क्षेत्रफळ आणि घनफळ
मुख्य संकल्पना
| # | संकल्पना | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | वर्तुळ | क्षेत्रफळ = πr², परिघ = 2πr; π = 22/7 घ्या जोपर्यंत 3.14 पर्यायात नाही |
| 2 | आयत | क्षेत्रफळ = l × b, परिमिती = 2(l + b); कर्ण = √(l² + b²) |
| 3 | त्रिकोण | क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची; हेरॉनचे सूत्र: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | इष्टिकाचिती | घनफळ = l × b × h; पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ = 2(lb + bh + lh); सर्वात लांब काठी = √(l²+b²+h²) |
| 5 | घन | घनफळ = a³, पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ = 6a², अवकाश कर्ण = a√3 |
| 6 | वृत्तचिती | घनफळ = πr²h, वक्रपृष्ठ = 2πrh, एकूण पृष्ठभाग = 2πr(r+h) |
| 7 | गोल | घनफळ = 4/3 πr³, पृष्ठभाग = 4πr²; व्यास = 2r |
| 8 | शंकू | घनफळ = 1/3 πr²h, तिरकस उंची l = √(r²+h²), वक्रपृष्ठ = πrl |
15 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
-
एका वर्तुळाकार बागेचा परिघ 176 मीटर आहे. तर तिचे क्षेत्रफळ किती? A) 2464 मी²
B) 1232 मी²
C) 616 मी²
D) 352 मी²
उत्तर: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 मी. क्षेत्रफळ = 22/7 × 28² = 2464 मी².
शॉर्टकट: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
टॅग: वर्तुळ -
एका आयताची लांबी त्याच्या रुंदीच्या दुप्पट आहे. जर परिमिती 126 सेमी असेल, तर क्षेत्रफळ किती? A) 882 सेमी²
B) 972 सेमी²
C) 792 सेमी²
D) 756 सेमी²
उत्तर: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; क्षेत्रफळ = 882 सेमी².
शॉर्टकट: 6x = 126 ⇒ x = 21; क्षेत्रफळ = 2x² = 2 × 441 = 882.
टॅग: आयत -
एका काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 600 सेमी² आहे आणि एक बाजू 30 सेमी आहे. तर कर्ण शोधा. A) 50 सेमी
B) 60 सेमी
C) 40 सेमी
D) 70 सेमी
उत्तर: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 सेमी; कर्ण = √(30²+40²) = 50 सेमी.
शॉर्टकट: 3-4-5 त्रिकूट 10 ने गुणाकार.
टॅग: त्रिकोण -
ज्या घनाचा कर्ण 17.32 सेमी (≈10√3) आहे त्याचे घनफळ किती? A) 1000 सेमी³
B) 729 सेमी³
C) 800 सेमी³
D) 1331 सेमी³
उत्तर: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; घनफळ = 10³ = 1000 सेमी³.
शॉर्टकट: कर्ण ÷ √3 = बाजू.
टॅग: घन -
2 मीटर बाजू असलेल्या घनाकृती टाकीमध्ये अर्धे पाणी भरलेले आहे. तर किती लीटर पाणी आहे? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
उत्तर: A
घनफळ = 2³ = 8 मी³; अर्धे = 4 मी³ = 4000 ली.
शॉर्टकट: 1 मी³ = 1000 ली.
टॅग: घन -
एका वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठ क्षेत्रफळ 2200 सेमी² आणि उंची 35 सेमी आहे. तर त्रिज्या शोधा. A) 10 सेमी
B) 14 सेमी
C) 7 सेमी
D) 21 सेमी
उत्तर: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 सेमी.
शॉर्टकट: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
टॅग: वृत्तचिती -
21 सेमी त्रिज्या असलेला गोल वितळवून 7 सेमी त्रिज्या असलेल्या वृत्तचितीमध्ये ओतला जातो. तर वृत्तचितीची उंची शोधा. A) 252 सेमी
B) 126 सेमी
C) 168 सेमी
D) 84 सेमी
उत्तर: A
घनफळ समान: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 सेमी.
शॉर्टकट: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
टॅग: गोल आणि वृत्तचिती -
एका शंकूची तिरकस उंची 26 सेमी आणि त्रिज्या 10 सेमी आहे. तर त्याचे वक्रपृष्ठ क्षेत्रफळ शोधा. A) 816.4 सेमी²
B) 820 सेमी²
C) 800 सेमी²
D) 836 सेमी²
उत्तर: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 सेमी².
टॅग: शंकू -
28 सेमी व्यास असलेल्या उजव्या वृत्तचिती आकाराच्या भांड्यात अंशतः पाणी भरलेले आहे. त्यात 7 सेमी त्रिज्या असलेला गोल टाकला जातो. तर पाण्याची पातळी कितीने वाढेल? A) 3.5 सेमी
B) 4 सेमी
C) 7 सेमी
D) 14 सेमी
उत्तर: B
गोलाचे घनफळ = 4/3 π(7)³; वाढ h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 सेमी.
शॉर्टकट: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (इथे 4 सेमी).
टॅग: वृत्तचितीतील गोल -
एका चौरस शेताची परिमिती 176 मीटर आहे. ₹15 प्रति मी² दराने त्याचे समतलन करण्याचा खर्च किती? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
उत्तर: A
बाजू = 176 / 4 = 44 मी; क्षेत्रफळ = 44² = 1936 मी²; खर्च = 1936 × 15 = ₹29 040.
टॅग: चौरस -
एका त्रिकोणाच्या बाजू 13 सेमी, 14 सेमी, 15 सेमी आहेत. त्याचे क्षेत्रफळ किती? A) 84 सेमी²
B) 91 सेमी²
C) 72 सेमी²
D) 105 सेमी²
उत्तर: A
s = 21; क्षेत्रफळ = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 सेमी².
शॉर्टकट: 13-14-15 हा 84 सेमी² क्षेत्रफळ असलेला प्रसिद्ध त्रिकोण आहे.
टॅग: हेरॉन -
14 सेमी त्रिज्या असलेल्या अर्धगोलाकार वाटीचे एकूण पृष्ठभाग क्षेत्रफळ (π = 22/7) किती? A) 1848 सेमी²
B) 1232 सेमी²
C) 2464 सेमी²
D) 2156 सेमी²
उत्तर: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 सेमी².
टॅग: अर्धगोल -
जर आयताचा कर्ण 26 सेमी आणि रुंदी 10 सेमी असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती? A) 240 सेमी²
B) 120 सेमी²
C) 260 सेमी²
D) 180 सेमी²
उत्तर: A
l = √(26²–10²) = 24 सेमी; क्षेत्रफळ = 24 × 10 = 240 सेमी².
शॉर्टकट: 5-12-13 त्रिकूट × 2.
टॅग: आयत -
एका शंकू आणि वृत्तचितीची त्रिज्या 6 सेमी आणि उंची 7 सेमी समान आहे. त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर किती? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
उत्तर: A
शंकूचे घनफळ : वृत्तचितीचे घनफळ = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
टॅग: शंकू विरुद्ध वृत्तचिती -
60 मी × 40 मी आकाराच्या आयताकृती बागेत सीमेवर 5 मीटर रुंदीचा आतील मार्ग आहे. तर मार्गाचे क्षेत्रफळ शोधा. A) 900 मी²
B) 950 मी²
C) 850 मी²
D) 800 मी²
उत्तर: A
आतील आयत 50 × 30 = 1500 मी²; मार्ग = 2400 – 1500 = 900 मी².
शॉर्टकट: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
टॅग: मार्ग क्षेत्रफळ
गती ट्रिक्स
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| परिघावरून वर्तुळ | r = C / 6.28 (अंदाजे) | C = 88 मी ⇒ r ≈ 14 मी |
| घनाचा कर्ण ते बाजू | a = कर्ण / 1.732 | कर्ण 17.32 ⇒ a = 10 |
| पाण्याच्या वाढीवरून वृत्तचितीचे घनफळ | 1 लीटर 1000 सेमी³ वाढवते; उंची = 1000 / पायाचे क्षेत्रफळ | 20 सेमी व्यासाच्या भांड्यात 1 लीटर ⇒ उंची ≈ 3.18 सेमी वाढ |
| गोल → वृत्तचिती उंची | h = 4r_गोल / 3 | 21 सेमी गोल ⇒ h = 28 सेमी जेव्हा r_वृत्तचिती = 21 सेमी |
| आयतामधील आतील मार्ग | मार्गाचे_क्षेत्रफळ = 2w(l + b – 2w) | 60×40 बागेत 5 मी मार्ग = 2×5×(60+40–10) = 900 मी² |
द्रुत पुनरावलोकन
| मुद्दा | तपशील |
|---|---|
| 1 | उत्तरांमध्ये नेहमी एकके (मी, सेमी, मी², सेमी³) लिहा — आरआरबी सहसा एकक नसलेल्या पर्यायांसह सापळे घालते. |
| 2 | जेव्हा त्रिज्या 7 चा गुणाकार असेल तेव्हा π = 22/7 घ्या; अन्यथा पर्यायात दिले असल्यास 3.14 घ्या. |
| 3 | कोणत्याही प्रिझमचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची; पिरॅमिड/शंकू = ⅓ × पायाचे क्षेत्रफळ × उंची. |
| 4 | इष्टिकाचितीतील सर्वात लांब काठी = √(l²+b²+h²); घनामध्ये = a√3. |
| 5 | समान पाया आणि उंचीसाठी, वृत्तचिती_घनफळ : शंकू_घनफळ = 3 : 1. |
| 6 | अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठ = 2πr²; एकूण पृष्ठभाग = 3πr² (पाया समाविष्ट). |
| 7 | पाण्याची वाढ समस्या: टाकलेल्या वस्तूचे घनफळ = πr²h_वाढ. |
| 8 | 1 मी = 100 सेमी, 1 मी² = 10 000 सेमी², 1 मी³ = 10⁶ सेमी³ = 1000 ली. |
| 9 | काटकोन त्रिकोण त्रिकूट: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). |
| 10 | जर पर्याय 10% पेक्षा जास्त भिन्न असतील, तर π चा अंदाज 3 म्हणून घ्या आणि जवळचे काढून टाका. |
BETA
