6.1 પ્રસ્તાવના

સુનીતાની માતા પાસે 8 કેળા છે. સુનીતાને તેના મિત્રો સાથે પિકનિક પર જવું છે. તે તેની સાથે 10 કેળા લઈ જવા માંગે છે. શું તેની માતા તેને 10 કેળા આપી શકે? તેની પાસે પૂરતા નથી, તેથી તે પાડોશી પાસેથી પાછા આપવા માટે 2 કેળા ઉધાર લે છે. સુનીતાને 10 કેળા આપ્યા પછી, તેની માતા પાસે કેટલા કેળા બાકી રહે છે? શું આપણે કહી શકીએ કે તેની પાસે શૂન્ય કેળા છે? તેની પાસે કોઈ કેળા નથી, પરંતુ પાડોશીને બે પાછા આપવાના છે. તેથી જ્યારે તેને વધુ કેળા મળશે, ધારો કે 6, ત્યારે તે 2 પાછા આપશે અને માત્ર 4 જ બાકી રહેશે.

રોનાલ્ડ પેન ખરીદવા બજારે જાય છે. તેની પાસે માત્ર ₹ 12 છે પરંતુ પેનની કિંમત ₹ 15 છે. દુકાનદાર તેની પાસેથી ₹ 3 બાકી રકમ તરીકે લખે છે. તે રોનાલ્ડનું દેવું યાદ રાખવા માટે તેની ડાયરીમાં ₹ 3 લખે છે. પરંતુ તે કેવી રીતે યાદ રાખશે કે ₹ 3 આપવાના છે કે રોનાલ્ડ પાસેથી લેવાના છે? શું તે આ દેવું કોઈ રંગ અથવા ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવી શકે?

રુચિકા અને સલમા એક નંબર સ્ટ્રીપનો ઉપયોગ કરીને રમત રમી રહ્યાં છે જે 0 થી 25 સુધી સમાન અંતરે ચિહ્નિત છે.

શરૂઆતમાં, બંનેએ શૂન્ય ચિહ્ન પર એક રંગીન ટોકન મૂક્યું. બે રંગીન પાસા એક થેલીમાં મૂકવામાં આવ્યા છે અને તેમને એક પછી એક બહાર કાઢવામાં આવે છે. જો પાસો લાલ રંગનો હોય, તો આ પાસો ફેંકવાથી બતાવેલ નંબર મુજબ ટોકન આગળ ખસેડવામાં આવે છે. જો તે વાદળી હોય, તો આ પાસો ફેંકવાથી બતાવેલ નંબર મુજબ ટોકન પાછળ ખસેડવામાં આવે છે. દરેક ચાલ પછી પાસાને ફરીથી થેલીમાં મૂકવામાં આવે છે જેથી બંનેને કોઈ પણ પાસો મેળવવાની સમાન તક મળે. જે પહેલા 25મા ચિહ્ન પર પહોંચે છે તે વિજેતા છે. તેઓ રમત રમે છે. રુચિકાને લાલ પાસો મળે છે અને તેને ફેંક્યા પછી પાસા પર ચાર મળે છે. આમ, તે સ્ટ્રીપ પર ચાર નંબરના ચિહ્ન પર ટોકન ખસેડે છે. સલમાને પણ લાલ પાસો કાઢવાનું બને છે અને 3 પોઈન્ટ જીતે છે અને આમ, તે તેનું ટોકન નંબર 3 પર ખસેડે છે.

બીજા પ્રયાસમાં, રુચિકા લાલ પાસાથી ત્રણ પોઈન્ટ મેળવે છે અને સલમાને 4 પોઈન્ટ મેળવે છે પરંતુ વાદળી પાસાથી. તમને શું લાગે છે કે બીજા પ્રયાસ પછી બંનેને તેમનું ટોકન ક્યાં મૂકવું જોઈએ?

રુચિકા આગળ વધે છે અને $4+3$ એટલે કે 7મા ચિહ્ન પર પહોંચે છે.

જ્યારે સલમાએ તેનું ટોકન શૂન્ય સ્થાન પર મૂક્યું. પરંતુ રુચિકાએ વાંધો ઉઠાવ્યો કે તે શૂન્યની પાછળ હોવી જોઈએ. સલમા સહમત થઈ. પરંતુ શૂન્યની પાછળ કંઈ નથી. તેઓ શું કરી શકે?

સલમા અને રુચિકાએ પછી સ્ટ્રીપને બીજી બાજુ વધારી. તેઓએ બીજી બાજુ વાદળી સ્ટ્રીપનો ઉપયોગ કર્યો.

હવે, સલમાએ સૂચવ્યું કે તે શૂન્યની એક ચિહ્ન પાછળ છે, તેથી તેને વાદળી એક તરીકે ચિહ્નિત કરી શકાય. જો ટોકન વાદળી એક પર હોય, તો વાદળી એકની પાછળની સ્થિતિ વાદળી બે છે. તે જ રીતે, વાદળી ત્રણ વાદળી બેની પાછળ છે. આ રીતે તેઓએ પાછળ જવાનું નક્કી કર્યું. બીજા દિવસે રમતા સમયે તેમને વાદળું કાગળ ન મળ્યો, તેથી રુચિકાએ કહ્યું, ચાલો આપણે બીજી બાજુ એક ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીએ કારણ કે આપણે વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધી રહ્યાં છીએ. તેથી તમે જોઈ શકો છો કે શૂન્ય કરતાં ઓછી સંખ્યાઓ માટે જતા સમયે આપણે એક ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. જે ચિહ્નનો ઉપયોગ થાય છે તે સંખ્યા સાથે જોડાયેલ માઈનસ ચિહ્નનું મૂકવું છે. આ સૂચવે છે કે નકારાત્મક ચિહ્નવાળી સંખ્યાઓ શૂન્ય કરતાં ઓછી છે. તેને નકારાત્મક સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.

આ કરો

(કોણ ક્યાં છે?)

ધારો કે ડેવિડ અને મોહન શૂન્ય સ્થાન પરથી વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલવાનું શરૂ કર્યું છે. શૂન્યની જમણી બાજુના પગલાંઓને ’ + ’ ચિહ્ન દ્વારા અને શૂન્યની ડાબી બાજુના પગલાંઓને ‘-’ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવા દો. જો મોહન શૂન્યની જમણી બાજુ 5 પગલાં ચાલે તો તેને +5 તરીકે દર્શાવી શકાય અને જો ડેવિડ શૂન્યની ડાબી બાજુ 5 પગલાં ચાલે તો તેને -5 તરીકે દર્શાવી શકાય. હવે નીચેની સ્થિતિઓને + અથવા - ચિહ્ન સાથે દર્શાવો :

(a) શૂન્યની ડાબી બાજુ 8 પગલાં.
(b) શૂન્યની જમણી બાજુ 7 પગલાં.
(c) શૂન્યની જમણી બાજુ 11 પગલાં.
(d) શૂન્યની ડાબી બાજુ 6 પગલાં.

આ કરો

(મારી પાછળ કોણ આવે છે?)

અગાઉના ઉદાહરણો પરથી આપણે જોયું છે કે જમણી બાજુની ગતિ ત્યારે થાય છે જ્યારે આપણે જે સંખ્યા દ્વારા ખસેડવાના હોઈએ તે ધન હોય. જો માત્ર 1 ની ગતિ કરવામાં આવે તો આપણને તે સંખ્યાનો પછીનો નંબર (સક્સેસર) મળે છે.

નીચેનાના પછીના નંબર લખો :

ડાબી બાજુની ગતિ ત્યારે થાય છે જ્યારે ટોકન જે સંખ્યા દ્વારા ખસેડવાનું હોય તે ઋણ હોય.

જો ડાબી બાજુ માત્ર 1 ની ગતિ કરવામાં આવે, તો આપણને સંખ્યાનો પહેલાનો નંબર (પ્રિડિસેસર) મળે છે.

હવે નીચેનાના પહેલાના નંબર લખો:

6.1.1 મને એક ચિહ્ન સાથે ટૅગ કરો

આપણે જોયું છે કે કેટલીક સંખ્યાઓ માઈનસ ચિહ્ન ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે દુકાનદાર પાસે રોનાલ્ડની બાકી રકમ બતાવવી હોય તો આપણે તેને -3 તરીકે લખીશું.

નીચે દુકાનદારનું એક ખાતું છે જે ચોક્કસ વસ્તુઓની વેચાણમાંથી નફો અને ખોટ બતાવે છે. કારણ કે નફો અને ખોટ વિરુદ્ધ પરિસ્થિતિઓ છે અને જો નફાને ’ + ’ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે, તો ખોટને ‘-’ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવી શકાય.

કેટલીક પરિસ્થિતિઓ જ્યાં આપણે આ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:

સમુદ્ર સપાટીથી ઊંચાઈવાળા સ્થાનની ઊંચાઈ ધન સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જેમ જેમ આપણે નીચે અને નીચે જઈએ છીએ તેમ ઊંચાઈ ઓછી અને ઓછી થતી જાય છે. આમ, સમુદ્ર સપાટીની નીચે આપણે ઊંચાઈને ઋણ સંખ્યા દ્વારા દર્શાવી શકીએ છીએ.

આ પ્રયાસ કરો

નીચેની સંખ્યાઓ યોગ્ય ચિહ્નો સાથે લખો:

(a) સમુદ્ર સપાટીથી $100 m$ નીચે.
(b) $25^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ તાપમાનથી ઉપર.
(c) $15^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ તાપમાનથી નીચે.
(d) 0 કરતાં ઓછી કોઈ પણ પાંચ સંખ્યાઓ.

જો કમાણીને ’ + ’ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે, તો ખર્ચને ‘-’ ચિહ્ન દ્વારા બતાવી શકાય. તે જ રીતે, $0^{\circ} C$ ઉપરના તાપમાનને ’ + ’ ચિહ્ન દ્વારા અને $0^{\circ} C$ નીચેના તાપમાનને ‘-’ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સ્થાનનું તાપમાન $10^{\circ}$ $0^{\circ} C$ નીચે $-10^{\circ} C$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

6.2 પૂર્ણાંકો

પ્રથમ શોધાયેલી સંખ્યાઓ કુદરતી સંખ્યાઓ હતી એટલે કે 1, 2, 3, 4,.. જો આપણે કુદરતી સંખ્યાઓના સંગ્રહમાં શૂન્યને શામેલ કરીએ, તો આપણને સંખ્યાઓનો નવો સંગ્રહ મળે છે જેને પૂર્ણ સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખાય છે એટલે કે $0,1,2,3,4, \ldots$ તમે આ સંખ્યાઓનો અભ્યાસ અગાઉના પ્રકરણમાં કર્યો છે. હવે આપણે જોઈએ છીએ કે ઋણ સંખ્યાઓ પણ છે. જો આપણે પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને ઋણ સંખ્યાઓને એકસાથે મૂકીએ, તો સંખ્યાઓનો નવો સંગ્રહ $0,1,2,3,4,5, \ldots,-1,-2,-3$, $-4,-5, \ldots$ જેવો દેખાશે અને સંખ્યાઓના આ સંગ્રહને પૂર્ણાંકો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ સંગ્રહમાં, $1,2,3, \ldots$ ધન પૂર્ણાંકો કહેવાય છે અને $-1,-2,-3, \ldots$ ઋણ પૂર્ણાંકો કહેવાય છે.

ચાલો આને નીચેની આકૃતિઓ દ્વારા સમજીએ. ધારો કે આકૃતિઓ તેમની વિરુદ્ધ લખેલી સંખ્યાઓના સંગ્રહને દર્શાવે છે.

પછી પૂર્ણાંકોના સંગ્રહને નીચેની આકૃતિ દ્વારા સમજી શકાય છે જેમાં તમામ અગાઉના સંગ્રહો શામેલ છે:

6.2.1 સંખ્યા રેખા પર પૂર્ણાંકોનું નિરૂપણ

એક રેખા દોરો અને તેના પર સમાન અંતરે કેટલાક બિંદુઓ ચિહ્નિત કરો જેમ કે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. તેના પર એક બિંદુને શૂન્ય તરીકે ચિહ્નિત કરો. શૂન્યની જમણી બાજુના બિંદુઓ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $+1,+2,+3$, વગેરે તરીકે અથવા ફક્ત $1,2,3$ વગેરે તરીકે ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે. શૂન્યની ડાબી બાજુના બિંદુઓ ઋણ પૂર્ણાંકો છે અને $-1,-2,-3$ વગેરે તરીકે ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે.

આ રેખા પર -6 ચિહ્નિત કરવા માટે, આપણે શૂન્યની ડાબી બાજુ 6 બિંદુઓ ખસેડીએ છીએ. (આકૃતિ 6.1)

સંખ્યા રેખા પર +2 ચિહ્નિત કરવા માટે, આપણે શૂન્યની જમણી બાજુ 2 બિંદુઓ ખસેડીએ છીએ. (આકૃતિ 6.2)

6.2.2 પૂર્ણાંકોનું ક્રમચય

રમણ અને ઇમરાન એક ગામમાં રહે છે જ્યાં એક પાયરાવાળું કૂવું છે. કૂવાના તળિયે કુલ 25 પગથિયાં છે.

આ પ્રયાસ કરો

સંખ્યા રેખા પર -3, 7, -4, -8, -1 અને -3 ચિહ્નિત કરો.

એક દિવસ રમણ અને ઇમરાન કૂવા પર ગયા અને પાણીની સપાટી સુધી 8 પગથિયાં નીચે ગણ્યા. તેમણે નક્કી કર્યું કે વરસાદ દરમિયાન કૂવામાં કેટલું પાણી આવશે તે જોવું. તેમણે પાણીની હાલની સપાટી પર શૂન્ય ચિહ્નિત કર્યું અને દરેક પગથિયાં માટે તે સપાટી ઉપર $1,2,3,4, \ldots$ ચિહ્નિત કર્યું. વરસાદ પછી તેમણે નોંધ્યું કે પાણીની સપાટી છઠ્ઠા પગથિયાં સુધી વધી ગઈ. થોડા મહિના પછી, તેમણે નોંધ્યું કે પાણીની સપાટી શૂન્ય ચિહ્નથી ત્રણ પગથિયાં નીચે આવી ગઈ હતી. હવે, તેમણે પાણીની સપાટીના ઘટાડાની નોંધ કરવા માટે પગથિયાં ચિહ્નિત કરવાનું શરૂ કર્યું. શું તમે તેમની મદદ કરી શકો છો?

અચાનક, રમણને યાદ આવ્યું કે એક મોટા ડેમ પર તેને શૂન્યથી નીચે પણ સંખ્યાઓ ચિહ્નિત જોઈ. ઇમરાને સૂચવ્યું કે શૂન્યથી ઉપરની અને શૂન્યથી નીચેની સંખ્યાઓ વચ્ચે તફાવત કરવાનો કોઈ માર્ગ હોવો જોઈએ. પછી રમણને યાદ આવ્યું કે જે સંખ્યાઓ શૂન્યથી નીચે હતી તેમની આગળ માઈનસ ચિહ્ન હતું. તેથી તેમણે શૂન્યથી એક પગથિયું નીચે -1 તરીકે અને શૂન્યથી બે પગથિયાં નીચે -2 તરીકે ચિહ્નિત કર્યું અને આમ જ.

તેથી પાણીની સપાટી હવે -3 પર છે (શૂન્યથી 3 પગથિયાં નીચે). તે પછી વધુ ઉપયોગને કારણે, પાણીની સપાટી 1 પગથિયું નીચે ગઈ અને તે -4 પર હતી. તમે જોઈ શકો છો કે $-4<-3$.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણ ધ્યાનમાં રાખીને, $>$ અને $<$ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને બોક્સ ભરો.

ચાલો ફરી એકવાર સંખ્યા રેખા પર દર્શાવેલ પૂર્ણાંકો જોઈએ.

આપણે જાણીએ છીએ કે $7>4$ અને ઉપર બતાવેલ સંખ્યા રેખામાંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે 7 એ 4 ની જમણી બાજુએ છે (આકૃતિ 6.3).

તે જ રીતે, $4>0$ અને 4 એ 0 ની જમણી બાજુએ છે. હવે, કારણ કે 0 એ -3 ની જમણી બાજુએ છે, તેથી $0>-3$. ફરીથી, -3 એ -8 ની જમણી બાજુએ છે, તેથી $-3>-8$.

આમ, આપણે જોઈએ છીએ કે સંખ્યા રેખા પર જમણી બાજુ જતા સંખ્યા વધે છે અને ડાબી બાજુ જતા ઘટે છે.

તેથી, $-3<-2,-2<-1,-1<0,0<1,1<2,2<3$ વગેરે.

આથી, પૂર્ણાંકોના સંગ્રહને …, $-5,-4,-3,-2,-1$, $0,1,2,3,4,5 \ldots$ તરીકે લખી શકાય.

આ પ્રયાસ કરો

$>$ અથવા $<$ નો ઉપયોગ કરીને નીચેની સંખ્યાઓની જોડીની તુલના કરો.

${}$ $ \begin{array}{rlrrl} 0 & \square -8 ; & -1 & \square & -15 \\ 5 & \square-5 ; & 11 & \square & 15 \\ 0 & \square \quad 6;& -20 & \square & 2 \end{array} $

ઉપરોક્ત કસરત પરથી, રોહિણી નીચેના નિષ્કર્ષ પર આવી:

(a) દરેક ધન પૂર્ણાંક દરેક ઋણ પૂર્ણાંક કરતાં મોટો છે.

(b) શૂન્ય દરેક ધન પૂર્ણાંક કરતાં ઓછો છે.

(c) શૂન્ય દરેક ઋણ પૂર્ણાંક કરતાં મોટો છે.

(d) શૂન્ય ન તો ઋણ પૂર્ણાંક છે અને ન તો ધન પૂર્ણાંક છે.

(e) જમણી બાજુ શૂન્યથી સંખ્યા જેટલી દૂર, તેનું મૂલ્ય તેટલું મોટું.

(f) ડાબી બાજુ શૂન્યથી સંખ્યા જેટલી દૂર, તેનું મૂલ્ય તેટલું નાનું.

શું તમે તેની સાથે સહમત છો? ઉદાહરણો આપો.

ઉદાહરણ 1 : સંખ્યા રેખા જોઈને, નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો: -8 અને -2 વચ્ચે કયા પૂર્ણાંકો આવેલા છે? તેમાંથી સૌથી મોટો પૂર્ણાંક અને સૌથી નાનો પૂર્ણાંક કયો છે?

ઉકેલ : -8 અને -2 વચ્ચેના પૂર્ણાંકો $-7,-6,-5,-4,-3$ છે. પૂર્ણાંક -3 સૌથી મોટો છે અને -7 સૌથી નાનો છે.

જો, હું શૂન્ય પર ન હોઉં તો જ્યારે હું ખસું ત્યારે શું થાય?

ચાલો સલમા અને રુચિકા દ્વારા રમાતી અગાઉની રમત ધ્યાનમાં લઈએ.

ધારો કે રુચિકાનું ટોકન 2 પર છે. આગલા વખતે તેને લાલ પાસો મળે છે જે ફેંક્યા પછી નંબર 3 આપે છે. તેનો અર્થ છે કે તે 2 ની જમણી બાજુ 3 સ્થાનો ખસેડશે.

આમ, તે 5 પર આવે છે.

જો બીજી બાજુ, સલમા 1 પર હતી, અને તેને વાદળી પાસો મળ્યો જેણે તેને નંબર 3 આપ્યો, તો તેનો અર્થ છે કે તે ડાબી બાજુ 3 સ્થાનો ખસેડશે અને -2 પર ઊભી રહેશે.

સંખ્યા રેખા જોઈને, નીચેના પ્રશ્નનો જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 2 : (a) એક બટન -3 પર રાખવામાં આવ્યું છે. -9 પર પહોંચવા માટે આપણે કઈ દિશામાં અને કેટલા પગલાં ખસેડવા જોઈએ?

(b) જો આપણે -6 ની જમણી બાજુ 4 પગલાં ખસીએ તો આપણે કઈ સંખ્યા પર પહોંચીશું.

ઉકેલ : (a) આપણે -3 ની ડાબી બાજુ છ પગલાં ખસેડવા પડશે.

(b) જ્યારે આપણે -6 ની જમણી બાજુ 4 પગલાં ખસીએ છીએ ત્યારે આપણે -2 પર પહોંચીએ છીએ.

કસરત