ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଓ ସୂତ୍ର

ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ ପାଇଁ ୫-୭ଟି ମୌଳିକ ଧାରଣା ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

ମୌଳିକ ସୂତ୍ର

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ MCQs

କ୍ରମବର୍ଧ୍ଧିତ କଠିନତା ସହିତ ୧୦ଟି MCQs ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ (Q1-3: ସହଜ, Q4-7: ମଧ୍ୟମ, Q8-10: କଠିନ)

Q1. ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3:4 | ଯଦି ଛୋଟ ଟ୍ରେନଟି 180 ମିଟର ଲମ୍ବା ହୁଏ, ତେବେ ଲମ୍ବା ଟ୍ରେନଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ? A) 200m B) 240m C) 270m D) 320m

ଉତ୍ତର: B) 240m

ସମାଧାନ: ମନେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକ 3x ଓ 4x ଦିଆଯାଇଛି: 3x = 180 ମିଟର ତେଣୁ, x = 60 ମିଟର ଲମ୍ବା ଟ୍ରେନର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4x = 4 × 60 = 240 ମିଟର

ଶର୍ଟକଟ: 180 × (4/3) = 240 ମିଟର

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ମୌଳିକ ଅନୁପାତ ପ୍ରୟୋଗ

Q2. ଏକ ଟ୍ରେନରେ ଯାତ୍ରୀ କୋଚ୍ ଓ ମାଲବାହୀ ୱାଗନ୍ର ଅନୁପାତ 5:8 | ଯଦି 65ଟି ଯାତ୍ରୀ କୋଚ୍ ଥାଏ, ତେବେ କେତୋଟି ମାଲବାହୀ ୱାଗନ୍ ଅଛି? A) 91 B) 104 C) 117 D) 130

ଉତ୍ତର: B) 104

ସମାଧାନ: ମନେକର ଯାତ୍ରୀ କୋଚ୍ = 5x, ମାଲବାହୀ ୱାଗନ୍ = 8x ଦିଆଯାଇଛି: 5x = 65 ତେଣୁ, x = 13 ମାଲବାହୀ ୱାଗନ୍ = 8x = 8 × 13 = 104

ଶର୍ଟକଟ: 65 × (8/5) = 13 × 8 = 104

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ଅଜ୍ଞାତ ପରିମାଣ ଖୋଜିବା

Q3. 9 ଓ 16 ମଧ୍ୟରେ ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତିକ ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 12 B) 14 C) 15 D) 18

ଉତ୍ତର: A) 12

ସମାଧାନ: ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତିକ = √(9 × 16) = √144 = 12

ଶର୍ଟକଟ: √(9 × 16) = √(3² × 4²) = 3 × 4 = 12

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତିକ ଗଣନା

Q4. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ 3 ଘଣ୍ଟାରେ 240 କିମି ଓ 4 ଘଣ୍ଟାରେ 320 କିମି ଅତିକ୍ରମ କରେ | ଗତିଗୁଡ଼ିକ ସମାନୁପାତରେ ଅଛି କି? A) ହଁ, ସେଗୁଡ଼ିକ 3:4 ଅନୁପାତରେ ଅଛି B) ହଁ, ଉଭୟ 80 କିମି/ଘଣ୍ଟା C) ନା, ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ଭିନ୍ନ D) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହେବ ନାହିଁ

ଉତ୍ତର: B) ହଁ, ଉଭୟ 80 କିମି/ଘଣ୍ଟା

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ଗତି = 240/3 = 80 କିମି/ଘଣ୍ଟା ଦ୍ୱିତୀୟ ଗତି = 320/4 = 80 କିମି/ଘଣ୍ଟା ଯେହେତୁ ଉଭୟ ଗତି ସମାନ (80:80 = 1:1), ସେଗୁଡ଼ିକ ସମାନୁପାତରେ ଅଛି

ଶର୍ଟକଟ: ଗତିଗୁଡ଼ିକୁ ପୃଥକ ଭାବରେ ଗଣନା କରି ତୁଳନା କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ସମାନୁପାତିକତା ଯାଞ୍ଚ କରିବା

Q5. ଯଦି 3:5 = x:20, x ର ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 9 B) 12 C) 15 D) 18

ଉତ୍ତର: B) 12

ସମାଧାନ: କ୍ରସ୍-ଗୁଣନ ବ୍ୟବହାର କରି: 3 × 20 = 5 × x 60 = 5x x = 60/5 = 12

ଶର୍ଟକଟ: x = (3 × 20)/5 = 12

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ସମାନୁପାତ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା

Q6. ପ୍ଲାଟଫର୍ମ ଟିକେଟ୍ ଓ ଟ୍ରେନ୍ ଟିକେଟ୍ ବିକ୍ରିର ଅନୁପାତ 7:12 | ଯଦି 84ଟି ପ୍ଲାଟଫର୍ମ ଟିକେଟ୍ ବିକ୍ରି ହୋଇଥିଲା, ତେବେ ସମୁଦାୟ କେତୋଟି ଟିକେଟ୍ ବିକ୍ରି ହୋଇଥିଲା? A) 228 B) 252 C) 276 D) 300

ଉତ୍ତର: C) 276

ସମାଧାନ: ମନେକର ପ୍ଲାଟଫର୍ମ ଟିକେଟ୍ = 7x = 84 ତେଣୁ, x = 12 ଟ୍ରେନ୍ ଟିକେଟ୍ = 12x = 12 × 12 = 144 ସମୁଦାୟ ଟିକେଟ୍ = 84 + 144 = 228

ଶର୍ଟକଟ: ସମୁଦାୟ ଅନୁପାତ ଅଂଶ = 7 + 12 = 19 ସମୁଦାୟ ଟିକେଟ୍ = 84 × (19/7) = 228

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ସମୁଦାୟ ପରିମାଣ ଗଣନା

Q7. 8 ଓ 12 ର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତିକ ଖୋଜନ୍ତୁ | A) 16 B) 18 C) 20 D) 24

ଉତ୍ତର: B) 18

ସମାଧାନ: ଯଦି 8:12 = 12:x, ତେବେ x = 12²/8 = 144/8 = 18

ଶର୍ଟକଟ: x = b²/a = 12²/8 = 144/8 = 18

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତିକ

Q8. ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ର ଗତିର ଅନୁପାତ 4:5 | ଯଦି ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ଟି ଏକ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ 6 ଘଣ୍ଟା ନିଏ, ତେବେ ମନ୍ଥର ଟ୍ରେନ୍ଟି ସେହି ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ କେତେ ସମୟ ନେବ? A) 7.5 ଘଣ୍ଟା B) 8 ଘଣ୍ଟା C) 8.5 ଘଣ୍ଟା D) 9 ଘଣ୍ଟା

ଉତ୍ତର: A) 7.5 ଘଣ୍ଟା

ସମାଧାନ: ଗତି ଓ ସମୟ ବିପରୀତ ସମାନୁପାତୀ ଯଦି ଗତି ଅନୁପାତ = 4:5, ତେବେ ସମୟ ଅନୁପାତ = 5:4 ମନେକର ମନ୍ଥର ଟ୍ରେନ୍ର ସମୟ = 5x, ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ର ସମୟ = 4x ଦିଆଯାଇଛି: 4x = 6 ଘଣ୍ଟା ତେଣୁ, x = 1.5 ଘଣ୍ଟା ମନ୍ଥର ଟ୍ରେନ୍ର ସମୟ = 5x = 5 × 1.5 = 7.5 ଘଣ୍ଟା

ଶର୍ଟକଟ: ସମୟ = 6 × (5/4) = 7.5 ଘଣ୍ଟା

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ବିପରୀତ ସମାନୁପାତିକତା

Q9. ଏକ ରେଳ କାର୍ଯ୍ୟଶାଳାରେ, ଦକ୍ଷ ଓ ଅଦକ୍ଷ କର୍ମଚାରୀଙ୍କ ଅନୁପାତ 5:3 | ଯଦି 20 ଜଣ ଅଧିକ ଦକ୍ଷ କର୍ମଚାରୀ ନିଯୁକ୍ତି ପାଆନ୍ତି, ଅନୁପାତଟି 3:1 ହୋଇଯାଏ | ମୂଳ ଅଦକ୍ଷ କର୍ମଚାରୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? A) 24 B) 30 C) 36 D) 45

ଉତ୍ତର: B) 30

ସମାଧାନ: ମନେକର ମୂଳ ଦକ୍ଷ = 5x, ଅଦକ୍ଷ = 3x ନିଯୁକ୍ତି ପରେ: (5x + 20):3x = 3:1 କ୍ରସ୍-ଗୁଣନ କରି: 5x + 20 = 9x 4x = 20 x = 5 ମୂଳ ଅଦକ୍ଷ କର୍ମଚାରୀ = 3x = 3 × 5 = 30

ଶର୍ଟକଟ: ସମୀକରଣ ସ୍ଥାପନ କରି x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ଅନୁପାତ

Q10. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଯାତ୍ରାରେ ତିନୋଟି ବିଭାଗ ଅଛି ଯାହାର ଦୂରତା ଅନୁପାତ 2:3:5 | ଯଦି ସମୁଦାୟ ଯାତ୍ରା 600 କିମି ଓ ଟ୍ରେନ୍ଟି ସମୁଦାୟ 10 ଘଣ୍ଟା ନିଏ, ତେବେ ସମୟ ଅନୁପାତ କେତେ ହେବ ଯଦି ଗତିଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ 4:3:2 ଅନୁପାତରେ ଅଛି? A) 2:3:5 B) 1:2:3 C) 2:4:5 D) 1:3:5

ଉତ୍ତର: B) 1:2:3

ସମାଧାନ: ଦୂରତା ଅଂଶ: 2x + 3x + 5x = 600 10x = 600, x = 60 ଦୂରତାଗୁଡ଼ିକ: 120 କିମି, 180 କିମି, 300 କିମି ସମୟ = ଦୂରତା/ଗତି ସମୟ ଅନୁପାତ = (120/4):(180/3):(300/2) = 30:60:150 = 1:2:5

ଶର୍ଟକଟ: ସମୟ ଅନୁପାତ = (ଦୂରତା ଅନୁପାତ)/(ଗତି ଅନୁପାତ) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଂଶ ପାଇଁ

ଧାରଣା: ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ଜଟିଳ ଅନୁପାତ ସମ୍ପର୍କ

୫ଟି ପୂର୍ବତନ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

ପ୍ରାମାଣିକ ପରୀକ୍ଷା ଆଧାର ସହିତ PYQ-ଶୈଳୀର ପ୍ରଶ୍ନ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ:

PYQ 1. ଏକ ରେଳ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ପିଲା ଓ ଝିଅଙ୍କ ଅନୁପାତ 7:8 | ଯଦି 560 ଜଣ ଝିଅ ଅଛନ୍ତି, ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

ଉତ୍ତର: 490

ସମାଧାନ: ଝିଅ = 8x = 560 x = 70 ପିଲା = 7x = 7 × 70 = 490

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସର୍ବଦା ଚିହ୍ନଟ କରନ୍ତୁ କେଉଁ ପରିମାଣଟି କେଉଁ ଅନୁପାତ ଅଂଶ ସହିତ ମେଳ ଖାଉଛି

PYQ 2. 4 ଓ 9 ମଧ୍ୟରେ ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତିକ ଖୋଜନ୍ତୁ | [RRB Group D 2022]

ଉତ୍ତର: 6

ସମାଧାନ: ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତିକ = √(4 × 9) = √36 = 6

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ମନେରଖନ୍ତୁ ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତିକ ସର୍ବଦା ଗୁଣଫଳର ବର୍ଗମୂଳ ହୁଏ

PYQ 3. ଯଦି 2:7 = 6:x, ତେବେ x ସମାନ [RRB ALP 2018]

ଉତ୍ତର: 21

ସମାଧାନ: 2 × x = 7 × 6 2x = 42 x = 21

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସମାନୁପାତ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ କ୍ରସ୍-ଗୁଣନ ସବୁଠାରୁ ଦ୍ରୁତ ପଦ୍ଧତି

PYQ 4. ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 5:7 | ଯଦି ଲମ୍ବା ଟ୍ରେନ୍ଟି 350m ହୁଏ, ଛୋଟ ଟ୍ରେନ୍ଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ? [RRB JE 2019]

ଉତ୍ତର: 250m

ସମାଧାନ: ଲମ୍ବା ଟ୍ରେନ୍ = 7x = 350 x = 50 ଛୋଟ ଟ୍ରେନ୍ = 5x = 5 × 50 = 250m

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ନିଶ୍ଚିତ କରନ୍ତୁ କେଉଁ ଅନୁପାତ ଅଂଶଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ପରିମାଣ ସହିତ ମେଳ ଖାଉଛି

PYQ 5. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ରେ ଟିକେଟ୍ ବିହୀନ ଯାତ୍ରୀ ଓ ଟିକେଟ୍ ଧାରୀଙ୍କ ଅନୁପାତ 1:15 | ଯଦି ସମୁଦାୟ 480 ଜଣ ଯାତ୍ରୀ ଅଛନ୍ତି, କେତେଜଣ ଟିକେଟ୍ ବିହୀନ? [RPF SI 2019]

ଉତ୍ତର: 30

ସମାଧାନ: ସମୁଦାୟ ଅନୁପାତ ଅଂଶ = 1 + 15 = 16 ଟିକେଟ୍ ବିହୀନ ଯାତ୍ରୀ = 480 × (1/16) = 30

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସମୁଦାୟ ପରିମାଣ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ ସମସ୍ତ ଅନୁପାତ ଅଂଶ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ

ଦ୍ରୁତ ଟ୍ରିକ୍ ଓ ଶର୍ଟକଟ

ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ ପାଇଁ, ପରୀକ୍ଷା-ପରୀକ୍ଷିତ ଶର୍ଟକଟ୍ ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍ ଯାହା ଟାଳିବା ଉଚିତ୍

ଦ୍ରୁତ ସମୀକ୍ଷା ଫ୍ଲାସ୍ କାର୍ଡ୍