गुणोत्तर व प्रमाण
मुख्य संकल्पना व सूत्रे
गुणोत्तर व प्रमाण यासाठी ५-७ आवश्यक संकल्पना द्या:
| # | संकल्पना | संक्षिप्त स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | मूलभूत गुणोत्तर | दोन राशींची a:b या स्वरूपात तुलना, “a is to b” असे वाचले जाते |
| 2 | प्रमाण | दोन गुणोत्तरांची समानता: a:b = c:d, हे a:b::c:d असेही लिहिले जाते |
| 3 | मध्यम प्रमाणपद | जेव्हा तीन पदे सतत प्रमाणात असतात तेव्हाचे मधले पद: a:x = x:b, तर x = √(ab) |
| 4 | तृतीय प्रमाणपद | a आणि b या संख्यांसाठी, तृतीय प्रमाणपद x हे a:b = b:x पूर्ण करते, म्हणून x = b²/a |
| 5 | संयुक्त गुणोत्तर | दोन किंवा अधिक गुणोत्तरांचा गुणाकार: (a:b) आणि (c:d) देते (ac:bd) |
| 6 | द्विगुणित गुणोत्तर | गुणोत्तराचा वर्ग: a:b चे द्विगुणित गुणोत्तर a²:b² आहे |
आवश्यक सूत्रे
| सूत्र | वापर |
|---|---|
| a:b = c:d म्हणजे ad = bc | [कधी वापरायचे] प्रमाण समीकरणे सत्यापित करण्यासाठी किंवा सोडवण्यासाठी चौरस गुणाकार |
| a,b चे मध्यम प्रमाणपद = √(ab) | [कधी वापरायचे] सतत प्रमाणात मधले पद शोधण्यासाठी |
| a,b चे तृतीय प्रमाणपद = b²/a | [कधी वापरायचे] पहिली दोन पदे दिली असता चौथे पद शोधण्यासाठी |
| जर a:b = c:d, तर a+b:b = c+d:d | [कधी वापरायचे] गुणोत्तर हाताळणीसाठी योग क्रिया |
| जर a:b = c:d, तर a-b:b = c-d:d | [कधी वापरायचे] गुणोत्तर हाताळणीसाठी भाग क्रिया |
१० सराव बहुपर्यायी प्रश्न (MCQs)
वाढत्या अडचणीचे १० बहुपर्यायी प्रश्न तयार करा (प्रश्न १-३: सोपे, प्रश्न ४-७: मध्यम, प्रश्न ८-१०: कठीण)
प्रश्न १. दोन गाड्यांच्या लांबीचे गुणोत्तर ३:४ आहे. जर लहान गाडी १८० मीटर लांब असेल, तर मोठ्या गाडीची लांबी किती? A) २०० मी B) २४० मी C) २७० मी D) ३२० मी
उत्तर: B) २४० मी
उकल: लांबी ३x आणि ४x मानू दिलेले: ३x = १८० मीटर म्हणून, x = ६० मीटर मोठ्या गाडीची लांबी = ४x = ४ × ६० = २४० मीटर
शॉर्टकट: १८० × (४/३) = २४० मीटर
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - मूलभूत गुणोत्तराचा उपयोग
प्रश्न २. एखाद्या गाडीतील प्रवासी डब्यांचे आणि मालवाहू डब्यांचे गुणोत्तर ५:८ आहे. जर ६५ प्रवासी डबे असतील, तर मालवाहू डबे किती? A) ९१ B) १०४ C) ११७ D) १३०
उत्तर: B) १०४
उकल: प्रवासी डबे = ५x, मालवाहू डबे = ८x मानू दिलेले: ५x = ६५ म्हणून, x = १३ मालवाहू डबे = ८x = ८ × १३ = १०४
शॉर्टकट: ६५ × (८/५) = १३ × ८ = १०४
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - अज्ञात राशी शोधणे
प्रश्न ३. ९ आणि १६ यांचे मध्यम प्रमाणपद शोधा. A) १२ B) १४ C) १५ D) १८
उत्तर: A) १२
उकल: मध्यम प्रमाणपद = √(९ × १६) = √१४४ = १२
शॉर्टकट: √(९ × १६) = √(३² × ४²) = ३ × ४ = १२
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - मध्यम प्रमाणपदाची गणना
प्रश्न ४. एक गाडी २४० किमी ३ तासात आणि ३२० किमी ४ तासात पार करते. गती प्रमाणात आहेत का? A) होय, त्या ३:४ या गुणोत्तरात आहेत B) होय, दोन्ही ८० किमी/तास आहेत C) नाही, गुणोत्तर वेगळे आहे D) ठरवता येत नाही
उत्तर: B) होय, दोन्ही ८० किमी/तास आहेत
उकल: पहिली गती = २४०/३ = ८० किमी/तास दुसरी गती = ३२०/४ = ८० किमी/तास दोन्ही गती समान असल्याने (८०:८० = १:१), त्या प्रमाणात आहेत
शॉर्टकट: गती स्वतंत्रपणे काढून तुलना करा
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - प्रमाणता सत्यापित करणे
प्रश्न ५. जर ३:५ = x:२०, तर x ची किंमत शोधा. A) ९ B) १२ C) १५ D) १८
उत्तर: B) १२
उकल: चौरस गुणाकार वापरून: ३ × २० = ५ × x ६० = ५x x = ६०/५ = १२
शॉर्टकट: x = (३ × २०)/५ = १२
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - प्रमाण समीकरणे सोडवणे
प्रश्न ६. प्लॅटफॉर्म तिकिटे आणि गाडी तिकिटे यांच्या विक्रीचे गुणोत्तर ७:१२ आहे. जर ८४ प्लॅटफॉर्म तिकिटे विकली गेली, तर एकूण किती तिकिटे विकली गेली? A) २२८ B) २५२ C) २७६ D) ३००
उत्तर: C) २२८
उकल: प्लॅटफॉर्म तिकिटे = ७x = ८४ मानू म्हणून, x = १२ गाडी तिकिटे = १२x = १२ × १२ = १४४ एकूण तिकिटे = ८४ + १४४ = २२८
शॉर्टकट: एकूण गुणोत्तर भाग = ७ + १२ = १९ एकूण तिकिटे = ८४ × (१९/७) = २२८
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - एकूण राशीची गणना
प्रश्न ७. ८ आणि १२ यांचे तृतीय प्रमाणपद शोधा. A) १६ B) १८ C) २० D) २४
उत्तर: B) १८
उकल: जर ८:१२ = १२:x, तर x = १२²/८ = १४४/८ = १८
शॉर्टकट: x = b²/a = १२²/८ = १४४/८ = १८
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - तृतीय प्रमाणपद
प्रश्न ८. दोन गाड्यांच्या गतीचे गुणोत्तर ४:५ आहे. जर वेगवान गाडीला एक अंतर कापण्यासाठी ६ तास लागतात, तर हेच अंतर कापण्यासाठी मंद गाडीला किती वेळ लागेल? A) ७.५ तास B) ८ तास C) ८.५ तास D) ९ तास
उत्तर: A) ७.५ तास
उकल: गती आणि वेळ व्यस्त प्रमाणात असतात जर गतीचे गुणोत्तर = ४:५, तर वेळेचे गुणोत्तर = ५:४ मंद गाडीचा वेळ = ५x, वेगवान गाडीचा वेळ = ४x मानू दिलेले: ४x = ६ तास म्हणून, x = १.५ तास मंद गाडीचा वेळ = ५x = ५ × १.५ = ७.५ तास
शॉर्टकट: वेळ = ६ × (५/४) = ७.५ तास
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - व्यस्त प्रमाणता
प्रश्न ९. एका रेल्वे कारखान्यात, कुशल आणि अकुशल कामगार यांचे गुणोत्तर ५:३ आहे. जर २० अधिक कुशल कामगार भरती केले, तर गुणोत्तर ३:१ होते. मूळ अकुशल कामगारांची संख्या शोधा. A) २४ B) ३० C) ३६ D) ४५
उत्तर: B) ३०
उकल: मूळ कुशल = ५x, अकुशल = ३x मानू भरतीनंतर: (५x + २०):३x = ३:१ चौरस गुणाकार: ५x + २० = ९x ४x = २० x = ५ मूळ अकुशल कामगार = ३x = ३ × ५ = ३०
शॉर्टकट: समीकरण तयार करून x साठी सोडवा
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - बदलणारी गुणोत्तरे
प्रश्न १०. एका गाडीच्या प्रवासात तीन विभाग आहेत ज्यांच्या अंतरांचे गुणोत्तर २:३:५ आहे. जर एकूण प्रवास ६०० किमी असेल आणि गाडीला एकूण १० तास लागतात, तर वेग अनुक्रमे ४:३:२ या गुणोत्तरात असल्यास वेळेचे गुणोत्तर शोधा. A) २:३:५ B) १:२:३ C) २:४:५ D) १:३:५
उत्तर: B) १:२:३
उकल: अंतराचे भाग: २x + ३x + ५x = ६०० १०x = ६००, x = ६० अंतरे: १२० किमी, १८० किमी, ३०० किमी वेळ = अंतर/वेग वेळेचे गुणोत्तर = (१२०/४):(१८०/३):(३००/२) = ३०:६०:१५० = १:२:५
शॉर्टकट: वेळेचे गुणोत्तर = (अंतराचे गुणोत्तर)/(वेगाचे गुणोत्तर) प्रत्येक भागासाठी
संकल्पना: गुणोत्तर व प्रमाण - जटिल गुणोत्तर संबंध
५ मागील वर्षांचे प्रश्न (PYQ)
खऱ्या परीक्षा संदर्भांसह मागील वर्षांच्या प्रश्नांच्या शैलीतील प्रश्न तयार करा:
PYQ १. एका रेल्वे शाळेत मुला आणि मुलींचे गुणोत्तर ७:८ आहे. जर ५६० मुली असतील, तर मुलांची संख्या शोधा. [RRB NTPC 2021 CBT-1]
उत्तर: ४९०
उकल: मुली = ८x = ५६० x = ७० मुले = ७x = ७ × ७० = ४९०
परीक्षा टिप: नेहमी कोणती राशी कोणत्या गुणोत्तर भागाशी जुळते ते ओळखा
PYQ २. ४ आणि ९ यांचे मध्यम प्रमाणपद शोधा. [RRB Group D 2022]
उत्तर: ६
उकल: मध्यम प्रमाणपद = √(४ × ९) = √३६ = ६
परीक्षा टिप: मध्यम प्रमाणपद नेहमी गुणाकाराचे वर्गमूळ असते हे लक्षात ठेवा
PYQ ३. जर २:७ = ६:x, तर x बरोबर [RRB ALP 2018]
उत्तर: २१
उकल: २ × x = ७ × ६ २x = ४२ x = २१
परीक्षा टिप: प्रमाणे सोडवण्यासाठी चौरस गुणाकार ही सर्वात जलद पद्धत आहे
PYQ ४. दोन गाड्यांच्या लांबीचे गुणोत्तर ५:७ आहे. जर मोठी गाडी ३५० मीटर असेल, तर लहान गाडीची लांबी शोधा. [RRB JE 2019]
उत्तर: २५० मी
उकल: मोठी गाडी = ७x = ३५० x = ५० लहान गाडी = ५x = ५ × ५० = २५० मी
परीक्षा टिप: दिलेली राशी कोणत्या गुणोत्तर भागाशी जुळते याची खात्री करा
PYQ ५. एखाद्या गाडीतील तिकीट नसलेल्या प्रवाशांचे आणि तिकीट असलेल्या प्रवाशांचे गुणोत्तर १:१५ आहे. जर एकूण ४८० प्रवासी असतील, तर तिकीट नसलेले किती प्रवासी आहेत? [RPF SI 2019]
उत्तर: ३०
उकल: एकूण गुणोत्तर भाग = १ + १५ = १६ तिकीट नसलेले प्रवासी = ४८० × (१/१६) = ३०
परीक्षा टिप: एकूण राशीच्या प्रश्नांसाठी प्रथम सर्व गुणोत्तर भागांची बेरीज करा
गती ट्रिक्स व शॉर्टकट्स
गुणोत्तर व प्रमाणासाठी, परीक्षेत तपासलेले शॉर्टकट द्या:
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्रमाणात अज्ञात शोधणे | थेट चौरस गुणाकार करा | जर ३:५ = x:२०, तर x = (३×२०)/५ = १२ |
| मध्यम प्रमाणपद | गुणाकार करून वर्गमूळ घ्या | ४,९ चे मध्यम प्रमाणपद = √(४×९) = ६ |
| तृतीय प्रमाणपद | मधले पद वर्ग करा, पहिल्याने भागा | ४,६ चे तृतीय प्रमाणपद = ६²/४ = ३६/४ = ९ |
| संयुक्त गुणोत्तर | संबंधित पदांचा गुणाकार करा | (२:३) आणि (४:५) → (२×४):(३×५) = ८:१५ |
| एकूण राशीचे गुणोत्तर | प्रथम एक एकक मूल्य शोधा | जर गुणोत्तर ३:४ असेल आणि पहिली राशी ४५ असेल, तर १ एकक = १५, दुसरी राशी = ४×१५ = ६० |
टाळावयाच्या सामान्य चुका
| चूक | विद्यार्थी ही चूक का करतात | योग्य पद्धत |
|---|---|---|
| मध्यम आणि तृतीय प्रमाणपदात गोंधळ | दोन्हीमध्ये तीन पदे असतात | मध्यम: a:x = x:b, तृतीय: a:b = b:x |
| गुणोत्तरे थेट बेरीज करणे | त्यांना अपूर्णांकासारखे वागवणे | समान पायावर रूपांतर करा किंवा एकक पद्धत वापरा |
| गुणोत्तरे सोपी न करणे | गुंतागुंतीच्या स्वरूपात सोडणे | नेहमी किमान पदांमध्ये संक्षिप्त करा (४:६ → २:३) |
| गुणोत्तर क्रम उलटा करणे | a:b ऐवजी b:a लिहिणे | प्रश्नात कोणती राशी प्रथम येते ते तपासा |
| सर्व भागांची बेरीज विसरून जाणे | एकूण राशीच्या प्रश्नांमध्ये | a:b:c या गुणोत्तरासाठी, एकूण भाग = a+b+c |
द्रुत पुनरावलोकन फ्लॅशकार्ड
| समोर (प्रश्न/संज्ञा) | मागे (उत्तर) |
|---|---|
| गुणोत्तर म्हणजे काय? | एकाच प्रकारच्या दोन राशींची तुलना |
| जर a:b = c:d, तर? | ad = bc (चौरस गुणाकार) |
| मध्यम प्रमाणपदाचे सूत्र | √(ab) |
| a,b चे तृतीय प्रमाणपद | b²/a |
| योग क्रियेचा नियम | जर a:b = c:d, तर a+b:b = c+d:d |
| भाग क्रियेचा नियम | जर a:b = c:d, तर a-b:b = c-d:d |
| २:३ चे द्विगुणित गुणोत्तर | ४:९ |
| उप-द्विगुणित गुणोत्तर | दिलेल्या गुणोत्तराचे वर्गमूळ |
| जर ३:४ = x:१२, तर x शोधा | ९ |
| गुणोत्तरात काय असणे आवश्यक आहे? | दोन्ही राशींसाठी समान एकके |
विषय संबंध
गुणोत्तर व प्रमाण इतर आरआरबी परीक्षा विषयांशी कसे जोडलेले आहे:
- थेट दुवा: भागीदारी (नफा वाटप गुणोत्तर), मिश्रण (एकाग्रता गुणोत्तर), वेळ व काम (कार्यक्षमता गुणोत्तर)
- एकत्रित प्रश्न: वय (कालांतराने वयाची गुणोत्तरे), गती-अंतर-वेळ (गतीची गुणोत्तरे), टक्केवारी (गुणोत्तराचे टक्केवारीत रूपांतर)
- पाया: मिश्रण पद्धत, साखळी नियम, बदल समस्या, वेळ व काम कार्यक्षमता गणना
BETA
