6.1 प्रस्तावना

सुनीताच्या आईकडे 8 केळी आहेत. सुनीताला तिच्या मैत्रिणींसोबत पिकनिकला जायचे आहे. तिला स्वतःसोबत 10 केळी नेण्याची इच्छा आहे. तिची आई तिला 10 केळी देऊ शकेल का? तिच्याकडे पुरेशी केळी नाहीत, म्हणून ती नंतर परत करण्याच्या अटीवर शेजाऱ्याकडून 2 केळी उसने घेते. सुनीताला 10 केळी दिल्यानंतर, तिच्या आईकडे किती केळी शिल्लक राहतील? आपण असे म्हणू शकतो की तिच्याकडे शून्य केळी आहेत का? तिच्याकडे कोणतीही केळी नाहीत, पण शेजाऱ्याला दोन परत करायची आहेत. म्हणून जेव्हा तिला आणखी काही केळी मिळतील, समजा 6, तेव्हा ती 2 परत करेल आणि फक्त 4 शिल्लक राहतील.

रॉनल्ड पेन खरेदी करण्यासाठी बाजारात जातो. त्याच्याकडे फक्त ₹ 12 आहेत पण पेनची किंमत ₹ 15 आहे. दुकानदार त्याच्याकडून देय रक्कम म्हणून ₹ 3 लिहितो. तो रॉनल्डचे डेबिट लक्षात ठेवण्यासाठी त्याच्या डायरीमध्ये ₹ 3 लिहितो. पण ₹ 3 द्यायचे आहे की रॉनल्डकडून घ्यायचे आहे हे त्याला कसे लक्षात ठेवता येईल? तो हे डेबिट काही रंग किंवा चिन्हाने व्यक्त करू शकेल का?

रुचिका आणि सलमा एका संख्या पट्टीचा वापर करून खेळत आहेत जी 0 ते 25 पर्यंत समान अंतरावर चिन्हांकित केलेली आहे.

सुरुवातीला, दोघींनीही शून्य चिन्हावर एक रंगीत टोकन ठेवले. दोन रंगीत फासे एका पिशवीत ठेवले आहेत आणि ते एक एक करून त्यांनी बाहेर काढले. जर फासा लाल रंगाचा असेल, तर हा फासा टाकल्यावर दर्शविलेल्या संख्येनुसार टोकन पुढे हलवले जाते. जर तो निळा असेल, तर हा फासा टाकल्यावर दर्शविलेल्या संख्येनुसार टोकन मागे हलवले जाते. प्रत्येक हालचालीनंतर फासे पुन्हा पिशवीत ठेवले जातात जेणेकरून दोघांनाही कोणताही फासा मिळण्याची समान संधी मिळेल. जी प्रथम 25 व्या चिन्हावर पोहोचेल ती विजेती आहे. त्या खेळ खेळतात. रुचिकाला लाल फासा मिळतो आणि तो टाकल्यानंतर फाशावर चार येतो. तिने अशा प्रकारे टोकन पट्टीवरील चार चिन्हावर हलवले. सलमाही लाल फासा काढते आणि 3 गुण मिळवते आणि अशा प्रकारे तिचे टोकन क्रमांक 3 वर हलवते.

दुसऱ्या प्रयत्नात, रुचिका लाल फाशासह 3 गुण मिळवते आणि सलमाला 4 गुण मिळतात पण निळ्या फाशासह. दुसऱ्या प्रयत्नानंतर त्या दोघींनी आपले टोकन कोठे ठेवावे असे तुम्हाला वाटते?

रुचिका पुढे सरकते आणि $4+3$ म्हणजेच 7 व्या चिन्हावर पोहोचते.

तर सलमाने तिचे टोकन शून्य स्थानावर ठेवले. पण रुचिकेने आक्षेप घेतला की तिला शून्याच्या मागे असावे. सलमा सहमत झाली. पण शून्याच्या मागे काहीही नाही. ते काय करू शकतात?

सलमा आणि रुचिकांनी नंतर पट्टी दुसऱ्या बाजूने वाढवली. त्यांनी दुसऱ्या बाजूस निळी पट्टी वापरली.

आता, सलमाने सुचवले की ती शून्याच्या एक चिन्ह मागे आहे, म्हणून ते निळे एक असे चिन्हांकित केले जाऊ शकते. जर टोकन निळ्या एकावर असेल, तर निळ्या एकाच्या मागे असलेली स्थिती निळी दोन आहे. त्याचप्रमाणे, निळी तीन ही निळ्या दोनच्या मागे आहे. अशा प्रकारे त्यांनी मागे जाण्याचा निर्णय घेतला. दुसऱ्या दिवशी खेळताना त्यांना निळा कागद सापडला नाही, म्हणून रुचिकेने सुचवले, आपण विरुद्ध दिशेने जात असल्याने दुसऱ्या बाजूस एक चिन्ह वापरूया. म्हणून तुम्ही पाहता की शून्यापेक्षा कमी संख्यांसाठी आपल्याला चिन्ह वापरण्याची गरज आहे. वापरलेले चिन्ह म्हणजे संख्येशी जोडलेले वजा चिन्हाचे ठेवणे. हे दर्शवते की ऋण चिन्ह असलेल्या संख्या शून्यापेक्षा कमी आहेत. यांना ऋण संख्या म्हणतात.

हे करा

(कोण कोठे आहे?)

समजा डेव्हिड आणि मोहन शून्य स्थानापासून विरुद्ध दिशेने चालायला सुरुवात केली आहे. शून्याच्या उजवीकडील पावलांना ’ + ’ चिन्हाने आणि शून्याच्या डावीकडील पावलांना ‘-’ चिन्हाने दर्शवू. जर मोहन शून्याच्या उजवीकडे 5 पावले हलवतो तर ते +5 असे दर्शविले जाऊ शकते आणि जर डेव्हिड शून्याच्या डावीकडे 5 पावले हलवतो तर ते -5 असे दर्शविले जाऊ शकते. आता खालील स्थाने + किंवा - चिन्हाने दर्शवा :

(a) शून्याच्या डावीकडे 8 पावले.
(b) शून्याच्या उजवीकडे 7 पावले.
(c) शून्याच्या उजवीकडे 11 पावले.
(d) शून्याच्या डावीकडे 6 पावले.

हे करा

(माझे अनुसरण कोण करते?)

आपण मागील उदाहरणांवरून पाहिले आहे की जर आपल्याला हलवायची संख्या धन असेल तर उजवीकडे हालचाल केली जाते. जर फक्त 1 ची हालचाल केली तर आपल्याला त्या संख्येचा उत्तराधिकारी मिळतो.

खालील संख्यांचा उत्तराधिकारी लिहा :

जर टोकन हलवायची संख्या ऋण असेल तर डावीकडे हालचाल केली जाते.

जर फक्त 1 ची हालचाल डावीकडे केली तर आपल्याला संख्येचा पूर्वाधिकारी मिळतो.

आता खालील संख्यांचा पूर्वाधिकारी लिहा:

6.1.1 मला चिन्हासह टॅग करा

आपण पाहिले आहे की काही संख्या वजा चिन्ह बाळगतात. उदाहरणार्थ, जर आपल्याला दुकानदारासमोर रॉनल्डची देय रक्कम दर्शवायची असेल तर आपण ती -3 असे लिहू.

खाली एका दुकानदाराचे हिशोब आहे जो काही वस्तूंच्या विक्रीतून नफा आणि तोटा दर्शवितो. नफा आणि तोटा ही विरुद्ध परिस्थिती असल्याने आणि जर नफा ’ + ’ चिन्हाने दर्शविला तर तोटा ‘-’ चिन्हाने दर्शविला जाऊ शकतो.

काही अशा परिस्थिती जिथे आपण ही चिन्हे वापरू शकतो:

समुद्रसपाटीपेक्षा जास्त उंचीचे स्थान धन संख्येने दर्शविले जाते. आपण खाली आणि खाली जात असताना उंची कमी आणि कमी होते. अशा प्रकारे, समुद्रसपाटीच्या पृष्ठभागाच्या खाली आपण उंची ऋण संख्येने दर्शवू शकतो.

हे करून पहा

खालील संख्या योग्य चिन्हांसह लिहा:

(a) समुद्रसपाटीपासून $100 m$ खाली.
(b) $25^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ तापमानापेक्षा वर.
(c) $15^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ तापमानापेक्षा खाली.
(d) 0 पेक्षा कमी असलेल्या कोणत्याही पाच संख्या.

जर कमाई ’ + ’ चिन्हाने दर्शविली तर खर्च ‘-’ चिन्हाने दर्शविला जाऊ शकतो. त्याचप्रमाणे, $0^{\circ} C$ पेक्षा जास्त तापमान ’ + ’ चिन्हाने दर्शविले जाते आणि $0^{\circ} C$ पेक्षा कमी तापमान ‘-’ चिन्हाने दर्शविले जाते. उदाहरणार्थ, एका ठिकाणाचे तापमान $10^{\circ}$ $0^{\circ} C$ पेक्षा खाली असेल तर ते $-10^{\circ} C$ असे लिहिले जाते.

6.2 पूर्णांक

सर्वप्रथम शोधल्या गेलेल्या संख्या नैसर्गिक संख्या होत्या म्हणजेच 1, 2, 3, 4,.. जर आपण नैसर्गिक संख्यांच्या संग्रहात शून्य समाविष्ट केले तर आपल्याला पूर्ण संख्या म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या संख्यांचा नवीन संग्रह मिळतो म्हणजेच $0,1,2,3,4, \ldots$ तुम्ही या संख्यांचा अभ्यास मागील प्रकरणात केला आहे. आता आपल्याला असे आढळून आले आहे की ऋण संख्याही आहेत. जर आपण पूर्ण संख्या आणि ऋण संख्या एकत्र ठेवल्या तर संख्यांचा नवीन संग्रह $0,1,2,3,4,5, \ldots,-1,-2,-3$, $-4,-5, \ldots$ असे दिसेल आणि संख्यांच्या या संग्रहाला पूर्णांक म्हणतात. या संग्रहात, $1,2,3, \ldots$ यांना धन पूर्णांक म्हणतात आणि $-1,-2,-3, \ldots$ यांना ऋण पूर्णांक म्हणतात.

चला हे खालील आकृत्यांद्वारे समजून घेऊ. समजा की आकृत्या त्यांच्या विरुद्ध लिहिलेल्या संख्यांचे संग्रह दर्शवतात.

मग पूर्णांकांचा संग्रह खालील आकृतीद्वारे समजू शकतो ज्यामध्ये सर्व मागील संग्रह समाविष्ट आहेत:

6.2.1 संख्या रेषेवर पूर्णांकांचे निरूपण

एक रेषा काढा आणि त्यावर समान अंतरावर काही बिंदू चिन्हांकित करा जसे आकृतीत दाखवले आहे. त्यावर एक बिंदू शून्य म्हणून चिन्हांकित करा. शून्याच्या उजवीकडील बिंदू धन पूर्णांक आहेत आणि $+1,+2,+3$ इत्यादी किंवा फक्त $1,2,3$ इत्यादी चिन्हांकित केले आहेत. शून्याच्या डावीकडील बिंदू ऋण पूर्णांक आहेत आणि $-1,-2,-3$ इत्यादी चिन्हांकित केले आहेत.

या रेषेवर -6 चिन्हांकित करण्यासाठी, आपण शून्याच्या डावीकडे 6 बिंदू हलवतो. (आकृती 6.1)

संख्या रेषेवर +2 चिन्हांकित करण्यासाठी, आपण शून्याच्या उजवीकडे 2 बिंदू हलवतो. (आकृती 6.2)

6.2.2 पूर्णांकांची क्रमवारी

रमण आणि इमरान एका गावात राहतात जिथे एक पायऱ्यांचे विहीर आहे. विहिरीच्या तळाशी जाण्यासाठी एकूण 25 पायऱ्या आहेत.

हे करून पहा

संख्या रेषेवर -3, 7, -4, -8, -1 आणि -3 चिन्हांकित करा.

एके दिवशी रमण आणि इमरान विहिरीकडे गेले आणि पाण्याच्या पातळीपर्यंत 8 पायऱ्या खाली मोजल्या. पावसाळ्यात विहिरीत किती पाणी येईल हे पाहण्याचा त्यांनी निर्णय घेतला. त्यांनी विद्यमान पाण्याच्या पातळीवर शून्य चिन्हांकित केले आणि प्रत्येक पायरीसाठी त्या पातळीच्या वर $1,2,3,4, \ldots$ चिन्हांकित केले. पावसानंतर त्यांनी नोंद केली की पाण्याची पातळी सहाव्या पायरीपर्यंत वाढली. काही महिन्यांनंतर, त्यांनी पाहिले की पाण्याची पातळी शून्य चिन्हाच्या तीन पायऱ्या खाली आली आहे. आता, पाण्याच्या पातळीतील घट लक्षात घेण्यासाठी पायऱ्या चिन्हांकित करण्याचा विचार त्यांनी सुरू केला. तुम्ही त्यांना मदत करू शकता का?

अचानक, रमणला आठवले की एका मोठ्या धरणावर त्याने शून्याच्या खालीही संख्या चिन्हांकित केलेल्या पाहिल्या होत्या. इमरानने सूचित केले की शून्याच्या वर आणि खाली असलेल्या संख्यांमध्ये फरक करण्याचा काही मार्ग असावा. मग रमणला आठवले की शून्याच्या खाली असलेल्या संख्यांच्या समोर वजा चिन्ह होते. म्हणून त्यांनी शून्याच्या एक पायरी खाली -1 आणि शून्याच्या दोन पायऱ्या खाली -2 अशा प्रकारे चिन्हांकित केले.

म्हणून पाण्याची पातळी आता -3 वर आहे (शून्याच्या 3 पायऱ्या खाली). त्यानंतर पुढील वापरामुळे, पाण्याची पातळी 1 पायरीने खाली आली आणि ती -4 वर होती. तुम्ही पाहू शकता की $-4<-3$.

वरील उदाहरण लक्षात घेऊन, $>$ आणि $<$ चिन्हे वापरून खालील चौकटी भरा.

संख्या रेषेवर दर्शविलेले पूर्णांक पुन्हा एकदा पाहू या.

आपल्याला माहित आहे की $7>4$ आणि वरील दर्शविलेल्या संख्या रेषेवरून, आपण पाहतो की 7 हे 4 च्या उजवीकडे आहे (आकृती 6.3).

त्याचप्रमाणे, $4>0$ आणि 4 हे 0 च्या उजवीकडे आहे. आता, 0 हे -3 च्या उजवीकडे असल्याने, $0>-3$. पुन्हा, -3 हे -8 च्या उजवीकडे आहे म्हणून, $-3>-8$.

अशा प्रकारे, आपण पाहतो की संख्या रेषेवर संख्या उजवीकडे हलवल्याने वाढते आणि डावीकडे हलवल्याने कमी होते.

म्हणून, $-3<-2,-2<-1,-1<0,0<1,1<2,2<3$ इत्यादी.

म्हणून, पूर्णांकांचा संग्रह …, $-5,-4,-3,-2,-1$, $0,1,2,3,4,5 \ldots$ असे लिहिता येतो.

हे करून पहा

$>$ किंवा $<$ वापरून खालील संख्यांच्या जोड्यांची तुलना करा.

${}$ $ \begin{array}{rlrrl} 0 & \square -8 ; & -1 & \square & -15 \\ 5 & \square-5 ; & 11 & \square & 15 \\ 0 & \square \quad 6;& -20 & \square & 2 \end{array} $

वरील उदाहरणावरून, रोहिणी खालील निष्कर्षांवर पोहोचली:

(a) प्रत्येक धन पूर्णांक प्रत्येक ऋण पूर्णांकापेक्षा मोठा असतो.

(b) शून्य हे प्रत्येक धन पूर्णांकापेक्षा कमी असते.

(c) शून्य हे प्रत्येक ऋण पूर्णांकापेक्षा मोठे असते.

(d) शून्य हा ऋण पूर्णांक किंवा धन पूर्णांक नाही.

(e) उजवीकडे शून्यापासून संख्या जितकी दूर असेल तितके तिचे मूल्य मोठे असते.

(f) डावीकडे शून्यापासून संख्या जितकी दूर असेल तितके तिचे मूल्य लहान असते.

तुम्ही तिच्याशी सहमत आहात का? उदाहरणे द्या.

उदाहरण 1 : संख्या रेषेकडे पाहून, खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या: -8 आणि -2 यांच्यामध्ये कोणते पूर्णांक आहेत? त्यापैकी सर्वात मोठा पूर्णांक आणि सर्वात लहान पूर्णांक कोणता आहे?

उपाय : -8 आणि -2 यांच्यामध्ये $-7,-6,-5,-4,-3$ पूर्णांक आहेत. पूर्णांक -3 हा सर्वात मोठा आहे आणि -7 हा सर्वात लहान आहे.

जर मी शून्यावर नसेन तर मी हलल्यावर काय होते?

सलमा आणि रुचिका यांनी खेळल्या जाणाऱ्या मागील खेळाचा विचार करूया.

समजा रुचिकाचे टोकन 2 वर आहे. पुढच्या वेळी तिला एक लाल फासा मिळतो जो टाकल्यानंतर 3 ही संख्या देतो. याचा अर्थ ती 2 च्या उजवीकडे 3 स्थाने हलवेल.

अशा प्रकारे, ती 5 वर येते.

दुसरीकडे, जर सलमा 1 वर असेल आणि तिने निळा फासा काढला ज्याने तिला 3 ही संख्या दिली, तर याचा अर्थ ती डावीकडे 3 स्थाने हलवेल आणि -2 वर उभी राहील.

संख्या रेषेकडे पाहून, खालील प्रश्नाचे उत्तर द्या:

उदाहरण 2 : (a) एक बटण -3 वर ठेवले आहे. -9 वर पोहोचण्यासाठी आपण कोणत्या दिशेने आणि किती पावले हलवावे?

(b) -6 च्या उजवीकडे 4 पावले हलवल्यास आपण कोणत्या संख्येपर्यंत पोहोचू?

उपाय : (a) आपल्याला -3 च्या डावीकडे सहा पावले हलवावी लागतील.

(b) -6 च्या उजवीकडे 4 पावले हलवल्यावर आपण -2 वर पोहोचतो.

उदाहरणे 6.1

1. खालील गोष्टींचे विरुद्ध लिहा:

(a) वजनात वाढ
(b) 30 किमी उत्तर
(c) 80 मी पूर्व
(d) ₹ 700 चा तोटा
(e) समुद्रसपाटीपासून 100 मी वर

2. खालील संख्या योग्य चिन्हांसह पूर्णांक म्हणून दर्शवा.

(a) एक विमान जमिनीपासून दोन हजार मीटर उंचीवर उडत आहे.
(b) एक पाणबुडी समुद्रसपाटीपासून आठशे मीटर खोलीवर हलत आहे.
(c) दोनशे रुपयांची ठेव.
(d) सातशे रुपयांची उठवणूक.

3. खालील संख्या संख्या रेषेवर दर्शवा:

(a) +5
(b) -10
(c) +8
(d) -1
(e) -6

4. खालील आकृती एक उभी संख्या रेषा आहे, जी पूर्णांक दर्शवते. ते पहा आणि खालील बिंदू शोधा:

(a) जर बिंदू $D$ हा +8 असेल, तर कोणता बिंदू -8 आहे?
(b) बिंदू $G$ हा ऋण पूर्णांक आहे की धन पूर्णांक?
(c) बिंदू B आणि E साठी पूर्णांक लिहा.
(d) या संख्या रेषेवर चिन्हांकित केलेल्या कोणत्या बिंदूचे मूल्य सर्वात कमी आहे?
(e) सर्व बिंदूंची मूल्याच्या उतरत्या क्रमाने मांडणी करा.

5. भारतातील पाच ठिकाणांची वर्षाच्या एका विशिष्ट दिवशीची तापमाने खालीलप्रमाणे आहेत.

(a) या ठिकाणांची तापमाने रिक्त स्तंभात पूर्णांकांच्या रूपात लिहा.
(b) खालील संख्या रेषा अंश सेल्सिअसमध्ये तापमान दर्शवते. तापमानाच्या विरुद्ध शहराचे नाव लिहा.

(c) सर्वात थंड ठिकाण कोणते?
(d) ज्या ठिकाणांचे तापमान $10^{\circ} C$ पेक्षा जास्त आहे अशा ठिकाणांची नावे लिहा.

6. खालील प्रत्येक जोडीमध्ये, संख्या रेषेवर दुसरी संख्या कोणत्या संख्येच्या उजवीकडे आहे?

(a) 2,9
(b) -3,-8
(c) 0,-1
(d) -11,10
(e) -6,6
(f) 1,-100

7. दिलेल्या जोड्यांमधील सर्व पूर्णांक लिहा (त्यांना चढत्या क्रमाने लिहा.)

(a) 0 आणि -7
(b) -4 आणि 4
(c) -8 आणि -15
(d) -30 आणि -23

8. (a) -20 पेक्षा मोठे चार ऋण पूर्णांक लिहा.

(b) -10 पेक्षा कमी चार पूर्णांक लिहा.

9. खालील विधानांसाठी, सत्य (T) किंवा असत्य (F) लिहा. जर विधान चुकीचे असेल तर ते विधान दुरुस्त करा.

(a) संख्या रेषेवर -8 हा -10 च्या उजवीकडे आहे.
(b) संख्या रेषेवर -100 हा -50 च्या उजवीकडे आहे.
(c) सर्वात लहान ऋण पूर्णांक -1 आहे.
(d) -26 हा -25 पेक्षा मोठा आहे.

10. एक संख्या रेषा काढा आणि खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या:

(a) -2 च्या उजवीकडे 4 संख्या हलवल्यास आपण कोणत्या संख्येपर्यंत पोहोचू.
(b) 1 च्या डावीकडे 5 संख्या हलवल्यास आपण कोणत्या संख्येपर्यंत पोहोचू.
(c) जर आपण संख्या रेषेवर -8 वर असू, तर -13 वर पोहोचण्यासाठी आपण कोणत्या दिशेने हलवावे?
(d) जर आपण संख्या रेषेवर -6 वर असू, तर -1 वर पोहोचण्यासाठी आपण कोणत्या दिशेने हलवावे?

6.3 पूर्णांकांची बेरीज

हे करा

(वर आणि खाली जाणे)

मोहनच्या घरात, छतावर जाण्यासाठी आणि गोदामात खाली जाण्यासाठी पायऱ्या आहेत.

छतावर जाणाऱ्या पायऱ्यांची संख्या धन पूर्णांक म्हणून, गोदामात खाली जाणाऱ्या पायऱ्यांची संख्या ऋण पूर्णांक म्हणून आणि जमिनीची पातळी दर्शवणारी संख्या शून्य म्हणून विचारात घेऊ.

खालील गोष्टी करा आणि उत्तर पूर्णांक म्हणून लिहा:

(a) जमिनीच्या मजल्यापासून 6 पायऱ्या वर जा.
(b) जमिनीच्या मजल्यापासून 4 पायऱ्या खाली जा.
(c) जमिनीच्या मजल्यापासून 5 पायऱ्या वर जा आणि नंतर तेथून आणखी 3 पायऱ्या वर जा.
(d) जमिनीच्या मजल्यापासून 6 पायऱ्या खाली जा आणि नंतर तेथून आणखी 2 पायऱ्या खाली जा.
(e) जमिनीच्या मजल्यापासून 5 पायऱ्या खाली जा आणि नंतर तेथून 12 पायऱ्या वर जा.
(f) जमिनीच्या मजल्यापासून 8 पायऱ्या खाली जा आणि नंतर तेथून 5 पाय