6.1 పరిచయం

సునీత తల్లి దగ్గర 8 అరటిపండ్లు ఉన్నాయి. సునీత తన స్నేహితులతో పిక్నిక్కి వెళ్లాలి. ఆమె తనతో 10 అరటిపండ్లు తీసుకెళ్లాలనుకుంటుంది. ఆమె తల్లి ఆమెకు 10 అరటిపండ్లు ఇవ్వగలరా? ఆమె దగ్గర సరిపోలేదు, కాబట్టి ఆమె తన పొరుగువారి నుండి తర్వాత తిరిగి ఇవ్వడానికి 2 అరటిపండ్లు అప్పు తీసుకుంది. సునీతకు 10 అరటిపండ్లు ఇచ్చిన తర్వాత, ఆమె తల్లి దగ్గర ఎన్ని అరటిపండ్లు మిగిలి ఉన్నాయి? ఆమె దగ్గర సున్నా అరటిపండ్లు ఉన్నాయని చెప్పగలమా? ఆమె దగ్గర ఏ అరటిపండ్లు లేవు, కానీ పొరుగువారికి రెండు తిరిగి ఇవ్వాలి. కాబట్టి ఆమెకు మరికొన్ని అరటిపండ్లు వచ్చినప్పుడు, 6 అనుకుందాం, ఆమె 2 తిరిగి ఇస్తుంది మరియు 4 మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది.

రోనాల్డ్ పెన్ కొనడానికి మార్కెట్కు వెళ్తాడు. అతని దగ్గర ₹ 12 మాత్రమే ఉన్నాయి కానీ పెన్ ధర ₹ 15. దుకాణదారుడు అతని నుండి రూ. 3 బాకీ మొత్తంగా రాసుకుంటాడు. అతను రోనాల్డ్ బాకీని గుర్తుంచుకోవడానికి తన డైరీలో ₹ 3 రాసుకుంటాడు. కానీ ₹ 3 ఇవ్వాలా లేక రోనాల్డ్ నుండి తీసుకోవాలా అనేది అతను ఎలా గుర్తుంచుకోగలడు? ఈ బాకీని ఏదైనా రంగు లేదా గుర్తుతో వ్యక్తపరచగలడా?

రుచిక మరియు సల్మా సమాన అంతరాలలో 0 నుండి 25 వరకు గుర్తించబడిన సంఖ్యా పట్టీని ఉపయోగించి ఒక ఆట ఆడుతున్నారు.

ప్రారంభంలో, ఇద్దరూ సున్నా గుర్తు వద్ద ఒక రంగు టోకన్ ఉంచారు. రెండు రంగు పాచికలు ఒక సంచిలో ఉంచబడి వాటిని ఒక్కొక్కటిగా బయటకు తీస్తారు. పాచిక ఎరుపు రంగులో ఉంటే, ఈ పాచికను విసిరినప్పుడు చూపిన సంఖ్య ప్రకారం టోకన్ ముందుకు తరలించబడుతుంది. అది నీలం రంగులో ఉంటే, ఈ పాచిక విసిరినప్పుడు చూపిన సంఖ్య ప్రకారం టోకన్ వెనుకకు తరలించబడుతుంది. ప్రతి తరలిక తర్వాత పాచికలు తిరిగి సంచిలో ఉంచబడతాయి, తద్వారా ఇద్దరికీ ఏదైనా పాచిక పొందే సమాన అవకాశం ఉంటుంది. 25వ గుర్తును మొదటగా చేరుకునే వ్యక్తి గెలుపు పొందుతాడు. వారు ఆట ఆడతారు. రుచిక ఎరుపు పాచిక పొందుతుంది మరియు దానిని విసిరిన తర్వాత పాచికపై నాలుగు పొందుతుంది. అందువలన, ఆమె పట్టీపై నాలుగవ గుర్తుకు టోకన్ను తరలిస్తుంది. సల్మా కూడా ఎరుపు పాచికను బయటకు తీసుకోవడం జరుగుతుంది మరియు 3 పాయింట్లు గెలుచుకుంటుంది మరియు అందువలన, ఆమె టోకన్ను సంఖ్య 3కి తరలిస్తుంది.

రెండవ ప్రయత్నంలో, రుచిక ఎరుపు పాచికతో మూడు పాయింట్లు సాధించింది మరియు సల్మా 4 పాయింట్లు పొందింది కానీ నీలం పాచికతో. రెండవ ప్రయత్నం తర్వాత వారిద్దరూ తమ టోకన్లను ఎక్కడ ఉంచాలని మీరు భావిస్తున్నారు?

రుచిక ముందుకు కదులుతుంది మరియు $4+3$ చేరుకుంటుంది, అనగా 7వ గుర్తు.

సల్మా తన టోకన్ను సున్నా స్థానంలో ఉంచింది. కానీ రుచిక ఆమె సున్నా వెనుక ఉండాలని చెప్పి అభ్యంతరం తెలిపింది. సల్మా అంగీకరించింది. కానీ సున్నా వెనుక ఏమీ లేదు. వారు ఏమి చేయగలరు?

సల్మా మరియు రుచిక అప్పుడు పట్టీని మరొక వైపు విస్తరించారు. వారు మరొక వైపు నీలం పట్టీని ఉపయోగించారు.

ఇప్పుడు, సల్మా తాను సున్నా వెనుక ఒక గుర్తు ఉన్నానని సూచించింది, కాబట్టి దానిని నీలం ఒకటిగా గుర్తించవచ్చు. టోకన్ నీలం ఒకటి వద్ద ఉంటే, నీలం ఒకటి వెనుక ఉన్న స్థానం నీలం రెండు. అదేవిధంగా, నీలం మూడు నీలం రెండు వెనుక ఉంటుంది. ఈ విధంగా వారు వెనుకకు తరలించడానికి నిర్ణయించుకున్నారు. మరొక రోజు ఆడుతున్నప్పుడు వారికి నీలం కాగితం దొరకలేదు, కాబట్టి రుచిక, మనం వ్యతిరేక దిశలో కదులుతున్నందున మరొక వైపు ఒక గుర్తును ఉపయోగిద్దాం అని చెప్పింది. కాబట్టి మీరు చూస్తారు, సున్నా కంటే తక్కువ సంఖ్యల కోసం ఒక గుర్తును ఉపయోగించాల్సిన అవసరం ఉంది. ఉపయోగించే గుర్తు సంఖ్యకు జోడించబడిన మైనస్ గుర్తు యొక్క ఉంచడం. ఇది ప్రతికూల గుర్తు ఉన్న సంఖ్యలు సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటాయని సూచిస్తుంది. వీటిని ప్రతికూల సంఖ్యలు అంటారు.

దీన్ని చేయండి

(ఎవరు ఎక్కడ ఉన్నారు?)

డేవిడ్ మరియు మోహన్ సున్నా స్థానం నుండి వ్యతిరేక దిశల్లో నడవడం ప్రారంభించారని అనుకుందాం. సున్నా కుడి వైపున ఉన్న అడుగులను ’ + ’ గుర్తుతో మరియు సున్నా ఎడమ వైపున ఉన్న అడుగులను ‘-’ గుర్తుతో సూచిస్తాము. మోహన్ సున్నా కుడి వైపున 5 అడుగులు కదిలితే దానిని +5గా సూచించవచ్చు మరియు డేవిడ్ సున్నా ఎడమ వైపున 5 అడుగులు కదిలితే దానిని -5గా సూచించవచ్చు. ఇప్పుడు కింది స్థానాలను + లేదా - గుర్తుతో సూచించండి:

(a) సున్నా ఎడమ వైపున 8 అడుగులు.
(b) సున్నా కుడి వైపున 7 అడుగులు.
(c) సున్నా కుడి వైపున 11 అడుగులు.
(d) సున్నా ఎడమ వైపున 6 అడుగులు.

దీన్ని చేయండి

(నా వెంట ఎవరు వస్తారు?)

మనం తరలించాల్సిన సంఖ్య ధనాత్మకంగా ఉంటే కుడి వైపుకు తరలింపు చేయబడుతుందని మునుపటి ఉదాహరణల నుండి చూశాము. కేవలం 1 తరలింపు చేస్తే మనకు ఆ సంఖ్య యొక్క తర్వాతి సంఖ్య వస్తుంది.

కింది వాటి యొక్క తర్వాతి సంఖ్యను రాయండి:

మనం తరలించాల్సిన సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే ఎడమ వైపుకు తరలింపు జరుగుతుంది.

కేవలం 1 ఎడమ వైపుకు తరలించబడితే, మనకు ఒక సంఖ్య యొక్క ముందు సంఖ్య వస్తుంది.

ఇప్పుడు కింది వాటి యొక్క ముందు సంఖ్యను రాయండి:

6.1.1 నాతో ఒక గుర్తు ఉంచండి

కొన్ని సంఖ్యలు మైనస్ గుర్తును కలిగి ఉంటాయని మనం చూశాము. ఉదాహరణకు, రోనాల్డ్ బాకీ మొత్తాన్ని దుకాణదారుడికి చూపించాలనుకుంటే మనం దానిని -3గా రాస్తాము.

కింది వాటి అమ్మకం నుండి లాభం మరియు నష్టాన్ని చూపించే ఒక దుకాణదారు ఖాతా ఉంది. లాభం మరియు నష్టం వ్యతిరేక పరిస్థితులు కాబట్టి మరియు లాభాన్ని ’ + ’ గుర్తుతో సూచిస్తే, నష్టాన్ని ‘-’ గుర్తుతో సూచించవచ్చు.

మనం ఈ గుర్తులను ఉపయోగించే కొన్ని పరిస్థితులు:

సముద్ర మట్టానికి పైన ఉన్న ప్రదేశం ఎత్తును ధన సంఖ్యతో సూచిస్తారు. మనం క్రిందికి, మరింత క్రిందికి వెళ్లేకొద్దీ ఎత్తు తక్కువగా మారుతుంది. అందువలన, సముద్ర మట్టం ఉపరితలం క్రింద ఉన్న ఎత్తును ప్రతికూల సంఖ్యతో సూచించవచ్చు.

ఇవి చేయండి

కింది సంఖ్యలను తగిన గుర్తులతో రాయండి:

(a) సముద్ర మట్టం క్రింద $100 m$.
(b) $25^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ ఉష్ణోగ్రత పైన.
(c) $15^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ ఉష్ణోగ్రత క్రింద.
(d) 0 కంటే తక్కువగా ఉన్న ఏదైనా ఐదు సంఖ్యలు.

సంపాదనలను ’ + ’ గుర్తుతో సూచిస్తే, అప్పుడు ఖర్చులను ‘-’ గుర్తుతో చూపించవచ్చు. అదేవిధంగా, $0^{\circ} C$ పైన ఉన్న ఉష్ణోగ్రతను ’ + ’ గుర్తుతో మరియు $0^{\circ} C$ క్రింద ఉన్న ఉష్ణోగ్రతను ‘-’ గుర్తుతో సూచిస్తారు. ఉదాహరణకు, ఒక ప్రదేశం యొక్క ఉష్ణోగ్రత $10^{\circ}$ $0^{\circ} C$ క్రింద ఉంటే దానిని $-10^{\circ} C$గా రాస్తారు.

6.2 పూర్ణ సంఖ్యలు

కనుగొనబడిన మొదటి సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు అంటే 1, 2, 3, 4,.. సహజ సంఖ్యల సమూహంలో సున్నాను చేర్చినట్లయితే, మనకు పూర్ణ సంఖ్యలు అని పిలువబడే కొత్త సంఖ్యల సమూహం లభిస్తుంది అంటే $0,1,2,3,4, \ldots$ మీరు ఈ సంఖ్యలను మునుపటి అధ్యాయంలో అధ్యయనం చేశారు. ఇప్పుడు ప్రతికూల సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయని మనం కనుగొంటాము. పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిపితే, కొత్త సంఖ్యల సమూహం $0,1,2,3,4,5, \ldots,-1,-2,-3$, $-4,-5, \ldots$ లాగా కనిపిస్తుంది మరియు ఈ సంఖ్యల సమూహాన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. ఈ సమూహంలో, $1,2,3, \ldots$ ధన పూర్ణ సంఖ్యలు అని మరియు $-1,-2,-3, \ldots$ ప్రతికూల పూర్ణ సంఖ్యలు అని అంటారు.

దీన్ని కింది బొమ్మల ద్వారా అర్థం చేసుకుందాం. వాటికి వ్యతిరేకంగా రాయబడిన సంఖ్యల సమూహాన్ని బొమ్మలు సూచిస్తాయని అనుకుందాం.

అప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యల సమూహాన్ని కింది రేఖాచిత్రం ద్వారా అర్థం చేసుకోవచ్చు, దీనిలో అన్ని మునుపటి సమూహాలు చేర్చబడతాయి:

6.2.1 సంఖ్యా రేఖపై పూర్ణ సంఖ్యల ప్రాతినిధ్యం

ఒక రేఖను గీయండి మరియు దానిపై సమాన దూరంలో కొన్ని బిందువులను గుర్తించండి. దానిపై ఒక బిందువును సున్నాగా గుర్తించండి. సున్నా కుడి వైపున ఉన్న బిందువులు ధన పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు $+1,+2,+3$, మొదలైనవి గుర్తించబడతాయి. లేదా కేవలం $1,2,3$ మొదలైనవి. సున్నా ఎడమ వైపున ఉన్న బిందువులు ప్రతికూల పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు $-1,-2,-3$ మొదలైనవి గుర్తించబడతాయి.

ఈ రేఖపై -6ని గుర్తించడానికి, మనం సున్నా నుండి 6 బిందువులు ఎడమ వైపుకు కదులుతాము. (Fig 6.1)

సంఖ్యా రేఖపై +2ని గుర్తించడానికి, మనం సున్నా నుండి 2 బిందువులు కుడి వైపుకు కదులుతాము. (Fig 6.2)

6.2.2 పూర్ణ సంఖ్యల క్రమం

రమణ్ మరియు ఇమ్రాన్ ఒక గ్రామంలో నివసిస్తున్నారు, అక్కడ ఒక సోపాన బావి ఉంది. మొత్తం బావి అడుగుకు 25 మెట్లు ఉన్నాయి.

ఇవి చేయండి

సంఖ్యా రేఖపై -3, 7, -4, -8, -1 మరియు -3ను గుర్తించండి.

ఒక రోజు రమణ్ మరియు ఇమ్రాన్ బావికి వెళ్లి నీటి మట్టం వరకు 8 మెట్లు లెక్కించారు. వర్షాల సమయంలో బావిలో ఎంత నీరు వస్తుందో చూడాలని వారు నిర్ణయించుకున్నారు. వారు ప్రస్తుత నీటి మట్టంలో సున్నాను గుర్తించారు మరియు ప్రతి మెట్టు కోసం ఆ మట్టం పైన $1,2,3,4, \ldots$ గుర్తించారు. వర్షాల తర్వాత నీటి మట్టం ఆరవ మెట్టు వరకు పెరిగిందని వారు గమనించారు. కొన్ని నెలల తర్వాత, నీటి మట్టం సున్నా గుర్తు క్రింద మూడు మెట్లు పడిపోయిందని వారు గమనించారు. ఇప్పుడు, వారు నీటి మట్టం పతనాన్ని గుర్తించడానికి మెట్లను గుర్తించడం ప్రారంభించారు. మీరు వారికి సహాయం చేయగలరా?

అకస్మాత్తుగా, రమణ్ ఒక పెద్ద ఆనకట్ట వద్ద సున్నా క్రింద కూడా సంఖ్యలు గుర్తించబడినట్లు గుర్తుచేసుకున్నాడు. ఇమ్రాన్ సున్నా పైన మరియు సున్నా క్రింద ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం చూపించే మార్గం ఉండాలని సూచించాడు. అప్పుడు రమణ్ సున్నా క్రింద ఉన్న సంఖ్యల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉండేదని గుర్తుచేసుకున్నాడు. కాబట్టి వారు సున్నా క్రింద ఒక మెట్టును -1గా మరియు సున్నా క్రింద రెండు మెట్లను -2గా మరియు అలాగే గుర్తించారు.

కాబట్టి ప్రస్తుతం నీటి మట్టం -3 వద్ద ఉంది (సున్నా క్రింద 3 మెట్లు). ఆ తర్వాత మరింత ఉపయోగం కారణంగా, నీటి మట్టం 1 మెట్టు దిగింది మరియు అది -4 వద్ద ఉంది. మీరు చూడగలిగినట్లుగా $-4<-3$.

పై ఉదాహరణను గుర్తుంచుకొని, $>$ మరియు $<$ గుర్తులను ఉపయోగించి పెట్టెలను పూరించండి.

సంఖ్యా రేఖపై సూచించబడిన పూర్ణ సంఖ్యలను మరోసారి గమనించండి.

మనకు తెలుసు $7>4$ మరియు పైన చూపిన సంఖ్యా రేఖ నుండి, 7 అనేది 4 కుడి వైపున ఉందని మనం గమనించాము (Fig 6.3).

అదేవిధంగా, $4>0$ మరియు 4 అనేది 0 కుడి వైపున ఉంది. ఇప్పుడు, 0 అనేది -3 కుడి వైపున ఉన్నందున, $0>-3$. మళ్ళీ, -3 అనేది -8 కుడి వైపున ఉన్నందున, $-3>-8$.

అందువలన, సంఖ్యా రేఖపై కుడి వైపుకు కదులుతున్నప్పుడు సంఖ్య పెరుగుతుందని మరియు ఎడమ వైపుకు కదులుతున్నప్పుడు తగ్గుతుందని మనం చూస్తాము.

కాబట్టి, $-3<-2,-2<-1,-1<0,0<1,1<2,2<3$ మొదలైనవి.

అందువలన, పూర్ణ సంఖ్యల సమూహాన్ని …, $-5,-4,-3,-2,-1$, $0,1,2,3,4,5 \ldots$ గా రాయవచ్చు.

ఇవి చేయండి

$>$ లేదా $<$ ఉపయోగించి కింది సంఖ్యల జతలను పోల్చండి.

${}$ $ \begin{array}{rlrrl} 0 & \square -8 ; & -1 & \square & -15 \\ 5 & \square-5 ; & 11 & \square & 15 \\ 0 & \square \quad 6;& -20 & \square & 2 \end{array} $

పై వ్యాయామం నుండి, రోహిణి కింది తీర్మానాలకు వచ్చింది:

(a) ప్రతి ధన పూర్ణ సంఖ్య ప్రతి ప్రతికూల పూర్ణ సంఖ్య కంటే పెద్దది.

(b) సున్నా ప్రతి ధన పూర్ణ సంఖ్య కంటే చిన్నది.

(c) సున్నా ప్రతి ప్రతికూల పూర్ణ సంఖ్య కంటే పెద్దది.

(d) సున్నా ఒక ప్రతికూల పూర్ణ సంఖ్య కాదు లేదా ధన పూర్ణ సంఖ్య కాదు.

(e) కుడి వైపున సున్నా నుండి ఒక సంఖ్య దూరంగా ఉంటే, దాని విలువ పెద్దది.

(f) ఎడమ వైపున సున్నా నుండి ఒక సంఖ్య దూరంగా ఉంటే, దాని విలువ చిన్నది.

మీరు ఆమెతో ఏకీభవిస్తున్నారా? ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

ఉదాహరణ 1 : సంఖ్యా రేఖను చూసి, కింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి: -8 మరియు -2 మధ్య ఏ పూర్ణ సంఖ్యలు ఉన్నాయి? వాటిలో అతిపెద్ద పూర్ణ సంఖ్య మరియు అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య ఏది?

సాధన : -8 మరియు -2 మధ్య ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలు $-7,-6,-5,-4,-3$. పూర్ణ సంఖ్య -3 అతిపెద్దది మరియు -7 అతిచిన్నది.

నేను సున్నా వద్ద లేకపోతే, నేను కదిలినప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది?

సల్మా మరియు రుచిక ఆడుతున్న మునుపటి ఆటను పరిగణించండి.

రుచిక టోకన్ 2 వద్ద ఉందని అనుకుందాం. తదుపరి వంతులో ఆమె ఎరుపు పాచిక పొందుతుంది, ఇది విసిరిన తర్వాత సంఖ్య 3ని ఇస్తుంది. దీని అర్థం ఆమె 2 కుడి వైపున 3 స్థానాలు కదులుతుంది.

అందువలన, ఆమె 5 వద్దకు వస్తుంది.

మరోవైపు, సల్మా 1 వద్ద ఉంటే, మరియు నీలం పాచికను తీసుకుంటే అది ఆమెకు సంఖ్య 3ని ఇస్తే, అప్పుడు ఆమె ఎడమ వైపున 3 స్థానాలు కదులుతుంది మరియు -2 వద్ద నిలబడుతుంది.

సంఖ్యా రేఖను చూసి, కింది ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వండి:

ఉదాహరణ 2 : (a) ఒక బటన్ -3 వద్ద ఉంచబడింది. -9 వద్దకు చేరుకోవడానికి మనం ఏ దిశలో మరియు ఎన్ని అడుగులు కదలాలి?

(b) -6 కుడి వైపున 4 అడుగులు కదిలితే మనం ఏ సంఖ్యను చేరుకుంటాము?

సాధన : (a) మనం -3 ఎడమ వైపున ఆరు అడుగులు కదలాలి.

(b) -6 కుడి వైపున 4 అడుగులు కదిలినప్పుడు మనం -2 చేరుకుంటాము.

వ్యాయామం 6.1

1. కింది వాటికి వ్యతిరేకాలు రాయండి:

(a) బరువు పెరుగుదల
(b) 30 కి.మీ ఉత్తరం
(c) 80 మీ తూర్పు
(d) రూ. 700 నష్టం
(e) సముద్ర మట్టానికి 100 మీ పైన

2. కింది సంఖ్యలను తగిన గుర్తులతో పూర్ణ సంఖ్యలుగా సూచించండి.

(a) ఒక విమానం నేల నుండి రెండు వేల మీటర్ల ఎత్తులో ఎగురుతోంది.
(b) ఒ