অনুপাত ও সমানুপাত
মূল ধারণা ও সূত্র
অনুপাত ও সমানুপাতের জন্য ৫-৭টি অপরিহার্য ধারণা প্রদান করুন:
| # | ধারণা | সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | মৌলিক অনুপাত | দুটি রাশির তুলনা a:b আকারে, পড়া হয় “a অনুপাত b” |
| 2 | সমানুপাত | দুটি অনুপাতের সমতা: a:b = c:d, এছাড়াও a:b::c:d হিসাবে লেখা হয় |
| 3 | মধ্য সমানুপাতিক | যখন তিনটি পদ ধারাবাহিক সমানুপাতে থাকে তখন মধ্য পদ: a:x = x:b, তাহলে x = √(ab) |
| 4 | তৃতীয় সমানুপাতিক | a এবং b সংখ্যার জন্য, তৃতীয় সমানুপাতিক x সন্তুষ্ট করে a:b = b:x, সুতরাং x = b²/a |
| 5 | যৌগিক অনুপাত | দুই বা ততোধিক অনুপাতের গুণফল: (a:b) এবং (c:d) দেয় (ac:bd) |
| 6 | দ্বিগুণ অনুপাত | একটি অনুপাতের বর্গ: a:b এর দ্বিগুণ অনুপাত হল a²:b² |
অপরিহার্য সূত্র
| সূত্র | ব্যবহার |
|---|---|
| a:b = c:d অর্থাৎ ad = bc | [কখন ব্যবহার করবেন] সমানুপাত সমীকরণ যাচাই বা সমাধানের জন্য ক্রস-গুণন |
| a,b এর মধ্য সমানুপাতিক = √(ab) | [কখন ব্যবহার করবেন] ধারাবাহিক সমানুপাতে মধ্য পদ নির্ণয়ে |
| a,b এর তৃতীয় সমানুপাতিক = b²/a | [কখন ব্যবহার করবেন] যখন প্রথম দুটি পদ দেওয়া থাকে তখন চতুর্থ পদ নির্ণয়ে |
| যদি a:b = c:d হয়, তাহলে a+b:b = c+d:d | [কখন ব্যবহার করবেন] অনুপাত নিপুণ করার জন্য যোজন নিয়ম |
| যদি a:b = c:d হয়, তাহলে a-b:b = c-d:d | [কখন ব্যবহার করবেন] অনুপাত নিপুণ করার জন্য বিয়োজন নিয়ম |
১০টি অনুশীলন এমসিকিউ
ক্রমবর্ধমান কঠিনতার সাথে ১০টি এমসিকিউ তৈরি করুন (প্রশ্ন ১-৩: সহজ, প্রশ্ন ৪-৭: মধ্যম, প্রশ্ন ৮-১০: কঠিন)
প্রশ্ন ১. দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩:৪। যদি ছোট ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার হয়, তাহলে বড় ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত? ক) ২০০মি খ) ২৪০মি গ) ২৭০মি ঘ) ৩২০মি
উত্তর: খ) ২৪০মি
সমাধান: ধরি, দৈর্ঘ্য ৩x এবং ৪x প্রদত্ত: ৩x = ১৮০ মিটার সুতরাং, x = ৬০ মিটার বড় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৪x = ৪ × ৬০ = ২৪০ মিটার
শর্টকাট: ১৮০ × (৪/৩) = ২৪০ মিটার
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - মৌলিক অনুপাত প্রয়োগ
প্রশ্ন ২. একটি ট্রেনে যাত্রীবাহী কোচ ও মালবাহী ওয়াগনের অনুপাত ৫:৮। যদি ৬৫টি যাত্রীবাহী কোচ থাকে, তাহলে কতগুলি মালবাহী ওয়াগন আছে? ক) ৯১ খ) ১০৪ গ) ১১৭ ঘ) ১৩০
উত্তর: খ) ১০৪
সমাধান: ধরি, যাত্রীবাহী কোচ = ৫x, মালবাহী ওয়াগন = ৮x প্রদত্ত: ৫x = ৬৫ সুতরাং, x = ১৩ মালবাহী ওয়াগন = ৮x = ৮ × ১৩ = ১০৪
শর্টকাট: ৬৫ × (৮/৫) = ১৩ × ৮ = ১০৪
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - অজানা রাশি নির্ণয়
প্রশ্ন ৩. ৯ এবং ১৬ এর মধ্য সমানুপাতিক নির্ণয় করুন। ক) ১২ খ) ১৪ গ) ১৫ ঘ) ১৮
উত্তর: ক) ১২
সমাধান: মধ্য সমানুপাতিক = √(৯ × ১৬) = √১৪৪ = ১২
শর্টকাট: √(৯ × ১৬) = √(৩² × ৪²) = ৩ × ৪ = ১২
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - মধ্য সমানুপাতিক গণনা
প্রশ্ন ৪. একটি ট্রেন ৩ ঘন্টায় ২৪০ কিমি এবং ৪ ঘন্টায় ৩২০ কিমি অতিক্রম করে। গতিগুলো কি সমানুপাতে আছে? ক) হ্যাঁ, তারা ৩:৪ অনুপাতে আছে খ) হ্যাঁ, উভয়ই ৮০ কিমি/ঘন্টা গ) না, অনুপাত ভিন্ন ঘ) নির্ধারণ করা যায় না
উত্তর: খ) হ্যাঁ, উভয়ই ৮০ কিমি/ঘন্টা
সমাধান: প্রথম গতি = ২৪০/৩ = ৮০ কিমি/ঘন্টা দ্বিতীয় গতি = ৩২০/৪ = ৮০ কিমি/ঘন্টা যেহেতু উভয় গতি সমান (৮০:৮০ = ১:১), তাই তারা সমানুপাতে আছে
শর্টকাট: গতিগুলো আলাদাভাবে গণনা করে তুলনা করুন
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - সমানুপাত যাচাইকরণ
প্রশ্ন ৫. যদি ৩:৫ = x:২০ হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন। ক) ৯ খ) ১২ গ) ১৫ ঘ) ১৮
উত্তর: খ) ১২
সমাধান: ক্রস-গুণন ব্যবহার করে: ৩ × ২০ = ৫ × x ৬০ = ৫x x = ৬০/৫ = ১২
শর্টকাট: x = (৩ × ২০)/৫ = ১২
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - সমানুপাত সমীকরণ সমাধান
প্রশ্ন ৬. প্ল্যাটফর্ম টিকিট ও ট্রেন টিকিট বিক্রির অনুপাত ৭:১২। যদি ৮৪টি প্ল্যাটফর্ম টিকিট বিক্রি হয়, তাহলে মোট কতটি টিকিট বিক্রি হয়েছিল? ক) ২২৮ খ) ২৫২ গ) ২৭৬ ঘ) ৩০০
উত্তর: গ) ২২৮
সমাধান: ধরি, প্ল্যাটফর্ম টিকিট = ৭x = ৮৪ সুতরাং, x = ১২ ট্রেন টিকিট = ১২x = ১২ × ১২ = ১৪৪ মোট টিকিট = ৮৪ + ১৪৪ = ২২৮
শর্টকাট: মোট অনুপাতের অংশ = ৭ + ১২ = ১৯ মোট টিকিট = ৮৪ × (১৯/৭) = ২২৮
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - মোট পরিমাণ গণনা
প্রশ্ন ৭. ৮ এবং ১২ এর তৃতীয় সমানুপাতিক নির্ণয় করুন। ক) ১৬ খ) ১৮ গ) ২০ ঘ) ২৪
উত্তর: খ) ১৮
সমাধান: যদি ৮:১২ = ১২:x হয়, তাহলে x = ১২²/৮ = ১৪৪/৮ = ১৮
শর্টকাট: x = b²/a = ১২²/৮ = ১৪৪/৮ = ১৮
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - তৃতীয় সমানুপাতিক
প্রশ্ন ৮. দুটি ট্রেনের গতির অনুপাত ৪:৫। যদি দ্রুততর ট্রেনটি একটি দূরত্ব অতিক্রম করতে ৬ ঘন্টা সময় নেয়, তাহলে ধীরতর ট্রেনটি একই দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় নেবে? ক) ৭.৫ ঘন্টা খ) ৮ ঘন্টা গ) ৮.৫ ঘন্টা ঘ) ৯ ঘন্টা
উত্তর: ক) ৭.৫ ঘন্টা
সমাধান: গতি এবং সময় ব্যস্তানুপাতিক যদি গতির অনুপাত = ৪:৫ হয়, তাহলে সময়ের অনুপাত = ৫:৪ ধরি, ধীর ট্রেনের সময় = ৫x, দ্রুত ট্রেনের সময় = ৪x প্রদত্ত: ৪x = ৬ ঘন্টা সুতরাং, x = ১.৫ ঘন্টা ধীর ট্রেনের সময় = ৫x = ৫ × ১.৫ = ৭.৫ ঘন্টা
শর্টকাট: সময় = ৬ × (৫/৪) = ৭.৫ ঘন্টা
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - ব্যস্তানুপাতিকতা
প্রশ্ন ৯. একটি রেলওয়ে কর্মশালায়, দক্ষ ও অদক্ষ কর্মীর অনুপাত ৫:৩। যদি আরও ২০ জন দক্ষ কর্মী নিয়োগ দেওয়া হয়, তাহলে অনুপাত ৩:১ হয়ে যায়। অদক্ষ কর্মীদের আসল সংখ্যা নির্ণয় করুন। ক) ২৪ খ) ৩০ গ) ৩৬ ঘ) ৪৫
উত্তর: খ) ৩০
সমাধান: ধরি, আসল দক্ষ = ৫x, অদক্ষ = ৩x নিয়োগের পর: (৫x + ২০):৩x = ৩:১ ক্রস-গুণন করে: ৫x + ২০ = ৯x ৪x = ২০ x = ৫ আসল অদক্ষ কর্মী = ৩x = ৩ × ৫ = ৩০
শর্টকাট: সমীকরণ তৈরি করে x এর জন্য সমাধান করুন
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - পরিবর্তনশীল অনুপাত
প্রশ্ন ১০. একটি ট্রেনের যাত্রায় তিনটি অংশ রয়েছে যার দূরত্বের অনুপাত ২:৩:৫। যদি মোট যাত্রা ৬০০ কিমি হয় এবং ট্রেনটি মোট ১০ ঘন্টা সময় নেয়, তাহলে সময়ের অনুপাত নির্ণয় করুন যদি গতিগুলো যথাক্রমে ৪:৩:২ অনুপাতে থাকে। ক) ২:৩:৫ খ) ১:২:৩ গ) ২:৪:৫ ঘ) ১:৩:৫
উত্তর: খ) ১:২:৫
সমাধান: দূরত্বের অংশ: ২x + ৩x + ৫x = ৬০০ ১০x = ৬০০, x = ৬০ দূরত্ব: ১২০ কিমি, ১৮০ কিমি, ৩০০ কিমি সময় = দূরত্ব/গতি সময়ের অনুপাত = (১২০/৪):(১৮০/৩):(৩০০/২) = ৩০:৬০:১৫০ = ১:২:৫
শর্টকাট: সময়ের অনুপাত = (দূরত্বের অনুপাত)/(গতির অনুপাত) প্রতিটি অংশের জন্য
ধারণা: অনুপাত ও সমানুপাত - জটিল অনুপাত সম্পর্ক
৫টি পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্ন
প্রামাণিক পরীক্ষার রেফারেন্স সহ পিওয়াইকিউ-স্টাইলের প্রশ্ন তৈরি করুন:
পিওয়াইকিউ ১. একটি রেলওয়ে বিদ্যালয়ে ছেলে ও মেয়েদের অনুপাত ৭:৮। যদি ৫৬০ জন মেয়ে থাকে, তাহলে ছেলেদের সংখ্যা নির্ণয় করুন। [আরআরবি এনটিপিসি ২০২১ সিবিটি-১]
উত্তর: ৪৯০
সমাধান: মেয়ে = ৮x = ৫৬০ x = ৭০ ছেলে = ৭x = ৭ × ৭০ = ৪৯০
পরীক্ষার টিপ: সর্বদা চিহ্নিত করুন কোন পরিমাণ কোন অনুপাতের অংশের সাথে মিলছে
পিওয়াইকিউ ২. ৪ এবং ৯ এর মধ্য সমানুপাতিক নির্ণয় করুন। [আরআরবি গ্রুপ ডি ২০২২]
উত্তর: ৬
সমাধান: মধ্য সমানুপাতিক = √(৪ × ৯) = √৩৬ = ৬
পরীক্ষার টিপ: মনে রাখবেন মধ্য সমানুপাতিক সর্বদা গুণফলের বর্গমূল
পিওয়াইকিউ ৩. যদি ২:৭ = ৬:x হয়, তাহলে x এর মান [আরআরবি এএলপি ২০১৮]
উত্তর: ২১
সমাধান: ২ × x = ৭ × ৬ ২x = ৪২ x = ২১
পরীক্ষার টিপ: সমানুপাত সমাধানের জন্য ক্রস-গুণন হল দ্রুততম পদ্ধতি
পিওয়াইকিউ ৪. দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫:৭। যদি বড় ট্রেনটি ৩৫০মি হয়, তাহলে ছোট ট্রেনটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন। [আরআরবি জেই ২০১৯]
উত্তর: ২৫০মি
সমাধান: বড় ট্রেন = ৭x = ৩৫০ x = ৫০ ছোট ট্রেন = ৫x = ৫ × ৫০ = ২৫০মি
পরীক্ষার টিপ: নিশ্চিত করুন আপনি কোন অনুপাতের অংশ প্রদত্ত পরিমাণের সাথে মিলছে
পিওয়াইকিউ ৫. একটি ট্রেনে টিকিটবিহীন ভ্রমণকারী ও টিকিটধারীদের অনুপাত ১:১৫। যদি মোট ৪৮০ জন যাত্রী থাকে, তাহলে কতজন টিকিটবিহীন? [আরপিএফ এসআই ২০১৯]
উত্তর: ৩০
সমাধান: মোট অনুপাতের অংশ = ১ + ১৫ = ১৬ টিকিটবিহীন ভ্রমণকারী = ৪৮০ × (১/১৬) = ৩০
পরীক্ষার টিপ: মোট পরিমাণের প্রশ্নের জন্য, প্রথমে সব অনুপাতের অংশ যোগ করুন
গতির কৌশল ও শর্টকাট
অনুপাত ও সমানুপাতের জন্য, পরীক্ষায় পরীক্ষিত শর্টকাট প্রদান করুন:
| পরিস্থিতি | শর্টকাট | উদাহরণ |
|---|---|---|
| সমানুপাতে অজানা নির্ণয় | সরাসরি ক্রস-গুণ করুন | যদি ৩:৫ = x:২০ হয়, তাহলে x = (৩×২০)/৫ = ১২ |
| মধ্য সমানুপাতিক | গুণ করুন এবং বর্গমূল নিন | ৪,৯ এর মধ্য সমানুপাতিক = √(৪×৯) = ৬ |
| তৃতীয় সমানুপাতিক | মধ্য পদের বর্গ করুন, প্রথম পদ দিয়ে ভাগ করুন | ৪,৬ এর তৃতীয় সমানুপাতিক = ৬²/৪ = ৩৬/৪ = ৯ |
| যৌগিক অনুপাত | সংশ্লিষ্ট পদগুলিকে গুণ করুন | (২:৩) এবং (৪:৫) → (২×৪):(৩×৫) = ৮:১৫ |
| মোটের অনুপাত | প্রথমে একটি এককের মান নির্ণয় করুন | যদি অনুপাত ৩:৪ হয় এবং প্রথম রাশি ৪৫ হয়, তাহলে ১ একক = ১৫, দ্বিতীয় রাশি = ৪×১৫ = ৬০ |
এড়াতে সাধারণ ভুলগুলি
| ভুল | শিক্ষার্থীরা কেন এটি করে | সঠিক পদ্ধতি |
|---|---|---|
| মধ্য ও তৃতীয় সমানুপাতিক গুলিয়ে ফেলা | উভয়ই তিনটি পদ জড়িত | মধ্য: a:x = x:b, তৃতীয়: a:b = b:x |
| সরাসরি অনুপাত যোগ করা | ভগ্নাংশের মতো আচরণ করা | একই ভিত্তিতে রূপান্তর করুন বা একক পদ্ধতি ব্যবহার করুন |
| অনুপাত সরলীকরণ না করা | জটিল আকারে রাখা | সর্বদা নিম্নতম পদে হ্রাস করুন (৪:৬ → ২:৩) |
| অনুপাতের ক্রম উল্টে দেওয়া | a:b এর পরিবর্তে b:a লেখা | প্রশ্নে কোন রাশি প্রথম আসছে তা পরীক্ষা করুন |
| সব অংশ যোগ করতে ভুলে যাওয়া | মোট পরিমাণের প্রশ্নে | a:b:c অনুপাতের জন্য, মোট অংশ = a+b+c |
দ্রুত সংশোধন ফ্ল্যাশকার্ড
| সামনে (প্রশ্ন/পরিভাষা) | পিছনে (উত্তর) |
|---|---|
| অনুপাত কি? | একই জাতির দুটি রাশির তুলনা |
| যদি a:b = c:d হয়, তাহলে? | ad = bc (ক্রস-গুণন) |
| মধ্য সমানুপাতিক সূত্র | √(ab) |
| a,b এর তৃতীয় সমানুপাতিক | b²/a |
| যোজন নিয়ম | যদি a:b = c:d হয়, তাহলে a+b:b = c+d:d |
| বিয়োজন নিয়ম | যদি a:b = c:d হয়, তাহলে a-b:b = c-d:d |
| ২:৩ এর দ্বিগুণ অনুপাত | ৪:৯ |
| উপ-দ্বিগুণ অনুপাত | প্রদত্ত অনুপাতের বর্গমূল |
| যদি ৩:৪ = x:১২ হয়, x নির্ণয় করুন | ৯ |
| অনুপাতের অবশ্যই কি থাকতে হবে? | উভয় রাশির জন্য একই একক |
বিষয় সংযোগ
অনুপাত ও সমানুপাত কিভাবে অন্যান্য আরআরবি পরীক্ষার বিষয়ের সাথে যুক্ত:
- সরাসরি সংযোগ: অংশীদারিত্ব (লাভ বণ্টন অনুপাত), মিশ্রণ (ঘনত্ব অনুপাত), সময় ও কাজ (দক্ষতা অনুপাত)
- সম্মিলিত প্রশ্ন: বয়স (সময়সহ বয়সের অনুপাত), গতি-দূরত্ব-সময় (গতির অনুপাত), শতকরা (অনুপাত থেকে শতকরায় রূপান্তর)
- ভিত্তি: অ্যালিগেশন পদ্ধতি, চেইন রুল, পরিবর্তন সমস্যা, সময় ও কাজ দক্ষতা গণনা
BETA
