৬.১ ভূমিকা

সুনিতার মায়ের কাছে ৮টি কলা আছে। সুনিতাকে তার বন্ধুদের সাথে পিকনিকে যেতে হবে। সে তার সাথে ১০টি কলা নিয়ে যেতে চায়। তার মা কি তাকে ১০টি কলা দিতে পারবেন? তার কাছে পর্যাপ্ত নেই, তাই সে পরে ফেরত দেবার শর্তে প্রতিবেশীর কাছ থেকে ২টি কলা ধার নেয়। সুনিতাকে ১০টি কলা দেবার পর, তার মায়ের কাছে কয়টি কলা বাকি থাকল? আমরা কি বলতে পারি যে তার কাছে শূন্য কলা আছে? তার কাছে কোন কলা নেই, কিন্তু প্রতিবেশীকে দুটি ফেরত দিতে হবে। তাই যখন সে আরও কিছু কলা পাবে, ধরা যাক ৬টি, তখন সে ২টি ফেরত দেবে এবং তার কাছে মাত্র ৪টি থাকবে।

রোনাল্ড একটি কলম কিনতে বাজারে যায়। তার কাছে মাত্র ₹ ১২ আছে কিন্তু কলমটির দাম ₹ ১৫। দোকানদার তার কাছ থেকে বাকি টাকা হিসেবে ₹ ৩ লিখে রাখে। সে রোনাল্ডের দেনা মনে রাখার জন্য তার ডায়েরিতে ₹ ৩ লিখে রাখে। কিন্তু সে কিভাবে মনে রাখবে যে ₹ ৩ দিতে হবে নাকি রোনাল্ডের কাছ থেকে নিতে হবে? সে কি এই দেনাটি কোন রং বা চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করতে পারে?

রুচিকা এবং সালমা একটি সংখ্যার ফিতে ব্যবহার করে একটি খেলা খেলছে যা সমান দূরত্বে ০ থেকে ২৫ পর্যন্ত চিহ্নিত।

শুরুতে, তারা দুজনই শূন্য চিহ্নে একটি রঙিন টোকেন রাখে। একটি ব্যাগে দুটি রঙিন পাশা রাখা হয় এবং তারা একে একে সেগুলো বের করে। যদি পাশাটি লাল রঙের হয়, তাহলে এই পাশা ছুঁড়ে যে সংখ্যা দেখায় তার অনুসারে টোকেনটিকে সামনের দিকে নিয়ে যাওয়া হয়। যদি এটি নীল রঙের হয়, তাহলে এই পাশা ছুঁড়ে যে সংখ্যা দেখায় তার অনুসারে টোকেনটিকে পিছনের দিকে নিয়ে যাওয়া হয়। প্রতিটি চালের পর পাশাগুলো আবার ব্যাগে রাখা হয় যাতে তাদের উভয়েরই যেকোনো পাশা পাওয়ার সমান সুযোগ থাকে। যে প্রথম ২৫তম চিহ্নে পৌঁছাবে সে জয়ী। তারা খেলাটি খেলে। রুচিকা লাল পাশা পায় এবং সেটি ছুঁড়ে পাশার ওপর চার পায়। সে এইভাবে টোকেনটি ফিতের চার নম্বর চিহ্নে নিয়ে যায়। সালমাও ঘটনাচক্রে লাল পাশা বের করে এবং ৩ পয়েন্ট জিতে এবং এইভাবে তার টোকেনটি ৩ নম্বরে নিয়ে যায়।

দ্বিতীয় প্রচেষ্টায়, রুচিকা লাল পাশা দিয়ে তিন পয়েন্ট অর্জন করে এবং সালমা ৪ পয়েন্ট পায় কিন্তু নীল পাশা দিয়ে। আপনি মনে করেন দ্বিতীয় প্রচেষ্টার পর তাদের উভয়কে তাদের টোকেন কোথায় রাখা উচিত?

রুচিকা সামনের দিকে এগিয়ে যায় এবং $4+3$ অর্থাৎ ৭ম চিহ্নে পৌঁছায়।

অন্যদিকে সালমা তার টোকেনটি শূন্য অবস্থানে রাখে। কিন্তু রুচিকা আপত্তি করে বলল যে তার শূন্যের পিছনে থাকা উচিত। সালমা রাজি হল। কিন্তু শূন্যের পিছনে তো কিছুই নেই। তারা কি করতে পারে?

সালমা এবং রুচিকা তখন ফিতেটি অন্যদিকে বাড়াল। তারা অন্যদিকে একটি নীল ফিতে ব্যবহার করল।

এখন, সালমা পরামর্শ দিল যে সে শূন্যের এক চিহ্ন পিছনে আছে, তাই এটিকে নীল এক হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। যদি টোকেনটি নীল এক-এ থাকে, তাহলে নীল একের পিছনের অবস্থান হল নীল দুই। একইভাবে, নীল দুইয়ের পিছনে নীল তিন। এইভাবে তারা পিছনের দিকে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নিল। আরেক দিন খেলার সময় তারা নীল কাগজ পেল না, তাই রুচিকা বলল, যেহেতু আমরা বিপরীত দিকে যাচ্ছি তাই অন্যদিকে একটি চিহ্ন ব্যবহার করি। সুতরাং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে আমাদের শূন্যের চেয়ে কম সংখ্যার জন্য একটি চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে। যে চিহ্নটি ব্যবহার করা হয় তা হল সংখ্যার সাথে যুক্ত একটি মাইনাস চিহ্ন বসানো। এটি নির্দেশ করে যে ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত সংখ্যাগুলি শূন্যের চেয়ে কম। এগুলিকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলে।

এটি করো

(কে কোথায়?)

ধরুন ডেভিড এবং মোহন শূন্য অবস্থান থেকে বিপরীত দিকে হাঁটা শুরু করেছে। শূন্যের ডানদিকের ধাপগুলিকে ’ + ’ চিহ্ন দ্বারা এবং শূন্যের বামদিকের ধাপগুলিকে ‘-’ চিহ্ন দ্বারা উপস্থাপিত করা যাক। যদি মোহন শূন্যের ডানদিকে ৫ ধাপ চলে তবে এটিকে +৫ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং যদি ডেভিড শূন্যের বামদিকে ৫ ধাপ চলে তবে এটিকে -৫ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এখন নিম্নলিখিত অবস্থানগুলি + বা - চিহ্ন দিয়ে উপস্থাপন করুন:

(ক) শূন্যের বামদিকে ৮ ধাপ।
(খ) শূন্যের ডানদিকে ৭ ধাপ।
(গ) শূন্যের ডানদিকে ১১ ধাপ।
(ঘ) শূন্যের বামদিকে ৬ ধাপ।

এটি করো

(কে আমার পরে আসে?)

আমরা পূর্ববর্তী উদাহরণগুলি থেকে দেখেছি যে একটি ডানদিকের গতি তৈরি হয় যদি যে সংখ্যা দ্বারা আমাদের যেতে হয় তা ধনাত্মক হয়। যদি মাত্র ১ এর একটি গতি তৈরি হয় আমরা সংখ্যাটির উত্তরাধিকারী পাই।

নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির উত্তরাধিকারী সংখ্যাটি লিখুন:

একটি বামদিকের গতি তৈরি হয় যদি যে সংখ্যা দ্বারা টোকেনটিকে সরাতে হয় তা ঋণাত্মক হয়।

যদি বামদিকে মাত্র ১ এর একটি গতি তৈরি হয়, আমরা একটি সংখ্যার পূর্বসূরী পাই।

এখন নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির পূর্বসূরী সংখ্যাটি লিখুন:

৬.১.১ আমাকে একটি চিহ্ন দিয়ে ট্যাগ করো

আমরা দেখেছি যে কিছু সংখ্যা একটি মাইনাস চিহ্ন বহন করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা দোকানদারকে রোনাল্ডের বাকি টাকা দেখাতে চাই আমরা এটিকে -৩ হিসাবে লিখতাম।

নিম্নলিখিতটি একটি দোকানদারের হিসাব যা কিছু নির্দিষ্ট জিনিস বিক্রি থেকে লাভ এবং ক্ষতি দেখায়। যেহেতু লাভ এবং ক্ষতি বিপরীত পরিস্থিতি এবং যদি লাভকে ’ + ’ চিহ্ন দ্বারা উপস্থাপিত করা হয়, ক্ষতিকে ‘-’ চিহ্ন দ্বারা উপস্থাপিত করা যেতে পারে।

কিছু পরিস্থিতি যেখানে আমরা এই চিহ্নগুলি ব্যবহার করতে পারি:

সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে একটি স্থানের উচ্চতা একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আমরা যত নিচে যাই উচ্চতা তত কমতে থাকে। সুতরাং, সমুদ্রপৃষ্ঠের নিচের পৃষ্ঠতল দ্বারা আমরা উচ্চতাটিকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করতে পারি।

এগুলি চেষ্টা করো

নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি উপযুক্ত চিহ্ন সহ লিখুন:

(ক) $100 m$ সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে নিচে।
(খ) $25^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ তাপমাত্রার উপরে।
(গ) $15^{\circ} C$ $0^{\circ} C$ তাপমাত্রার নিচে।
(ঘ) ০ এর চেয়ে কম যেকোনো পাঁচটি সংখ্যা।

যদি আয়কে ’ + ’ চিহ্ন দ্বারা উপস্থাপিত করা হয়, তাহলে ব্যয়কে ‘-’ চিহ্ন দ্বারা দেখানো যেতে পারে। একইভাবে, $0^{\circ} C$ এর উপরের তাপমাত্রা ’ + ’ চিহ্ন দ্বারা এবং $0^{\circ} C$ এর নিচের তাপমাত্রা ‘-’ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থানের তাপমাত্রা $10^{\circ}$ $0^{\circ} C$ এর নিচে হলে এটিকে $-10^{\circ} C$ হিসাবে লেখা হয়।

৬.২ পূর্ণসংখ্যা

প্রথম যে সংখ্যাগুলি আবিষ্কৃত হয়েছিল তা হল স্বাভাবিক সংখ্যা অর্থাৎ ১, ২, ৩, ৪,.. যদি আমরা স্বাভাবিক সংখ্যার সংগ্রহে শূন্য অন্তর্ভুক্ত করি, আমরা সংখ্যার একটি নতুন সংগ্রহ পাই যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে অর্থাৎ $0,1,2,3,4, \ldots$ আপনি পূর্ববর্তী অধ্যায়ে এই সংখ্যাগুলি পড়েছেন। এখন আমরা দেখতে পাই যে ঋণাত্মক সংখ্যাও আছে। যদি আমরা পূর্ণসংখ্যা এবং ঋণাত্মক সংখ্যাগুলি একসাথে রাখি, সংখ্যার নতুন সংগ্রহটি দেখতে হবে $0,1,2,3,4,5, \ldots,-1,-2,-3$, $-4,-5, \ldots$ এবং সংখ্যার এই সংগ্রহটিকে পূর্ণসংখ্যা বলে। এই সংগ্রহে, $1,2,3, \ldots$ কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলা হয় এবং $-1,-2,-3, \ldots$ কে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলা হয়।

নিম্নলিখিত চিত্রগুলি দ্বারা এটি বুঝতে পারি। ধরা যাক চিত্রগুলি তাদের বিপরীতে লেখা সংখ্যার সংগ্রহকে উপস্থাপন করে।

তাহলে পূর্ণসংখ্যার সংগ্রহটি নিম্নলিখিত চিত্র দ্বারা বোঝা যেতে পারে যেখানে সমস্ত পূর্ববর্তী সংগ্রহ অন্তর্ভুক্ত:

৬.২.১ সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যার উপস্থাপনা

একটি রেখা আঁকুন এবং তার উপর সমান দূরত্বে কিছু বিন্দু চিহ্নিত করুন যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। তার উপর একটি বিন্দুকে শূন্য হিসাবে চিহ্নিত করুন। শূন্যের ডানদিকের বিন্দুগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $+1,+2,+3$ ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত বা সহজভাবে $1,2,3$ ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত। শূন্যের বামদিকের বিন্দুগুলি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $-1,-2,-3$ ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত।

এই রেখায় -৬ চিহ্নিত করার জন্য, আমরা শূন্য থেকে ৬ বিন্দু বামদিকে যাই। (চিত্র ৬.১)

সংখ্যারেখায় +২ চিহ্নিত করার জন্য, আমরা শূন্য থেকে ২ বিন্দু ডানদিকে যাই। (চিত্র ৬.২)

৬.২.২ পূর্ণসংখ্যার ক্রমবিন্যাস

রমন এবং ইমরান একটি গ্রামে বাস করে যেখানে একটি সোপান কুয়া আছে। মোট ২৫টি ধাপ নিচে কুয়ার তলদেশ পর্যন্ত।

এগুলি চেষ্টা করো

সংখ্যারেখায় -৩, ৭, -৪, -৮, -১ এবং -৩ চিহ্নিত করুন।

একদিন রমন এবং ইমরান কুয়ায় গেল এবং জলের স্তর পর্যন্ত ৮ ধাপ নিচে গুনল। তারা বৃষ্টির সময় কুয়ায় কত জল আসে তা দেখতে সিদ্ধান্ত নিল। তারা জলের বিদ্যমান স্তরে শূন্য চিহ্নিত করল এবং প্রতিটি ধাপের জন্য সেই স্তরের উপরে $1,2,3,4, \ldots$ চিহ্নিত করল। বৃষ্টির পর তারা লক্ষ্য করল যে জলস্তর ষষ্ঠ ধাপ পর্যন্ত উঠে এসেছে। কয়েক মাস পর, তারা লক্ষ্য করল যে জলস্তর শূন্য চিহ্নের তিন ধাপ নিচে নেমে গেছে। এখন, তারা জলস্তরের পতন নোট করার জন্য ধাপগুলি চিহ্নিত করার কথা ভাবতে শুরু করল। আপনি কি তাদের সাহায্য করতে পারেন?

হঠাৎ, রমন মনে করল যে একটি বড় বাঁধে সে শূন্যের নিচেও সংখ্যা চিহ্নিত দেখেছে। ইমরান ইঙ্গিত দিল যে শূন্যের উপরে এবং নিচের সংখ্যাগুলির মধ্যে পার্থক্য করার কিছু উপায় থাকা উচিত। তখন রমন স্মরণ করল যে শূন্যের নিচের সংখ্যাগুলির সামনে মাইনাস চিহ্ন ছিল। তাই তারা শূন্যের এক ধাপ নিচে -১ এবং শূন্যের দুই ধাপ নিচে -২ ইত্যাদি চিহ্নিত করল।

সুতরাং জলস্তর এখন -৩ এ (শূন্যের ৩ ধাপ নিচে)। তারপর আরও ব্যবহারের কারণে, জলস্তর ১ ধাপ নিচে নেমে গেল এবং এটি -৪ এ ছিল। আপনি দেখতে পারেন যে $-4<-3$।

উপরের উদাহরণটি মাথায় রেখে, $>$ এবং $<$ চিহ্ন ব্যবহার করে বাক্সগুলি পূরণ করুন।

আসুন আমরা আবারও পূর্ণসংখ্যাগুলি পর্যবেক্ষণ করি যা সংখ্যারেখায় উপস্থাপিত।

আমরা জানি যে $7>4$ এবং উপরে দেখানো সংখ্যারেখা থেকে, আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে ৭, ৪ এর ডানদিকে (চিত্র ৬.৩)।

একইভাবে, $4>0$ এবং ৪, ০ এর ডানদিকে। এখন, যেহেতু ০, -৩ এর ডানদিকে, তাই $0>-3$। আবার, -৩, -৮ এর ডানদিকে, তাই $-3>-8$।

এইভাবে, আমরা দেখি যে একটি সংখ্যারেখায় সংখ্যাটি বাড়ে যখন আমরা ডানদিকে যাই এবং কমে যখন আমরা বামদিকে যাই।

অতএব, $-3<-2,-2<-1,-1<0,0<1,1<2,2<3$ ইত্যাদি।

সুতরাং, পূর্ণসংখ্যার সংগ্রহটি লেখা যেতে পারে…, $-5,-4,-3,-2,-1$, $0,1,2,3,4,5 \ldots$

এগুলি চেষ্টা করো

$>$ বা $<$ ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সংখ্যার জোড়াগুলি তুলনা করুন।

${}$ $ \begin{array}{rlrrl} 0 & \square -8 ; & -1 & \square & -15 \\ 5 & \square-5 ; & 11 & \square & 15 \\ 0 & \square \quad 6;& -20 & \square & 2 \end{array} $

উপরের অনুশীলন থেকে, রোহিনী নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে পৌঁছাল:

(ক) প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার চেয়ে বড়।

(খ) শূন্য প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার চেয়ে ছোট।

(গ) শূন্য প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার চেয়ে বড়।

(ঘ) শূন্য একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কোনটিই নয়।

(ঙ) শূন্যের ডানদিকে একটি সংখ্যা যত দূরে, তার মান তত বড়।

(চ) শূন্যের বামদিকে একটি সংখ্যা যত দূরে, তার মান তত ছোট।

আপনি কি তার সাথে একমত? উদাহরণ দিন।

উদাহরণ ১ : সংখ্যারেখা দেখে নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর দিন: -৮ এবং -২ এর মধ্যে কোন পূর্ণসংখ্যাগুলি অবস্থিত? তাদের মধ্যে বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা কোনটি?

সমাধান : -৮ এবং -২ এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যাগুলি হল $-7,-6,-5,-4,-3$। পূর্ণসংখ্যা -৩ হল বৃহত্তম এবং -৭ হল ক্ষুদ্রতম।

যদি, আমি শূন্যে না থাকি তাহলে কী হয় যখন আমি সরি?

আসুন সালমা এবং রুচিকা দ্বারা খেলা পূর্ববর্তী খেলাটি বিবেচনা করি।

ধরুন রুচিকার টোকেন ২-এ আছে। পরবর্তী চালে সে একটি লাল পাশা পায় যা ছুঁড়ে দেবার পর সংখ্যা ৩ দেয়। এর মানে সে ২ এর ডানদিকে ৩ স্থান সরবে।

এইভাবে, সে ৫-এ আসে।

অন্যদিকে, যদি সালমা ১-এ থাকে, এবং একটি নীল পাশা টানে যা তাকে সংখ্যা ৩ দেয়, তবে এর মানে সে বামদিকে ৩ স্থান সরবে এবং -২-এ দাঁড়াবে।

সংখ্যারেখা দেখে নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর দিন:

উদাহরণ ২ : (ক) একটি বোতাম -৩-এ রাখা আছে। -৯-এ পৌঁছানোর জন্য আমাদের কোন দিকে এবং কত ধাপ সরতে হবে?

(খ) -৬ এর ডানদিকে ৪ ধাপ সরলে আমরা কোন সংখ্যায় পৌঁছাব?

সমাধান : (ক) আমাদের -৩ এর বামদিকে ছয় ধাপ সরতে হবে।

(খ) -৬ এর ডানদিকে ৪ ধাপ সরলে আমরা -২-এ পৌঁছাই।

অনুশীলনী ৬.১

১. নিম্নলিখিতগুলির বিপরীত লিখুন:

(ক) ওজন বৃদ্ধি
(খ) ৩০ কিমি উত্তর
(গ) ৮০ মি পূর্ব
(ঘ) ₹ ৭০০ ক্ষতি
(ঙ) সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে ১০০ মি উপরে

২. উপযুক্ত চিহ্ন সহ পূর্ণসংখ্যা হিসাবে নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করুন।

(ক) একটি বিমান ভূমি থেকে দুই হাজার মিটার উচ্চতায় উড়ছে।
(খ) একটি সাবমেরিন সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে আটশত মিটার গভীরতায় চলছে।
(গ) দুইশত রুপি জমা।
(ঘ) সাতশত রুপি উত্তোলন।

৩. একটি সংখ্যারেখায় নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করুন:

(ক) +৫
(খ) -১০
(গ) +৮
(ঘ) -১
(ঙ) -৬

৪. নিচের চিত্রটি একটি উল্লম্ব সংখ্যারেখা, পূর্ণসংখ্যা উপস্থাপন করছে। এটি পর্যবেক্ষণ করুন এবং নিম্নলিখিত বিন্দুগুলি সনাক্ত করুন:

(ক) যদি বিন্দু $D$ হয় +৮, তাহলে কোন বিন্দুটি -৮?
(খ) বিন্দু $G$ একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা নাকি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা?
(গ) B এবং E বিন্দুর জন্য পূর্ণসংখ্যাগুলি লিখুন।
(ঘ) এই সংখ্যারেখায় চিহ্নিত কোন বিন্দুটির মান সবচেয়ে কম?
(ঙ) মানের ক্রমহ্রাসমান ক্রমে সমস্ত বিন্দু সাজান।

৫. বছরের একটি নির্দিষ্ট দিনে ভারতের পাঁচটি স্থানের তাপমাত্রার তালিকা নিম্নরূপ।

(ক) খালি কলামে পূর্ণসংখ্যার আকারে এই স্থানগুলির তাপমাত্রা লিখুন।
(খ) নিম্নলিখিত সংখ্যারেখাটি ডিগ্রি সেলসিয়াসে তাপমাত্রা উপস্থাপন করছে। তার তাপমাত্রার বিপরীতে শহরের নাম প্লট করুন।

(গ) কোন স্থানটি সবচেয়ে শীতল?
(ঘ) সেই স্থানগুলির নাম লিখুন যেখানে তাপমাত্রা $10^{\circ} C$ এর উপরে।

৬. নিম্নলিখিত প্রতিটি জোড়ায়, সংখ্যারেখায় কোন সংখ্যাটি অপরটির ডানদিকে?

(ক) ২,৯
(খ) -৩,-৮
(গ) ০,-১
(ঘ) -১১,১০
(ঙ) -৬,৬
(চ) ১,-১০০

৭. প্রদত্ত জোড়াগুলির মধ্যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা লিখুন (সেগুলি বৃদ্ধির ক্রমে লিখুন)।

(ক) ০ এবং -৭
(খ) -৪ এবং ৪
(গ) -৮ এবং -১৫
(ঘ) -৩০ এবং -২৩

৮. (ক) -২০ এর চেয়ে বড় চারটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লিখুন।

(খ) -১০ এর চেয়ে ছোট চারটি পূর্ণসংখ্যা লিখুন।

৯. নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির জন্য সত্য (T) বা মিথ্যা (F) লিখুন। যদি বিবৃতিটি মিথ্যা হয়, বিবৃতিটি সংশোধন করুন।

(ক) একটি সংখ্যারেখায় -৮, -১০ এর ডানদিকে।
(খ) একটি সংখ্যারেখায় -১০০, -৫০ এর ডানদিকে।
(গ) ক্ষুদ্রতম ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল -১।
(ঘ) -২৬, -২৫ এর চেয়ে বড়।

১০. একটি সংখ্যারেখা আঁকুন এবং নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর দিন:

(ক) -২ এর ডানদিকে ৪ সংখ্যা সরলে আমরা কোন সংখ্যায় পৌঁছাব?
(খ) ১ এর বামদিকে ৫ সংখ্যা সরলে আমরা কোন সংখ্যায় পৌঁছাব?
(গ) যদি আমরা সংখ্যারেখায় -৮-এ থাকি, -১৩-এ পৌঁছানোর জন্য আমাদের কোন দিকে সরতে হবে?
(ঘ) যদি আমরা সংখ্যারেখায় -৬-এ থাকি, -১-এ পৌঁছানোর জন্য আমাদের কোন দিকে সরতে হবে?

৬.৩ পূর্ণসংখ্যার যোগ

এটি করো

(উপরে ও নিচে যাওয়া)

মোহনের বাড়িতে, ছাদে যাওয়ার জন্য সিঁড়ি আছে এবং গুদামঘরে যাওয়ার জন্য সিঁড়ি আছে।

ছাদে যাওয়ার সিঁড়ির সংখ্যাকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে, গুদামঘরে যাওয়ার সিঁড়ির সংখ্যাকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে এবং ভূমিস্তরকে উপস্থাপনকারী সংখ্যাটিকে শূন্য হিসাবে বিবেচনা করা যাক।

নিম্নলিখিতগুলি করুন এবং উত্তরটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে লিখুন:

(ক) ভূমিস্তর থেকে ৬ ধাপ উপরে যান।
(খ) ভূমিস্তর থেকে ৪ ধাপ নিচে যান।
(গ) ভূমিস্তর থেকে ৫ ধাপ উপরে যান এবং তারপর সেখান থেকে আরও ৩ ধাপ উপরে যান।
(ঘ) ভূমিস্তর থেকে ৬ ধাপ নিচে যান এবং তারপর সেখান থেকে আরও ২ ধাপ নিচে যান।
(ঙ) ভূমিস্তর থেকে ৫ ধাপ নিচে যান এবং তারপর সেখান থেকে ১২ ধাপ উপরে যান।
(চ) ভূমিস্তর থেকে ৮ ধাপ নিচে যান এবং তারপর সেখান থেকে ৫ ধাপ উপরে যান।
(ছ) ভূমিস্তর থেকে ৭ ধাপ উপরে যান এবং তারপর সেখান থেকে ১০ ধাপ নিচে যান।

আমিনা এগুলিকে নিম্নরূপ লিখেছে:

(ক) $+6$
(খ) $-4$
(গ) $(+5)+(+3)=+8$
(ঘ) $(-6)+(-2)=-4$
(ঙ) $(-5)+(+12)=+7$
(চ) $(-8)+(+5)=-3$
(ছ) $(+7)+(-10)=17$

সে কিছু ভুল করেছে। আপনি কি তার উত্তরগুলি পরীক্ষা করে এবং যেগুলি ভুল সেগুলি সংশোধন করতে পারেন?

এগুলি চেষ্টা করো

নিচে দেখানো হিসাবে মাটিতে একটি অনুভূমিক সংখ্যারেখার আকারে একটি চিত্র আঁকুন। উল্লিখিত উদাহরণের মতো প্রশ্ন তৈরি করুন এবং আপনার বন্ধুদের জিজ্ঞাসা করুন।

একটি খেলা

+২৫ থেকে -২৫ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা চিহ্নিত একটি সংখ্যার ফিতে নিন।

দুটি পাশা নিন, একটি ১ থেকে ৬ পর্যন্ত চিহ্নিত এবং অন্যটি তিনটি ’ + ’ চিহ্ন এবং তিনটি ‘-’ চিহ্ন দিয়ে চিহ্নিত।

খেলোয়াড়রা সংখ্যার ফিতের শূন্য অবস্থানে বিভিন্ন রঙের বোতাম (বা প্লাস্টিকের কাউন্টার) রাখবে। প্রতিটি নিক্ষেপে, খেলোয়াড়কে দেখতে হবে যে সে দুটি পাশায় কী পেয়েছে। যদি প্রথম পাশাটি ৩ দেখায় এবং দ্বিতীয় পাশাটি - চিহ্ন দেখায়, তাহলে তার আছে -৩। যদি প্রথম পাশাটি ৫ দেখায় এবং দ্বিতীয় পাশাটি ’ + ’ চিহ্ন দেখায়, তাহলে তার আছে +৫।

যখনই একজন খেলোয়াড় + চিহ্ন পায়, তাকে সামনের দিকে (+২৫ এর দিকে) সরতে হবে এবং যদি সে ’ - ’ চিহ্ন পায় তবে তাকে পিছনের দিকে (-২৫ এর দিকে) সরতে হবে।

প্রতিটি খেলোয়াড় একই সাথে দুটি পাশা ছুঁড়বে। যে খেলোয়াড়ের কাউন্টার -২৫ স্পর্শ করবে সে খেলা থেকে বাদ পড়বে এবং যার কাউন্টার প্রথমে +২৫ স্পর্শ করবে সে খেলায় জয়ী হবে।

আপনি $+1,+2,+3,+4$, +৫ এবং +৬ এবং $-1,-2, \ldots-6$ চিহ্নিত ১২টি কার্ড দিয়ে একই খেলা খেলতে পারেন। প্রতিটি প্রচেষ্টার পর কার্ডগুলি এলোমেলো করুন।

কমলা, রেশমা এবং মীনু এই খেলাটি খেলছে।

কমলা তিনটি ধারাবাহিক প্রচেষ্টায় $+3,+2,+6$ পেল। সে তার কাউন্টারটি +১১ চিহ্নে রাখল। রেশমা $-5,+3,+1$ পেল। সে তার কাউন্টারটি -১-এ রাখল। মীনু তিনটি ধারাবাহিক প্রচেষ্টায় $+4,-3,-2$ পেল; তার কাউন্টারটি কোন অবস্থানে থাকবে? -১-এ নাকি +১-এ?

এটি করো

সাদা এবং কালোর মতো দুটি ভিন্ন রঙের বোতাম নিন। একটি সাদা বোতামকে $(+1)$ দ্বারা এবং একটি কালো বোতামকে ( -1$)$ দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। একটি সাদা বোতাম $(+1)$ এবং একটি কালো বোতাম $(-1)$ এর একটি জোড়া শূন্য নির্দেশ করবে অর্থাৎ $[1+(-1)=0]$

নিম্নলিখিত সারণীতে, রঙিন বোতামের সাহায্যে পূর্ণসংখ্যাগুলি দেখানো হয়েছে।

রঙিন বোতামের সাহায্যে যোগগুলি সম্পাদন করা যাক। নিম্নলিখিত সারণিটি পর্যবেক্ষণ করুন এবং এটি সম্পূর্ণ করুন।

এগুলি চেষ্টা করো

নিম্নলিখিত যোগগুলির উত্তর নির্ণয় করুন:

(ক) $(-11)+(-12)$
(খ) $(+10)+(+4)$
(গ) $(-32)+(-25)$
(ঘ) $(+23)+(+40)$

আপনি যোগ করেন যখন আপনার দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থাকে যেমন $(+3)+(+2)=+5[=3+2]$। আপনি যোগ করেন যখন আপনার দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা থাকে, কিন্তু উত্তরটি একটি মাইনাস (-) চিহ্ন নেবে যেমন (-2) + (-1) = $-(\mathbf{2}+\mathbf{1})=\mathbf{- 3}$।

এখন এই বোতামগুলির সাহায্যে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করুন। জোড়ায় বোতামগুলি সরান অর্থাৎ একটি সাদা বোতাম একটি কালো বোতামের সাথে $[$ যেহেতু $(+1)+(-1)=0]$। অবশিষ্ট বোতামগুলি পরীক্ষা করুন।

(ক) $(-4)+(+3)$

$=(-1)+(-3)+(+3)$

$=(-1)+0=-1$

(খ) $(+4)+(-3)$

$ \begin{aligned} & =(+1)+(+3)+(-3) \\ & =(+1)+0=+1 \end{aligned} $

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে $4-3$ এর উত্তর হল ১ এবং $-4+3$ এর উত্তর হল -১।

সুতরাং, যখন আপনার একটি ধনাত্মক এবং একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা থাকে, আপনাকে অবশ্যই বিয়োগ করতে হবে, কিন্তু উত্তরটি বড় পূর্ণসংখ্যার চিহ্ন নেবে (সংখ্যাগুলির চিহ্ন উপেক্ষা করে সিদ্ধান্ত নিন কোনটি বড়)। আরও কিছু উদাহরণ সাহায্য করবে:

(গ) $(+5)+(-8)=(+5)+(-5)+(-3)=0+(-3)=(-3)$
(ঘ) $(+6)+(-4)=(+2)+(+4)+(-4)=(+2)+0=+2$

এগুলি চেষ্টা করো

নিম্নলিখিতগুলির সমাধান নির্ণয় করুন:

(ক) $(-7)+(+8)$
(খ) $(-9)+(+13)$
(গ) $(+7)+(-10)$
(ঘ) $(+12)+(-7)$

৬.৩.১ সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যার যোগ

রঙিন বোতাম ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যা যোগ করা সর্বদা সহজ নয়। আমরা কি যোগের জন্য সংখ্যারেখা ব্যবহার করব?

(i) আসুন সংখ্যারেখায় ৩ এবং ৫ যোগ করি।

সংখ্যারেখায়, আমরা প্রথমে ০ থেকে ৩ ধাপ ডানদিকে গিয়ে ৩-এ পৌঁছাই, তারপর আমরা ৩ থেকে ৫ ধাপ ডানদিকে গিয়ে ৮-এ পৌঁছাই। এইভাবে, আমরা পাই $3+5=8$ (চিত্র ৬.৪)

(ii) আসুন সংখ্যারেখায় -৩ এবং -৫ যোগ করি।

সংখ্যারেখায়, আমরা প্রথমে ০ থেকে ৩ ধাপ বামদিকে গিয়ে -৩-এ পৌঁছাই, তারপর আমরা -৩ থেকে ৫ ধাপ বামদিকে গিয়ে -৮-এ পৌঁছাই। (চিত্র ৬.৫)

এইভাবে, $(-3)+(-5)=-8$।

আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে যখন আমরা দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করি, তাদের যোগফল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়। যখন আমরা দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করি, তাদের যোগফল একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়।

(iii) মনে করি আমরা সংখ্যারেখায় (+৫) এবং (-৩) এর যোগফল বের করতে চাই। প্রথমে আমরা ০ থেকে ডানদিকে ৫ ধাপ গিয়ে ৫-এ পৌঁছাই। তারপর আমরা ৫ থেকে বামদিকে ৩ ধাপ গিয়ে ২-এ পৌঁছাই। (চ