6.1 परिचय

सुनीता की माँ के पास 8 केले हैं। सुनीता को अपने दोस्तों के साथ पिकनिक पर जाना है। वह अपने साथ 10 केले ले जाना चाहती है। क्या उसकी माँ उसे 10 केले दे सकती हैं? उसके पास पर्याप्त नहीं हैं, इसलिए वह बाद में लौटाने के लिए अपने पड़ोसी से 2 केले उधार लेती है। सुनीता को 10 केले देने के बाद, उसकी माँ के पास कितने केले बचे हैं? क्या हम कह सकते हैं कि उसके पास शून्य केले हैं? उसके पास कोई केला नहीं है, लेकिन उसे पड़ोसी को दो लौटाने हैं। इसलिए जब उसे कुछ और केले मिलेंगे, मान लीजिए 6, तो वह 2 लौटा देगी और उसके पास केवल 4 ही बचेंगे।

रोनाल्ड एक पेन खरीदने के लिए बाजार जाता है। उसके पास केवल ₹ 12 हैं लेकिन पेन की कीमत ₹ 15 है। दुकानदार उससे ₹ 3 बकाया राशि के रूप में लिखता है। वह रोनाल्ड का डेबिट याद रखने के लिए अपनी डायरी में ₹ 3 लिखता है। लेकिन वह कैसे याद रखेगा कि ₹ 3 देना है या रोनाल्ड से लेना है? क्या वह इस डेबिट को किसी रंग या चिन्ह से व्यक्त कर सकता है?

रुचिका और सलमा एक संख्या पट्टी का उपयोग करके एक खेल खेल रही हैं जो 0 से 25 तक समान अंतराल पर अंकित है।

शुरुआत में, दोनों ने शून्य चिह्न पर एक रंगीन टोकन रखा। एक थैले में दो रंगीन पासे रखे गए हैं और उन्हें एक-एक करके निकाला जाता है। यदि पासा लाल रंग का है, तो इस पासे को फेंकने पर दिखाई गई संख्या के अनुसार टोकन को आगे बढ़ाया जाता है। यदि यह नीला है, तो इस पासे को फेंकने पर दिखाई गई संख्या के अनुसार टोकन को पीछे की ओर ले जाया जाता है। प्रत्येक चाल के बाद पासों को वापस थैले में डाल दिया जाता है ताकि दोनों को किसी भी पासे को पाने का समान मौका मिले। जो पहले 25वें चिह्न पर पहुँचता है वह विजेता होता है। वे खेल खेलते हैं। रुचिका को लाल पासा मिलता है और उसे फेंकने के बाद पासे पर चार आता है। इस प्रकार, वह टोकन को पट्टी पर चार चिह्न पर ले जाती है। सलमा को भी लाल पासा निकलता है और उसे 3 अंक मिलते हैं और इस प्रकार, वह अपना टोकन संख्या 3 पर ले जाती है।

दूसरे प्रयास में, रुचिका लाल पासे से 3 अंक प्राप्त करती है और सलमा को 4 अंक मिलते हैं लेकिन नीले पासे से। आपके विचार में दूसरे प्रयास के बाद दोनों को अपना टोकन कहाँ रखना चाहिए?

रुचिका आगे बढ़ती है और $4+3$ अर्थात् 7वें चिह्न पर पहुँचती है।

जबकि सलमा ने अपना टोकन शून्य स्थिति पर रखा। लेकिन रुचिका ने आपत्ति जताई कि उसे शून्य से पीछे होना चाहिए। सलमा सहमत हो गई। लेकिन शून्य के पीछे कुछ नहीं है। वे क्या कर सकती हैं?

सलमा और रुचिका ने तब पट्टी को दूसरी ओर बढ़ाया। उन्होंने दूसरी ओर एक नीली पट्टी का उपयोग किया।

अब, सलमा ने सुझाव दिया कि वह शून्य से एक चिह्न पीछे है, इसलिए इसे नीला एक के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। यदि टोकन नीले एक पर है, तो नीले एक के पीछे की स्थिति नीला दो है। इसी तरह, नीला तीन नीले दो के पीछे है। इस तरह उन्होंने पीछे की ओर बढ़ने का फैसला किया। एक और दिन खेलते समय उन्हें नीला कागज नहीं मिला, तो रुचिका ने कहा, चलो हम दूसरी ओर एक चिन्ह का उपयोग करते हैं क्योंकि हम विपरीत दिशा में बढ़ रहे हैं। तो आप देखते हैं कि हमें शून्य से कम संख्याओं के लिए एक चिन्ह का उपयोग करने की आवश्यकता है। जो चिन्ह प्रयोग किया जाता है वह संख्या के साथ जुड़े ऋण चिन्ह का स्थान है। यह इंगित करता है कि ऋणात्मक चिन्ह वाली संख्याएँ शून्य से कम हैं। इन्हें ऋणात्मक संख्याएँ कहा जाता है।

यह करो

(कौन कहाँ है?)

मान लीजिए डेविड और मोहन शून्य स्थिति से विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं। मान लीजिए शून्य के दायीं ओर के कदमों को ’ + ’ चिन्ह से और शून्य के बायीं ओर के कदमों को ‘-’ चिन्ह से दर्शाया जाता है। यदि मोहन शून्य के दायीं ओर 5 कदम चलता है तो इसे +5 के रूप में दर्शाया जा सकता है और यदि डेविड शून्य के बायीं ओर 5 कदम चलता है तो इसे -5 के रूप में दर्शाया जा सकता है। अब निम्नलिखित स्थितियों को + या - चिन्ह से दर्शाइए :

(a) शून्य के बायीं ओर 8 कदम।
(b) शून्य के दायीं ओर 7 कदम।
(c) शून्य के दायीं ओर 11 कदम।
(d) शून्य के बायीं ओर 6 कदम।

यह करो

(मेरे पीछे कौन आता है?)

हमने पिछले उदाहरणों से देखा है कि दायीं ओर गति तब की जाती है जब वह संख्या जिससे हमें चलना है धनात्मक हो। यदि केवल 1 की गति की जाती है तो हमें संख्या का उत्तरवर्ती (सक्सेसर) प्राप्त होता है।

निम्नलिखित के उत्तरवर्ती संख्या लिखिए :

बायीं ओर गति तब की जाती है जब वह संख्या जिससे टोकन को चलना है ऋणात्मक हो।

यदि बायीं ओर केवल 1 की गति की जाती है, तो हमें एक संख्या का पूर्ववर्ती (प्रीडिसेसर) प्राप्त होता है।

अब निम्नलिखित के पूर्ववर्ती संख्या लिखिए:

6.1.1 मुझे एक चिन्ह से टैग करो

हमने देखा है कि कुछ संख्याएँ एक ऋण चिन्ह धारण करती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम दुकानदार को रोनाल्ड की बकाया राशि दिखाना चाहते हैं तो हम इसे -3 के रूप में लिखेंगे।

निम्नलिखित एक दुकानदार का लेखा है जो कुछ वस्तुओं की बिक्री से लाभ और हानि दर्शाता है। चूँकि लाभ और हानि विपरीत स्थितियाँ हैं और यदि लाभ को ’ + ’ चिन्ह से दर्शाया जाता है, तो हानि को ‘-’ चिन्ह से दर्शाया जा सकता है।

कुछ ऐसी स्थितियाँ जहाँ हम इन चिन्हों का उपयोग कर सकते हैं :

समुद्र तल से ऊपर किसी स्थान की ऊँचाई एक धनात्मक संख्या से निरूपित की जाती है। जैसे-जैसे हम नीचे और नीचे जाते हैं, ऊँचाई कम और कम होती जाती है। इस प्रकार, समुद्र तल की सतह के नीचे हम ऊँचाई को एक ऋणात्मक संख्या से निरूपित कर सकते हैं।

ये कीजिए

निम्नलिखित संख्याएँ उपयुक्त चिन्हों के साथ लिखिए:

(a) समुद्र तल से $100 m$ नीचे।
(b) $25^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ तापमान से ऊपर।
(c) $15^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ तापमान से नीचे।
(d) 0 से कम कोई पाँच संख्याएँ।

यदि आय को ’ + ’ चिन्ह से निरूपित किया जाता है, तो व्यय को ‘-’ चिन्ह से दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार, $0^{\circ} C$ से ऊपर के तापमान को ’ + ’ चिन्ह से और $0^{\circ} C$ से नीचे के तापमान को ‘-’ चिन्ह से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी स्थान का तापमान $10^{\circ}$ $0^{\circ} C$ से नीचे $-10^{\circ} C$ के रूप में लिखा जाता है।

6.2 पूर्णांक

सबसे पहली खोजी गई संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ थीं अर्थात् 1, 2, 3, 4,.. यदि हम प्राकृत संख्याओं के संग्रह में शून्य को शामिल करते हैं, तो हमें संख्याओं का एक नया संग्रह प्राप्त होता है जिसे पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है अर्थात् $0,1,2,3,4, \ldots$ आपने इन संख्याओं का अध्ययन पिछले अध्याय में किया है। अब हम पाते हैं कि ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं। यदि हम पूर्ण संख्याओं और ऋणात्मक संख्याओं को एक साथ रखते हैं, तो संख्याओं का नया संग्रह $0,1,2,3,4,5, \ldots,-1,-2,-3$, $-4,-5, \ldots$ जैसा दिखेगा और संख्याओं के इस संग्रह को पूर्णांक कहा जाता है। इस संग्रह में, $1,2,3, \ldots$ धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं और $-1,-2,-3, \ldots$ ऋणात्मक पूर्णांक कहलाते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित आकृतियों द्वारा समझते हैं। मान लीजिए कि आकृतियाँ उनके विरुद्ध लिखी गई संख्याओं के संग्रह को निरूपित करती हैं।

तब पूर्णांकों के संग्रह को निम्नलिखित आरेख द्वारा समझा जा सकता है जिसमें सभी पूर्व संग्रह शामिल हैं:

6.2.1 संख्या रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण

एक रेखा खींचिए और उस पर समान दूरी पर कुछ बिंदु अंकित कीजिए जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। उस पर एक बिंदु को शून्य के रूप में चिह्नित कीजिए। शून्य के दायीं ओर के बिंदु धनात्मक पूर्णांक हैं और $+1,+2,+3$, आदि या केवल $1,2,3$ आदि के रूप में चिह्नित हैं। शून्य के बायीं ओर के बिंदु ऋणात्मक पूर्णांक हैं और $-1,-2,-3$ आदि के रूप में चिह्नित हैं।

इस रेखा पर -6 अंकित करने के लिए, हम शून्य से 6 बिंदु बायीं ओर चलते हैं। (चित्र 6.1)

संख्या रेखा पर +2 अंकित करने के लिए, हम शून्य से 2 बिंदु दायीं ओर चलते हैं। (चित्र 6.2)

6.2.2 पूर्णांकों का क्रमण

रमन और इमरान एक गाँव में रहते हैं जहाँ एक बावड़ी है। कुएँ के तल तक कुल 25 सीढ़ियाँ हैं।

ये कीजिए

संख्या रेखा पर -3, 7, -4, -8, -1 और -3 अंकित कीजिए।

एक दिन रमन और इमरान कुएँ पर गए और पानी के स्तर तक 8 सीढ़ियाँ नीचे गिनीं। उन्होंने यह देखने का फैसला किया कि बारिश के दौरान कुएँ में कितना पानी आएगा। उन्होंने पानी के मौजूदा स्तर पर शून्य चिह्नित किया और प्रत्येक सीढ़ी के लिए उस स्तर से ऊपर $1,2,3,4, \ldots$ चिह्नित किया। बारिश के बाद उन्होंने नोट किया कि पानी का स्तर छठी सीढ़ी तक बढ़ गया। कुछ महीनों के बाद, उन्होंने देखा कि पानी का स्तर शून्य चिह्न से तीन सीढ़ियाँ नीचे गिर गया था। अब, उन्होंने पानी के स्तर के गिरने को नोट करने के लिए सीढ़ियों को चिह्नित करने के बारे में सोचना शुरू किया। क्या आप उनकी मदद कर सकते हैं?

अचानक, रमन को याद आया कि एक बड़े बाँध पर उसने शून्य से भी नीचे संख्याएँ अंकित देखी थीं। इमरान ने इशारा किया कि शून्य से ऊपर और शून्य से नीचे की संख्याओं के बीच अंतर करने का कोई तरीका होना चाहिए। तब रमन को याद आया कि जो संख्याएँ शून्य से नीचे थीं उनके सामने ऋण चिन्ह था। इसलिए उन्होंने शून्य से एक सीढ़ी नीचे को -1 और शून्य से दो सीढ़ी नीचे को -2 के रूप में चिह्नित किया और इसी तरह आगे।

तो पानी का स्तर अब -3 (शून्य से 3 सीढ़ी नीचे) पर है। उसके बाद और उपयोग के कारण, पानी का स्तर 1 सीढ़ी नीचे चला गया और यह -4 पर था। आप देख सकते हैं कि $-4<-3$।

उपरोक्त उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, $>$ और $<$ चिन्हों का उपयोग करके बक्सों को भरिए।

आइए एक बार फिर उन पूर्णांकों को देखें जो संख्या रेखा पर निरूपित हैं।

हम जानते हैं कि $7>4$ और ऊपर दिखाई गई संख्या रेखा से, हम देखते हैं कि 7, 4 के दायीं ओर है (चित्र 6.3)।

इसी प्रकार, $4>0$ और 4, 0 के दायीं ओर है। अब, चूँकि 0, -3 के दायीं ओर है, इसलिए $0>-3$। पुनः, -3, -8 के दायीं ओर है, इसलिए $-3>-8$।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि संख्या रेखा पर संख्या बढ़ती है जैसे हम दायीं ओर बढ़ते हैं और घटती है जैसे हम बायीं ओर बढ़ते हैं।

इसलिए, $-3<-2,-2<-1,-1<0,0<1,1<2,2<3$ इत्यादि।

अतः, पूर्णांकों के संग्रह को …, $-5,-4,-3,-2,-1$, $0,1,2,3,4,5 \ldots$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ये कीजिए

$>$ या $<$ का उपयोग करके संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों की तुलना कीजिए।

${}$ $ \begin{array}{rlrrl} 0 & \square -8 ; & -1 & \square & -15 \\ 5 & \square-5 ; & 11 & \square & 15 \\ 0 & \square \quad 6;& -20 & \square & 2 \end{array} $

उपरोक्त अभ्यास से, रोहिनी निम्नलिखित निष्कर्षों पर पहुँची:

(a) प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है।

(b) शून्य प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक से छोटा होता है।

(c) शून्य प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है।

(d) शून्य न तो एक ऋणात्मक पूर्णांक है और न ही एक धनात्मक पूर्णांक।

(e) दायीं ओर शून्य से संख्या जितनी दूर होती है, उसका मान उतना ही बड़ा होता है।

(f) बायीं ओर शून्य से संख्या जितनी दूर होती है, उसका मान उतना ही छोटा होता है।

क्या आप उससे सहमत हैं? उदाहरण दीजिए।

उदाहरण 1 : संख्या रेखा को देखकर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए: -8 और -2 के बीच कौन से पूर्णांक स्थित हैं? उनमें सबसे बड़ा पूर्णांक और सबसे छोटा पूर्णांक कौन सा है?

हल : -8 और -2 के बीच के पूर्णांक $-7,-6,-5,-4,-3$ हैं। पूर्णांक -3 सबसे बड़ा है और -7 सबसे छोटा है।

यदि, मैं शून्य पर नहीं हूँ तो क्या होता है जब मैं चलता हूँ?

आइए सलमा और रुचिका द्वारा खेले जा रहे पिछले खेल पर विचार करें।

मान लीजिए रुचिका का टोकन 2 पर है। अगले मोड़ पर उसे एक लाल पासा मिलता है जिसे फेंकने के बाद संख्या 3 आती है। इसका मतलब है कि वह 2 के दायीं ओर 3 स्थान चलेगी।

इस प्रकार, वह 5 पर आती है।

यदि दूसरी ओर, सलमा 1 पर थी, और उसने एक नीला पासा निकाला जिसने उसे संख्या 3 दी, तो इसका मतलब है कि वह बायीं ओर 3 स्थान चलेगी और -2 पर खड़ी होगी।

संख्या रेखा को देखकर, निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दीजिए:

उदाहरण 2 : (a) एक बटन -3 पर रखा गया है। -9 पर पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में और कितने कदम चलने चाहिए?

(b) यदि हम -6 के दायीं ओर 4 कदम चलते हैं तो हम किस संख्या पर पहुँचेंगे?

हल : (a) हमें -3 से छह कदम बायीं ओर चलना होगा।

(b) जब हम -6 के दायीं ओर 4 कदम चलते हैं तो हम -2 पर पहुँचते हैं।

प्रश्नावली 6.1

1. निम्नलिखित के विपरीत लिखिए:

(a) वजन में वृद्धि
(b) 30 किमी उत्तर
(c) 80 मी पूर्व
(d) ₹ 700 की हानि
(e) समुद्र तल से 100 मी ऊपर

2. उपयुक्त चिन्हों के साथ निम्नलिखित संख्याओं को पूर्णांकों के रूप में निरूपित कीजिए।

(a) एक हवाई जहाज जमीन से दो हजार मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है।
(b) एक पनडुब्बी समुद्र तल से आठ सौ मीटर की गहराई पर चल रही है।
(c) दो सौ रुपये की जमा राशि।
(d) सात सौ रुपये की निकासी।

3. निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:

(a) +5
(b) -10
(c) +8
(d) -1
(e) -6

4. नीचे दी गई आकृति एक ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा है, जो पूर्णांकों को निरूपित करती है। इसे देखिए और निम्नलिखित बिंदुओं का स्थान ज्ञात कीजिए:

(a) यदि बिंदु $D$ +8 है, तो कौन सा बिंदु -8 है?
(b) क्या बिंदु $G$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है या धनात्मक पूर्णांक?
(c) बिंदु B और E के लिए पूर्णांक लिखिए।
(d) इस संख्या रेखा पर अंकित किस बिंदु का मान न्यूनतम है?
(e) सभी बिंदुओं को मान के अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

5. निम्नलिखित भारत के पाँच स्थानों के एक वर्ष के एक विशेष दिन के तापमानों की सूची है।

(a) इन स्थानों के तापमानों को रिक्त स्तंभ में पूर्णांकों के रूप में लिखिए।
(b) निम्नलिखित संख्या रेखा डिग्री सेल्सियस में तापमान को निरूपित कर रही है। तापमान के विरुद्ध शहर का नाम आलेखित कीजिए।

(c) सबसे ठंडा स्थान कौन सा है?
(d) उन स्थानों के नाम लिखिए जहाँ तापमान $10^{\circ} C$ से ऊपर हैं।

6. निम्नलिखित में से प्रत्येक युग्म में, संख्या रेखा पर कौन सी संख्या दूसरी के दायीं ओर है?

(a) 2,9
(b) -3,-8
(c) 0,-1
(d) -11,10
(e) -6,6
(f) 1,-100

7. दिए गए युग्मों के बीच के सभी पूर्णांक लिखिए (उन्हें बढ़ते क्रम में लिखिए)।

(a) 0 और -7
(b) -4 और 4
(c) -8 और -15
(d) -30 और -23

8. (a) -20 से बड़े चार ऋणात्मक पूर्णांक लिखिए।

(b) -10 से छोटे चार पूर्णांक लिखिए।

9. निम्नलिखित कथनों के लिए, सही (T) या गलत (F) लिखिए। यदि कथन गलत है, तो कथन को सही कीजिए।

(a) संख्या रेखा पर -8, -10 के दायीं ओर है।
(b) संख्या रेखा पर -100, -50 के दायीं ओर है।
(c) सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक -1 है।
(d) -26, -25 से बड़ा है।

10. एक संख्या रेखा खींचिए और निम्नलिखित के उत्तर दीजिए:

(a) यदि हम -2 के दायीं ओर 4 संख्याएँ चलते हैं तो हम किस संख्या पर पहुँचेंगे।
(b) यदि हम 1 के बायीं ओर 5 संख्याएँ चलते हैं तो हम किस संख्या पर पहुँचेंगे।
(c) यदि हम संख्या रेखा पर -8 पर हैं, तो -13 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में चलना चाहिए?
(d) यदि हम संख्या रेखा पर -6 पर हैं, तो -1 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में चलना चाहिए?

6.3 पूर्णांकों का योग

यह करो

(ऊपर और नीचे जाना)

मोहन के घर में, छत पर जाने के लिए और गोदाम में नीचे जाने के लिए सीढ़ियाँ हैं।

आइए छत पर जाने वाली सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक, गोदाम में नीचे जाने वाली सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक और भूतल के स्तर को निरूपित करने वाली संख्या को शून्य मान लें।

निम्नलिखित कीजिए और उत्तर को पूर्णांक के रूप में लिखिए:

(a) भूतल से 6 सीढ़ियाँ ऊपर जाइए।
(b) भूतल से 4 सीढ़ियाँ नीचे जाइए।
(c) भूतल से 5 सीढ़ियाँ ऊपर जाइए और फिर वहाँ से 3 सीढ़ियाँ और ऊपर जाइए।
(d) भूतल से 6 सीढ़ियाँ नीचे जाइए और फिर वहाँ से 2 सीढ़ियाँ और नीचे जाइए।
(e) भूतल से 5 सीढ़ियाँ नीचे जाइए और फिर वहाँ से 12 सीढ़ियाँ ऊपर जाइए।
(f) भूतल से 8 सीढ़ियाँ नीचे जाइए और फिर वहाँ से 5 सीढ़ियाँ ऊपर जाइए।
(g) भूतल से 7 सीढ़ियाँ ऊपर जाइए और फिर वहाँ से 10 सीढ़ियाँ नीचे जाइए।

अमीना ने उन्हें इस प्रकार लिखा:

(a) $+6$
(b) $-4$
(c) $(+5)+(+3)=+8$
(d) $(-6)+(-2)=-4$
(e) $(-5)+(+12)=+7$
(f) $(-8)+(+5)=-3$
(g)