପାତ୍ର ଅଂଶତଃ ପାଣିରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଛି। 7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଗୋଲକ ତା’ରେ ପକାଗଲା। ପାଣିର ସ୍ତର କେତେ ବଢ଼ିବ? A) 3.5 ସେ.ମି.
B) 4 ସେ.ମି.
C) 7 ସେ.ମି.
D) 14 ସେ.ମି.
ଉତ୍ତର: B
ଗୋଲକର ଆୟତନ = 4/3 π(7)³; ବୃଦ୍ଧି h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 ସେ.ମି.
ଶର୍ଟକଟ୍: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (ଏଠାରେ 4 ସେ.ମି.)।
ଟ୍ୟାଗ୍: ସିଲିଣ୍ଡରରେ ଗୋଲକ -
ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 176 ମି.। ₹15 ପ୍ରତି ମି² ହିସାବରେ ଏହାକୁ ସମତଳ କରିବା ଖର୍ଚ୍ଚ କେତେ? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
ଉତ୍ତର: A
ବାହୁ = 176 / 4 = 44 ମି.; କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 44² = 1936 ମି²; ଖର୍ଚ୍ଚ = 1936 × 15 = ₹29 040.
ଟ୍ୟାଗ୍: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର -
ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ 13 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି., 15 ସେ.ମି.। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 84 ସେ.ମି²
B) 91 ସେ.ମି²
C) 72 ସେ.ମି²
D) 105 ସେ.ମି²
ଉତ୍ତର: A
s = 21; କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 ସେ.ମି².
ଶର୍ଟକଟ୍: 13-14-15 ଏକ ସୁପରିଚିତ 84 ସେ.ମି² ତ୍ରିଭୁଜ।
ଟ୍ୟାଗ୍: ହେରୋନ୍ -
14 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଅର୍ଧଗୋଲକାକାର ବାଉଲର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (π = 22/7) କେତେ? A) 1848 ସେ.ମି²
B) 1232 ସେ.ମି²
C) 2464 ସେ.ମି²
D) 2156 ସେ.ମି²
ଉତ୍ତର: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 ସେ.ମି².
ଟ୍ୟାଗ୍: ଅର୍ଧଗୋଲକ -
ଯଦି ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ 26 ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ 10 ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 240 ସେ.ମି²
B) 120 ସେ.ମି²
C) 260 ସେ.ମି²
D) 180 ସେ.ମି²
ଉତ୍ତର: A
l = √(26²–10²) = 24 ସେ.ମି.; କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 24 × 10 = 240 ସେ.ମି².
ଶର୍ଟକଟ୍: 5-12-13 ଟ୍ରିପ୍ଲେଟ୍ × 2.
ଟ୍ୟାଗ୍: ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର -
ଏକ ଶଙ୍କୁ ଓ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସମାନ 6 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ସମାନ 7 ସେ.ମି.। ସେମାନଙ୍କ ଆୟତନର ଅନୁପାତ କେତେ? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
ଉତ୍ତର: A
ଶଙ୍କୁର ଆୟତନ : ସିଲିଣ୍ଡରର ଆୟତନ = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
ଟ୍ୟାଗ୍: ଶଙ୍କୁ ବନାମ ସିଲିଣ୍ଡର -
60 ମି. × 40 ମି. ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଆୟତାକାର ପାର୍କର ଭିତରେ ସୀମା ଧାରରେ 5 ମି. ଓସାରିଆ ଏକ ପଥ ଅଛି। ପଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? A) 900 ମି²
B) 950 ମି²
C) 850 ମି²
D) 800 ମି²
ଉତ୍ତର: A
ଅଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର 50 × 30 = 1500 ମି²; ପଥ = 2400 – 1500 = 900 ମି².
ଶର୍ଟକଟ୍: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
ଟ୍ୟାଗ୍: ପଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଦ୍ରୁତ ଟ୍ରିକ୍
| ପରିସ୍ଥିତି | ଶର୍ଟକଟ୍ | ଉଦାହରଣ |
|---|---|---|
| ପରିଧିରୁ ବୃତ୍ତ | r = C / 6.28 (ଆସନ୍ନ) | C = 88 ମି. ⇒ r ≈ 14 ମି. |
| ଘନକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣରୁ ବାହୁ | a = କର୍ଣ୍ଣ / 1.732 | କର୍ଣ୍ଣ 17.32 ⇒ a = 10 |
| ଜଳସ୍ତର ବୃଦ୍ଧିରୁ ସିଲିଣ୍ଡରର ଆୟତନ | 1 ଲି. 1000 ସେ.ମି³ ବଢ଼ାଏ; ଉଚ୍ଚତା = 1000 / ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ | 20 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ପାତ୍ରରେ 1 ଲି. ⇒ ଉଚ୍ଚତା ବୃଦ୍ଧି ≈ 3.18 ସେ.ମି. |
| ଗୋଲକ→ସିଲିଣ୍ଡର ଉଚ୍ଚତା | h = 4r_ଗୋଲକ / 3 | 21 ସେ.ମି. ଗୋଲକ ⇒ h = 28 ସେ.ମି. ଯେତେବେଳେ r_ସିଲିଣ୍ଡର = 21 ସେ.ମି. |
| ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ଭିତରେ ପଥ | ପଥର_କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2w(l + b – 2w) | 5 ମି. ପଥ 60×40 ପାର୍କ ଭିତରେ = 2×5×(60+40–10) = 900 ମି² |
ଶୀଘ୍ର ସମୀକ୍ଷା
| ପଏଣ୍ଟ | ବିବରଣୀ |
|---|---|
| 1 | ସର୍ବଦା ଉତ୍ତରରେ ଏକକ (ମି., ସେ.ମି., ମି², ସେ.ମି³) ଲେଖନ୍ତୁ—ଆର୍.ଆର୍.ବି. ପ୍ରାୟତଃ ଏକକହୀନ ବିକଳ୍ପରେ ଫାସାଇଥାଏ। |
| 2 | π = 22/7 ନେବେ ଯେତେବେଳେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7ର ଗୁଣିତକ; ନଚେତ୍ 3.14 ଯଦି ବିକଳ୍ପରେ ଦିଆଯାଇଥାଏ। |
| 3 | ଯେକୌଣସି ପ୍ରିଜମ୍ର ଆୟତନ = ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ × ଉଚ୍ଚତା; ପିରାମିଡ୍/ଶଙ୍କୁ = ⅓ × ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ × ଉଚ୍ଚତା। |
| 4 | ଘନାଭରେ ଦୀର୍ଘତମ ଦଣ୍ଡ = √(l²+b²+h²); ଘନକ୍ଷେତ୍ରରେ = a√3. |
| 5 | ସମାନ ଭୂମି ଓ ଉଚ୍ଚତା ପାଇଁ, ସିଲିଣ୍ଡରର_ଆୟତନ : ଶଙ୍କୁର_ଆୟତନ = 3 : 1. |
| 6 | ଅର୍ଧଗୋଲକର CSA = 2πr²; TSA = 3πr² (ଭୂମି ସହିତ)। |
| 7 | ଜଳସ୍ତର ବୃଦ୍ଧି ସମସ୍ୟା: ପକାଯାଇଥିବା ବସ୍ତୁର ଆୟତନ = πr²h_ବୃଦ୍ଧି। |
| 8 | 1 ମି. = 100 ସେ.ମି., 1 ମି² = 10 000 ସେ.ମି², 1 ମି³ = 10⁶ ସେ.ମି³ = 1000 ଲି.। |
| 9 | ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଟ୍ରିପ୍ଲେଟ୍: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). |
| 10 | ଯଦି ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ 10 %ରୁ ଅଧିକ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଦେଖାଏ, ତେବେ πକୁ 3 ଧରି ଆସନ୍ନତମକୁ ବାଦ ଦିଅନ୍ତୁ। |
BETA
