ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲ
ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
| # | ಪರಿಕಲ್ಪನೆ | ವಿವರಣೆ |
|---|---|---|
| 1 | ವೃತ್ತ | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πr², ಪರಿಧಿ = 2πr; π = 22/7 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, 3.14 ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಹೊರತು |
| 2 | ಆಯತ | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = l × b, ಸುತ್ತಳತೆ = 2(l + b); ಕರ್ಣ = √(l² + b²) |
| 3 | ತ್ರಿಕೋನ | ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ × ಪಾದ × ಎತ್ತರ; ಹೀರಾನ್ ಸೂತ್ರ: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | ಘನಭ | ಘನಫಲ = l × b × h; ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2(lb + bh + lh); ಅತಿ ಉದ್ದದ ಕೋಲು = √(l²+b²+h²) |
| 5 | ಘನ | ಘನಫಲ = a³, ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 6a², ಆಕಾಶ ಕರ್ಣ = a√3 |
| 6 | ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ | ಘನಫಲ = πr²h, ವಕ್ರ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2πrh, ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2πr(r+h) |
| 7 | ಗೋಲ | ಘನಫಲ = 4/3 πr³, ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 4πr²; ವ್ಯಾಸ = 2r |
| 8 | ಶಂಕು | ಘನಫಲ = 1/3 πr²h, ಏಣಿಯ ಎತ್ತರ l = √(r²+h²), ವಕ್ರ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πrl |
15 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹು ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
-
ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನದ ಪರಿಧಿ 176 ಮೀ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? A) 2464 ಮೀ²
B) 1232 ಮೀ²
C) 616 ಮೀ²
D) 352 ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 ಮೀ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 22/7 × 28² = 2464 ಮೀ².
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
ಟ್ಯಾಗ್: ವೃತ್ತ -
ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಅದರ ಅಗಲದ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ. ಸುತ್ತಳತೆ 126 ಸೆಂ.ಮೀ ಆದರೆ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? A) 882 ಸೆಂ.ಮೀ²
B) 972 ಸೆಂ.ಮೀ²
C) 792 ಸೆಂ.ಮೀ²
D) 756 ಸೆಂ.ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 882 ಸೆಂ.ಮೀ².
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 6x = 126 ⇒ x = 21; ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2x² = 2 × 441 = 882.
ಟ್ಯಾಗ್: ಆಯತ -
ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 600 ಸೆಂ.ಮೀ² ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಾಹು 30 ಸೆಂ.ಮೀ. ಕರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 50 ಸೆಂ.ಮೀ
B) 60 ಸೆಂ.ಮೀ
C) 40 ಸೆಂ.ಮೀ
D) 70 ಸೆಂ.ಮೀ
ಉತ್ತರ: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 ಸೆಂ.ಮೀ; ಕರ್ಣ = √(30²+40²) = 50 ಸೆಂ.ಮೀ.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 3-4-5 ತ್ರಿಪದಿಯನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದೆ.
ಟ್ಯಾಗ್: ತ್ರಿಕೋನ -
ಕರ್ಣ 17.32 ಸೆಂ.ಮೀ (≈10√3) ಇರುವ ಘನದ ಘನಫಲ ಎಷ್ಟು? A) 1000 ಸೆಂ.ಮೀ³
B) 729 ಸೆಂ.ಮೀ³
C) 800 ಸೆಂ.ಮೀ³
D) 1331 ಸೆಂ.ಮೀ³
ಉತ್ತರ: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; ಘನಫಲ = 10³ = 1000 ಸೆಂ.ಮೀ³.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಕರ್ಣ ÷ √3 = ಬಾಹು.
ಟ್ಯಾಗ್: ಘನ -
2 ಮೀ ಬಾಹುವಿರುವ ಘನಾಕಾರದ ತೊಟ್ಟಿಯು ಅರ್ಧ ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿದೆ. ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್ ನೀರು ಇದೆ? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
ಉತ್ತರ: A
ಘನಫಲ = 2³ = 8 ಮೀ³; ಅರ್ಧ = 4 ಮೀ³ = 4000 ಲೀ.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 1 ಮೀ³ = 1000 ಲೀ.
ಟ್ಯಾಗ್: ಘನ -
ಒಂದು ವೃತ್ತಸ್ತಂಭದ ವಕ್ರ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 2200 ಸೆಂ.ಮೀ² ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 35 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 10 ಸೆಂ.ಮೀ
B) 14 ಸೆಂ.ಮೀ
C) 7 ಸೆಂ.ಮೀ
D) 21 ಸೆಂ.ಮೀ
ಉತ್ತರ: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 ಸೆಂ.ಮೀ.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
ಟ್ಯಾಗ್: ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ -
21 ಸೆಂ.ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಲವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ 7 ಸೆಂ.ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಸ್ತಂಭವಾಗಿ ಮರುರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತಸ್ತಂಭದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 252 ಸೆಂ.ಮೀ
B) 126 ಸೆಂ.ಮೀ
C) 168 ಸೆಂ.ಮೀ
D) 84 ಸೆಂ.ಮೀ
ಉತ್ತರ: A
ಘನಫಲಗಳು ಸಮಾನ: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 ಸೆಂ.ಮೀ.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
ಟ್ಯಾಗ್: ಗೋಲ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ -
ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ಏಣಿಯ ಎತ್ತರ 26 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಅದರ ವಕ್ರ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 816.4 ಸೆಂ.ಮೀ²
B) 820 ಸೆಂ.ಮೀ²
C) 800 ಸೆಂ.ಮೀ²
D) 836 ಸೆಂ.ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 ಸೆಂ.ಮೀ².
ಟ್ಯಾಗ್: ಶಂಕು -
28 ಸೆಂ.ಮೀ ವ್ಯಾಸದ ಲಂಬ ವೃತ್ತಸ್ತಂಭಾಕಾರದ ಪಾತ್ರೆಯು ಭಾಗಶಃ ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿದೆ. 7 ಸೆಂ.ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಲವನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀರಿನ ಮಟ್ಟ ಎಷ್ಟು ಏರುತ್ತದೆ? A) 3.5 ಸೆಂ.ಮೀ
B) 4 ಸೆಂ.ಮೀ
C) 7 ಸೆಂ.ಮೀ
D) 14 ಸೆಂ.ಮೀ
ಉತ್ತರ: B
ಗೋಲದ ಘನಫಲ = 4/3 π(7)³; ಏರಿಕೆ h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 ಸೆಂ.ಮೀ.
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (ಇಲ್ಲಿ 4 ಸೆಂ.ಮೀ).
ಟ್ಯಾಗ್: ವೃತ್ತಸ್ತಂಭದಲ್ಲಿ ಗೋಲ -
ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಹೊಲದ ಸುತ್ತಳತೆ 176 ಮೀ. ಪ್ರತಿ ಚದರ ಮೀಟರಿಗೆ ₹15 ರಂತೆ ಅದನ್ನು ಸಮಮಾಡುವ ಖರ್ಚೆ ಎಷ್ಟು? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
ಉತ್ತರ: A
ಬಾಹು = 176 / 4 = 44 ಮೀ; ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 44² = 1936 ಮೀ²; ಖರ್ಚೆ = 1936 × 15 = ₹29 040.
ಟ್ಯಾಗ್: ಚೌಕ -
ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳು 13 ಸೆಂ.ಮೀ, 14 ಸೆಂ.ಮೀ, 15 ಸೆಂ.ಮೀ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? A) 84 ಸೆಂ.ಮೀ²
B) 91 ಸೆಂ.ಮೀ²
C) 72 ಸೆಂ.ಮೀ²
D) 105 ಸೆಂ.ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
s = 21; ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 ಸೆಂ.ಮೀ².
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 13-14-15 ಎಂಬುದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ 84 ಸೆಂ.ಮೀ² ತ್ರಿಕೋನ.
ಟ್ಯಾಗ್: ಹೀರಾನ್ -
14 ಸೆಂ.ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅರ್ಧಗೋಲಾಕಾರದ ಬಟ್ಟಲಿನ ಒಟ್ಟು ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (π = 22/7)? A) 1848 ಸೆಂ.ಮೀ²
B) 1232 ಸೆಂ.ಮೀ²
C) 2464 ಸೆಂ.ಮೀ²
D) 2156 ಸೆಂ.ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 ಸೆಂ.ಮೀ².
ಟ್ಯಾಗ್: ಅರ್ಧಗೋಲ -
ಒಂದು ಆಯತದ ಕರ್ಣ 26 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು ಅಗಲ 10 ಸೆಂ.ಮೀ ಆದರೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? A) 240 ಸೆಂ.ಮೀ²
B) 120 ಸೆಂ.ಮೀ²
C) 260 ಸೆಂ.ಮೀ²
D) 180 ಸೆಂ.ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
l = √(26²–10²) = 24 ಸೆಂ.ಮೀ; ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 24 × 10 = 240 ಸೆಂ.ಮೀ².
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 5-12-13 ತ್ರಿಪದಿಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದೆ.
ಟ್ಯಾಗ್: ಆಯತ -
ಒಂದು ಶಂಕು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಸ್ತಂಭದ ತ್ರಿಜ್ಯ 6 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 7 ಸೆಂ.ಮೀ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಘನಫಲಗಳ ಅನುಪಾತ ಎಷ್ಟು? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
ಉತ್ತರ: A
ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ : ವೃತ್ತಸ್ತಂಭದ ಘನಫಲ = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
ಟ್ಯಾಗ್: ಶಂಕು vs ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ -
60 ಮೀ × 40 ಮೀ ಗಾತ್ರದ ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಗಡಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಳಗಡೆ 5 ಮೀ ಅಗಲದ ದಾರಿ ಇದೆ. ದಾರಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 900 ಮೀ²
B) 950 ಮೀ²
C) 850 ಮೀ²
D) 800 ಮೀ²
ಉತ್ತರ: A
ಒಳ ಆಯತ 50 × 30 = 1500 ಮೀ²; ದಾರಿ = 2400 – 1500 = 900 ಮೀ².
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
ಟ್ಯಾಗ್: ದಾರಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು
| ಸನ್ನಿವೇಶ | ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಉದಾಹರಣೆ |
|---|---|---|
| ಪರಿಧಿಯಿಂದ ವೃತ್ತ | r = C / 6.28 (ಸುಮಾರು) | C = 88 ಮೀ ⇒ r ≈ 14 ಮೀ |
| ಘನದ ಕರ್ಣದಿಂದ ಬಾಹು | a = ಕರ್ಣ / 1.732 | ಕರ್ಣ 17.32 ⇒ a = 10 |
| ನೀರಿನ ಏರಿಕೆಯಿಂದ ವೃತ್ತಸ್ತಂಭದ ಘನಫಲ | 1 ಲೀ 1000 ಸೆಂ.ಮೀ³ ಏರಿಸುತ್ತದೆ; ಎತ್ತರ = 1000 / ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ | 20 ಸೆಂ.ಮೀ ವ್ಯಾಸದ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 1 ಲೀ ≈ 3.18 ಸೆಂ.ಮೀ ಏರಿಸುತ್ತದೆ |
| ಗೋಲ→ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ ಎತ್ತರ | h = 4r_ಗೋಲ / 3 | 21 ಸೆಂ.ಮೀ ಗೋಲ ⇒ h = 28 ಸೆಂ.ಮೀ, r_ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ = 21 ಸೆಂ.ಮೀ ಆದಾಗ |
| ಆಯತದೊಳಗಿನ ದಾರಿ | ದಾರಿಯ_ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2w(l + b – 2w) | 60×40 ಉದ್ಯಾನದಲ್ಲಿ 5 ಮೀ ದಾರಿ = 2×5×(60+40–10) = 900 ಮೀ² |
ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ
| ಪಾಯಿಂಟ್ | ವಿವರ |
|---|---|
| 1 | ಉತ್ತರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು (ಮೀ, ಸೆಂ.ಮೀ, ಮೀ², ಸೆಂ.ಮೀ³) ಬರೆಯಿರಿ—ಆರ್.ಆರ್.ಬಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕಮಾನವಿಲ್ಲದ ಆಯ್ಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲೆ ಹಾಕುತ್ತದೆ. |
| 2 | ತ್ರಿಜ್ಯವು 7 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದ್ದಾಗ π = 22/7 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ 3.14 ನೀಡಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬಳಸಿ. |
| 3 | ಯಾವುದೇ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಘನಫಲ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ × ಎತ್ತರ; ಪಿರಮಿಡ್/ಶಂಕು = ⅓ × ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ × ಎತ್ತರ. |
| 4 | ಘನಭದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಉದ್ದದ ಕೋಲು = √(l²+b²+h²); ಘನದಲ್ಲಿ = a√3. |
| 5 | ಒಂದೇ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ, Vol_ವೃತ್ತಸ್ತಂಭ : Vol_ಶಂಕು = 3 : 1. |
| 6 | ಅರ್ಧಗೋಲದ CSA = 2πr²; TSA = 3πr² (ಪಾದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ). |
| 7 | ನೀರಿನ-ಏರಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು: ಬಿಟ್ಟ ವಸ್ತುವಿನ ಘನಫಲ = πr²h_ಏರಿಕೆ. |
| 8 | 1 ಮೀ = 100 ಸೆಂ.ಮೀ, 1 ಮೀ² = 10 000 ಸೆಂ.ಮೀ², 1 ಮೀ³ = 10⁶ ಸೆಂ.ಮೀ³ = 1000 ಲೀ. |
| 9 | ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ತ್ರಿಪದಿಗಳು: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). |
| 10 | ಆಯ್ಕೆಗಳು 10 % ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದ್ದರೆ, π ಅನ್ನು 3 ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ ಹತ್ತಿರದವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. |
BETA
