ক্ষেত্ৰফল আৰু আয়তন
মূল ধাৰণাসমূহ
| # | ধাৰণা | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | বৃত্ত | ক্ষেত্ৰফল = πr², পৰিধি = 2πr; π = 22/7 ল’ব যদি 3.14 বিকল্পত নাথাকে |
| 2 | আয়তক্ষেত্ৰ | ক্ষেত্ৰফল = l × b, পৰিসীমা = 2(l + b); কৰ্ণ = √(l² + b²) |
| 3 | ত্ৰিভূজ | ক্ষেত্ৰফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা; হেৰ’নৰ সূত্ৰ: √[s(s–a)(s–b)(s–c)], s = (a+b+c)/2 |
| 4 | আয়তক্ষেত্ৰাকাৰ ঘনক | আয়তন = l × b × h; মুঠ পৃষ্ঠকালি = 2(lb + bh + lh); দীঘলতম দণ্ড = √(l²+b²+h²) |
| 5 | ঘনক | আয়তন = a³, মুঠ পৃষ্ঠকালি = 6a², ঘনকৰ কৰ্ণ = a√3 |
| 6 | চিলিণ্ডাৰ | আয়তন = πr²h, বক্ৰপৃষ্ঠকালি = 2πrh, মুঠ পৃষ্ঠকালি = 2πr(r+h) |
| 7 | গোলক | আয়তন = 4/3 πr³, পৃষ্ঠকালি = 4πr²; ব্যাস = 2r |
| 8 | শংকু | আয়তন = 1/3 πr²h, চ্যুতি উচ্চতা l = √(r²+h²), বক্ৰপৃষ্ঠকালি = πrl |
১৫টা অনুশীলনমূলক MCQ
-
এটা বৃত্তাকাৰ উদ্যানৰ পৰিধি ১৭৬ মিটাৰ। ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল কিমান? A) 2464 m²
B) 1232 m²
C) 616 m²
D) 352 m²
উত্তৰ: A
2πr = 176 ⇒ r = 28 m. ক্ষেত্ৰফল = 22/7 × 28² = 2464 m².
শৰ্টকাট: C → r = 176 × 7/44 = 28; A = 22/7 × 28².
টেগ: বৃত্ত -
এটা আয়তক্ষেত্ৰৰ দৈৰ্ঘ্য ইয়াৰ প্ৰস্থৰ দুগুণ। যদি পৰিসীমা ১২৬ ছে.মি. হয়, ক্ষেত্ৰফল কিমান? A) 882 cm²
B) 972 cm²
C) 792 cm²
D) 756 cm²
উত্তৰ: A
2(2x + x) = 126 ⇒ x = 21; l = 42, b = 21; ক্ষেত্ৰফল = 882 cm².
শৰ্টকাট: 6x = 126 ⇒ x = 21; ক্ষেত্ৰফল = 2x² = 2 × 441 = 882.
টেগ: আয়তক্ষেত্ৰ -
এটা সমকোণী ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল ৬০০ ছে.মি.² আৰু এটা বাহু ৩০ ছে.মি.। অতিভূজটো নিৰ্ণয় কৰা। A) 50 cm
B) 60 cm
C) 40 cm
D) 70 cm
উত্তৰ: A
½ × 30 × h = 600 ⇒ h = 40 cm; অতিভূজ = √(30²+40²) = 50 cm.
শৰ্টকাট: 3-4-5 ত্ৰয়ী ১০ৰে পূৰণ কৰিলে পোৱা যায়।
টেগ: ত্ৰিভূজ -
এটা ঘনকৰ কৰ্ণ ১৭.৩২ ছে.মি. (≈10√3) হ’লে ইয়াৰ আয়তন কিমান? A) 1000 cm³
B) 729 cm³
C) 800 cm³
D) 1331 cm³
উত্তৰ: A
a√3 = 10√3 ⇒ a = 10; আয়তন = 10³ = 1000 cm³.
শৰ্টকাট: কৰ্ণ ÷ √3 = বাহু।
টেগ: ঘনক -
২ মিটাৰ বাহুৰ এটা ঘনকাকাৰ টেংকি আধা পানীৰে ভৰ্তি। ইয়াত কিমান লিটাৰ পানী আছে? A) 4000
B) 2000
C) 8000
D) 16000
উত্তৰ: A
আয়তন = 2³ = 8 m³; আধা = 4 m³ = 4000 L.
শৰ্টকাট: 1 m³ = 1000 L.
টেগ: ঘনক -
এটা চিলিণ্ডাৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি ২২০০ ছে.মি.² আৰু উচ্চতা ৩৫ ছে.মি.। ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা। A) 10 cm
B) 14 cm
C) 7 cm
D) 21 cm
উত্তৰ: A
2πrh = 2200 ⇒ 2 × 22/7 × r × 35 = 2200 ⇒ r = 10 cm.
শৰ্টকাট: r = CSA / (2πh) = 2200 / 220 = 10.
টেগ: চিলিণ্ডাৰ -
২১ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলক গলাই ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চিলিণ্ডাৰলৈ পৰিণত কৰা হ’ল। চিলিণ্ডাৰটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা। A) 252 cm
B) 126 cm
C) 168 cm
D) 84 cm
উত্তৰ: A
আয়তন সমান: 4/3 π(21)³ = π(7)²h ⇒ h = 252 cm.
শৰ্টকাট: h = 4/3 × (21³)/(7²) = 4/3 × 9261 / 49 = 252.
টেগ: গোলক আৰু চিলিণ্ডাৰ -
এটা শংকুৰ চ্যুতি উচ্চতা ২৬ ছে.মি. আৰু ব্যাসাৰ্ধ ১০ ছে.মি.। ইয়াৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা। A) 816.4 cm²
B) 820 cm²
C) 800 cm²
D) 836 cm²
উত্তৰ: A
CSA = πrl = 22/7 × 10 × 26 = 816.4 cm².
টেগ: শংকু -
২৮ ছে.মি. ব্যাসৰ এটা সমকোণী চিলিণ্ডাৰাকাৰ পাত্ৰ আধা পানীৰে ভৰ্তি। ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলক তাত পেলোৱা হ’ল। পানীৰ স্তৰ কিমান ওপৰলৈ উঠিব? A) 3.5 cm
B) 4 cm
C) 7 cm
D) 14 cm
উত্তৰ: B
গোলকৰ আয়তন = 4/3 π(7)³; পানীৰ স্তৰৰ বৃদ্ধি h: π(14)²h = 4/3 π(7)³ ⇒ h = 4 cm.
শৰ্টকাট: h = 4r / 3 = 4 × 7 / 3 ≈ 9.33 (ইয়াত 4 cm).
টেগ: চিলিণ্ডাৰত গোলক -
এটা বৰ্গক্ষেত্ৰৰ পৰিসীমা ১৭৬ মিটাৰ। প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত ১৫ টকাকৈ ইয়াত মাটি সমান কৰাৰ খৰচ কিমান? A) ₹29 040
B) ₹36 960
C) ₹18 480
D) ₹23 760
উত্তৰ: A
বাহু = 176 / 4 = 44 m; ক্ষেত্ৰফল = 44² = 1936 m²; খৰচ = 1936 × 15 = ₹29 040.
টেগ: বৰ্গক্ষেত্ৰ -
এটা ত্ৰিভূজৰ বাহু তিনিটা ১৩ ছে.মি., ১৪ ছে.মি., ১৫ ছে.মি.। ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল কিমান? A) 84 cm²
B) 91 cm²
C) 72 cm²
D) 105 cm²
উত্তৰ: A
s = 21; ক্ষেত্ৰফল = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 cm².
শৰ্টকাট: 13-14-15 ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰফল 84 cm² বুলি জনাজাত।
টেগ: হেৰ’নৰ সূত্ৰ -
১৪ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা অৰ্ধগোলকাকাৰ বাটিৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি (π = 22/7) কিমান? A) 1848 cm²
B) 1232 cm²
C) 2464 cm²
D) 2156 cm²
উত্তৰ: A
3πr² = 3 × 22/7 × 14² = 1848 cm².
টেগ: অৰ্ধগোলক -
যদি এটা আয়তক্ষেত্ৰৰ কৰ্ণ ২৬ ছে.মি. আৰু প্ৰস্থ ১০ ছে.মি. হয়, ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল কিমান? A) 240 cm²
B) 120 cm²
C) 260 cm²
D) 180 cm²
উত্তৰ: A
l = √(26²–10²) = 24 cm; ক্ষেত্ৰফল = 24 × 10 = 240 cm².
শৰ্টকাট: 5-12-13 ত্ৰয়ী ২ৰে পূৰণ কৰিলে পোৱা যায়।
টেগ: আয়তক্ষেত্ৰ -
এটা শংকু আৰু এটা চিলিণ্ডাৰৰ ব্যাসাৰ্ধ ৬ ছে.মি. আৰু উচ্চতা ৭ ছে.মি. একে। ইহঁতৰ আয়তনৰ অনুপাত কিমান? A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 1
D) 2 : 3
উত্তৰ: A
শংকুৰ আয়তন : চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন = 1/3 πr²h : πr²h = 1 : 3.
টেগ: শংকু আৰু চিলিণ্ডাৰ -
৬০ মি. × ৪০ মি.ৰ এটা আয়তাকাৰ উদ্যানৰ সীমাৰ ওচৰত ভিতৰৰ ফালে ৫ মি. বহল এটা বাট আছে। বাটটোৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰা। A) 900 m²
B) 950 m²
C) 850 m²
D) 800 m²
উত্তৰ: A
ভিতৰৰ আয়তক্ষেত্ৰ ৫০ × ৩০ = 1500 m²; বাট = 2400 – 1500 = 900 m².
শৰ্টকাট: 2×5×(60+40–2×5) = 10×90 = 900.
টেগ: বাটৰ ক্ষেত্ৰফল
দ্ৰুত কৌশল
| পৰিস্থিতি | শৰ্টকাট | উদাহৰণ |
|---|---|---|
| পৰিধিৰ পৰা বৃত্ত | r = C / 6.28 (প্ৰায়) | C = 88 m ⇒ r ≈ 14 m |
| ঘনকৰ কৰ্ণৰ পৰা বাহু | a = কৰ্ণ / 1.732 | কৰ্ণ 17.32 ⇒ a = 10 |
| পানীৰ স্তৰ বৃদ্ধিৰ পৰা চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন | 1 L = 1000 cm³; উচ্চতা = 1000 / ভূমিৰ কালি | ২০ ছে.মি. ব্যাসৰ পাত্ৰত ১ লিটাৰে ≈ ৩.১৮ ছে.মি. বৃদ্ধি |
| গোলক→চিলিণ্ডাৰ উচ্চতা | h = 4r_গোলক / 3 | ২১ ছে.মি. গোলক ⇒ h = ২৮ ছে.মি. যেতিয়া r_চিলিণ্ডাৰ = ২১ ছে.মি. |
| আয়তক্ষেত্ৰৰ ভিতৰৰ বাট | বাটৰ কালি = 2w(l + b – 2w) | ৬০×৪০ উদ্যানত ৫ মি. বাট = 2×5×(60+40–10) = 900 m² |
দ্ৰুত পুনৰীক্ষণ
| পইণ্ট | বিৱৰণ |
|---|---|
| 1 | উত্তৰত সদায় একক (m, cm, m², cm³) লিখিব - RRB-ত প্ৰায়ে একক নথকা বিকল্পত ফাঁদ দিয়া হয়। |
| 2 | π = 22/7 ল’ব যেতিয়া ব্যাসাৰ্ধ ৭ৰ গুণিতক; নহ’লে ৩.১৪ ল’ব যদি বিকল্পত দিয়া থাকে। |
| 3 | যিকোনো প্ৰিজমৰ আয়তন = ভূমিৰ কালি × উচ্চতা; পিৰামিড/শংকু = ⅓ × ভূমিৰ কালি × উচ্চতা। |
| 4 | আয়তক্ষেত্ৰাকাৰ ঘনকত দীঘলতম দণ্ড = √(l²+b²+h²); ঘনকত = a√3। |
| 5 | একে ভূমি আৰু উচ্চতাৰ বাবে, চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন : শংকুৰ আয়তন = ৩ : ১। |
| 6 | অৰ্ধগোলকৰ CSA = 2πr²; TSA = 3πr² (ভূমিও অন্তৰ্ভুক্ত)। |
| 7 | পানীৰ স্তৰ বৃদ্ধিৰ সমস্যা: পেলোৱা বস্তুৰ আয়তন = πr²h_বৃদ্ধি। |
| 8 | 1 m = 100 cm, 1 m² = 10 000 cm², 1 m³ = 10⁶ cm³ = 1000 L। |
| 9 | সমকোণী ত্ৰিভূজৰ ত্ৰয়ী: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17)। |
| 10 | যদি বিকল্পবোৰ ১০%তকৈ বেছি পৃথক হয়, π ≈ ৩ ধৰি আৰু ওচৰৰটো বাদ দিব। |
BETA
