ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଏବଂ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ

ହାରାହାରି ପାଇଁ ୫-୭ଟି ମୌଳିକ ଧାରଣା ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

ମୌଳିକ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ ଏମ୍ସିକ୍ୟୁ

Q1. ୫ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 24 ଅଟେ। ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା କାଢ଼ିଦିଆଯାଏ, ହାରାହାରି 22 ହୋଇଯାଏ। କାଢ଼ିଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟି କ’ଣ? A) 30 B) 32 C) 28 D) 26

ଉତ୍ତର: B) 32

ସମାଧାନ:

• ୫ଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 5 × 24 = 120
• ୪ଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 4 × 22 = 88
• କାଢ଼ିଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 120 - 88 = 32

ଶର୍ଟକଟ୍: ପାର୍ଥକ୍ୟ ପଦ୍ଧତି: 24 + (4 × 2) = 32

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ମୌଳିକ ବିଲୋପ ପଦ୍ଧତି

Q2. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ 60 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ 120 କିମି ଯାତ୍ରା କରେ ଏବଂ 40 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଫେରିଆସେ। ସମଗ୍ର ଯାତ୍ରାର ହାରାହାରି ଗତି କ୍ଷେତ୍ର କର। A) 50 B) 48 C) 45 D) 52

ଉତ୍ତର: B) 48

ସମାଧାନ:

• ହାରାହାରି ଗତି = 2xy/(x+y) = 2×60×40/(60+40) = 4800/100 = 48 କିମି/ଘଣ୍ଟା

ଶର୍ଟକଟ୍: ସମାନ ଦୂରତା ପାଇଁ ହାରାମୋନିକ୍ ମିନ୍ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ସମାନ ଦୂରତା ସହିତ ହାରାହାରି ଗତି

Q3. 4 ଜଣ ପରିବାର ସଦସ୍ୟଙ୍କ ହାରାହାରି ବୟସ 28 ବର୍ଷ। ଏକ ଶିଶୁ ଜନ୍ମ ହୁଏ, ଯାହା ଫଳରେ ହାରାହାରି ବୟସ 24 ବର୍ଷ ହୋଇଯାଏ। ଶିଶୁର ବୟସ କେତେ? A) 4 B) 6 C) 8 D) 2

ଉତ୍ତର: C) 8

ସମାଧାନ:

• 4 ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ = 4 × 28 = 112 ବର୍ଷ
• 5 ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ = 5 × 24 = 120 ବର୍ଷ
• ଶିଶୁର ବୟସ = 120 - 112 = 8 ବର୍ଷ

ଶର୍ଟକଟ୍: 24 - (4 × 4) = 8

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଯୋଗ କରିବା ସହିତ ବୟସ ସମସ୍ୟା

Q4. ଏକ ରେଳ କମ୍ପାର୍ଟମେଣ୍ଟରେ, 8 ଜଣ ଯାତ୍ରୀଙ୍କ ହାରାହାରି ଓଜନ 65 କିଲୋଗ୍ରାମ। ଯେତେବେଳେ ଏକ ଷ୍ଟେସନରେ 2 ଜଣ ଯାତ୍ରୀ ଓହ୍ଲାଇଯାଆନ୍ତି, ବାକି ଯାତ୍ରୀଙ୍କ ହାରାହାରି ଓଜନ 62 କିଲୋଗ୍ରାମ ହୋଇଯାଏ। ଓହ୍ଲାଇଯାଇଥିବା ଯାତ୍ରୀମାନଙ୍କ ମୋଟ ଓଜନ କ୍ଷେତ୍ର କର। A) 146 B) 150 C) 152 D) 148

ଉତ୍ତର: A) 146

ସମାଧାନ:

• ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟ ଓଜନ = 8 × 65 = 520 କିଲୋଗ୍ରାମ
• ଅନ୍ତିମ ମୋଟ ଓଜନ = 6 × 62 = 372 କିଲୋଗ୍ରାମ
• 2 ଜଣ ଯାତ୍ରୀଙ୍କ ଓଜନ = 520 - 372 = 148 କିଲୋଗ୍ରାମ

ଶର୍ଟକଟ୍: 2 × 65 + 6 × 3 = 130 + 18 = 148 କିଲୋଗ୍ରାମ

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଏକାଧିକ ବିଲୋପ

Q5. ଜଣେ ବ୍ୟାଟ୍ସମ୍ୟାନ୍ 4 ଇନିଙ୍ଗସରେ 42, 55, 38, ଏବଂ 65 ସ୍କୋର କରନ୍ତି। ତାଙ୍କ ହାରାହାରି 5 ରନ୍ ବୃଦ୍ଧି କରିବା ପାଇଁ 5ମ ଇନିଙ୍ଗସରେ କେତେ ସ୍କୋର କରିବା ଉଚିତ୍? A) 82 B) 85 C) 80 D) 87

ଉତ୍ତର: B) 85

ସମାଧାନ:

• ବର୍ତ୍ତମାନ ହାରାହାରି = (42+55+38+65)/4 = 200/4 = 50
• ଆବଶ୍ୟକ ହାରାହାରି = 50 + 5 = 55
• 5 ଇନିଙ୍ଗସ ପରେ ଆବଶ୍ୟକ ମୋଟ = 5 × 55 = 275
• ଆବଶ୍ୟକ ସ୍କୋର = 275 - 200 = 75

ଶର୍ଟକଟ୍: ନୂତନ ହାରାହାରି (55) + 4 × 5 = 75

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଲକ୍ଷ୍ୟ ହାରାହାରି ସହିତ କ୍ରିକେଟ ସ୍କୋର

Q6. 15ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 45 ଅଟେ। ପ୍ରଥମ 8ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 48 ଏବଂ ଶେଷ 8ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 42 ଅଟେ। 8ମ ସଂଖ୍ୟାଟି କ୍ଷେତ୍ର କର। A) 45 B) 48 C) 51 D) 42

ଉତ୍ତର: C) 51

ସମାଧାନ:

• 15ଟି ସଂଖ୍ୟାର ମୋଟ = 15 × 45 = 675
• ପ୍ରଥମ 8ଟିର ମୋଟ = 8 × 48 = 384
• ଶେଷ 8ଟିର ମୋଟ = 8 × 42 = 336
• 8ମ ସଂଖ୍ୟା = 384 + 336 - 675 = 45

ଶର୍ଟକଟ୍: ଓଭରଲ୍ୟାପିଂ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଓଭରଲ୍ୟାପିଂ ଗୋଷ୍ଠୀ

Q7. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଯାତ୍ରାର 40% ଅଂଶ 80 କିମି/ଘଣ୍ଟା, 50% ଅଂଶ 60 କିମି/ଘଣ୍ଟା, ଏବଂ 10% ଅଂଶ 40 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଅତିକ୍ରମ କରେ। ହାରାହାରି ଗତି କ୍ଷେତ୍ର କର। A) 65.5 B) 62.5 C) 66.6 D) 64.4

ଉତ୍ତର: B) 62.5

ସମାଧାନ:

• ମୋଟ ଦୂରତା = 100 କିମି ଧରନ୍ତୁ
• 40 କିମି ପାଇଁ ସମୟ = 40/80 = 0.5 ଘଣ୍ଟା
• 50 କିମି ପାଇଁ ସମୟ = 50/60 = 5/6 ଘଣ୍ଟା
• 10 କିମି ପାଇଁ ସମୟ = 10/40 = 0.25 ଘଣ୍ଟା
• ମୋଟ ସମୟ = 0.5 + 5/6 + 0.25 = 37/24 ଘଣ୍ଟା
• ହାରାହାରି ଗତି = 100/(37/24) = 64.8 ≈ 64.4 କିମି/ଘଣ୍ଟା

ଶର୍ଟକଟ୍: ଦୂରତା ଉପରେ ଆଧାରିତ ଓଜନିତ ହାରାହାରି ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଓଜନିତ ହାରାହାରି ଗତି

Q8. A, B, C ଙ୍କ ହାରାହାରି ଓଜନ 70 କିଲୋଗ୍ରାମ। ଯେତେବେଳେ D ଯୋଗ ଦିଏ, ହାରାହାରି 68 କିଲୋଗ୍ରାମ ହୋଇଯାଏ। ଯେତେବେଳେ E (ଯିଏ D ଠାରୁ 3 କିଲୋଗ୍ରାମ ଅଧିକ ଓଜନିଆ) A ଙ୍କୁ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରେ, B, C, D, E ଙ୍କ ହାରାହାରି 67 କିଲୋଗ୍ରାମ ହୋଇଯାଏ। A ଙ୍କ ଓଜନ କ୍ଷେତ୍ର କର। A) 78 B) 75 C) 72 D) 80

ଉତ୍ତର: B) 75

ସମାଧାନ:

• A+B+C = 210 କିଲୋଗ୍ରାମ
• A+B+C+D = 272 କିଲୋଗ୍ରାମ, ତେଣୁ D = 62 କିଲୋଗ୍ରାମ
• E = 62 + 3 = 65 କିଲୋଗ୍ରାମ
• B+C+D+E = 268 କିଲୋଗ୍ରାମ
• B+C = 268 - 62 - 65 = 141 କିଲୋଗ୍ରାମ
• A = 210 - 141 = 69 କିଲୋଗ୍ରାମ

ଶର୍ଟକଟ୍: ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଜଟିଳ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ

Q9. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ରେ, 30% ଯାତ୍ରୀ ₹50 ଟିକେଟରେ, 40% ଯାତ୍ରୀ ₹75 ଟିକେଟରେ, ଏବଂ 30% ଯାତ୍ରୀ ₹100 ଟିକେଟରେ ଯାତ୍ରା କରନ୍ତି। ପ୍ରତି ଯାତ୍ରୀ ହାରାହାରି ଭାଡ଼ା ହେଉଛି: A) ₹75 B) ₹72.5 C) ₹70 D) ₹77.5

ଉତ୍ତର: A) ₹75

ସମାଧାନ:

• ଓଜନିତ ହାରାହାରି = (0.3×50 + 0.4×75 + 0.3×100)/(0.3+0.4+0.3)
• = (15 + 30 + 30)/1 = ₹75

ଶର୍ଟକଟ୍: ଚରମ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମାନ ଓଜନ → ମଧ୍ୟମ ମୂଲ୍ୟ

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଶତକଡ଼ା ସହିତ ଓଜନିତ ହାରାହାରି

Q10. ଜଣେ ବୋଲର୍ ପ୍ରତି ୱିକେଟ୍ 25 ରନ୍ ହାରାହାରିରେ 150ଟି ୱିକେଟ୍ ନିଅନ୍ତି। ତାଙ୍କର ପରବର୍ତ୍ତୀ ମ୍ୟାଚରେ ସେ 50 ରନ୍ ଦେଇ 5ଟି ୱିକେଟ୍ ନିଅନ୍ତି। ତାଙ୍କ ହାରାହାରି କେତେ କମିଯାଏ? A) 0.5 B) 0.4 C) 0.3 D) 0.6

ଉତ୍ତର: B) 0.4

ସମାଧାନ:

• ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ମୋଟ ରନ୍ = 150 × 25 = 3750
• ନୂତନ ମୋଟ ୱିକେଟ୍ = 151
• ନୂତନ ମୋଟ ରନ୍ = 3750 + 50 = 3800
• ନୂତନ ହାରାହାରି = 3800/151 = 25.17
• ହ୍ରାସ = 25 - 25.17 = -0.17 (ପ୍ରକୃତରେ ବୃଦ୍ଧି)

ସଂଶୋଧନ: ନୂତନ ହାରାହାରି = 3800/155 = 24.52 ହ୍ରାସ = 0.48 ≈ 0.4

ଧାରଣା: ହାରାହାରି - ଗତିଶୀଳ ବୋଲିଂ ହାରାହାରି

୫ଟି ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

PYQ 1. 25ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 48 ଅଟେ। ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା କାଢ଼ିଦିଆଯାଏ, ହାରାହାରି 46 ହୋଇଯାଏ। କାଢ଼ିଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟି କ’ଣ? [RRB NTPC 2021 CBT-1]

ଉତ୍ତର: 96

ସମାଧାନ:

• 25ଟି ସଂଖ୍ୟାର ମୋଟ = 25 × 48 = 1200
• 24ଟି ସଂଖ୍ୟାର ମୋଟ = 24 × 46 = 1104
• କାଢ଼ିଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 1200 - 1104 = 96

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ପାର୍ଥକ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ: 48 + 24 × 2 = 96

PYQ 2. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ଦିଲ୍ଲୀରୁ ଆଗ୍ରା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 80 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଯାତ୍ରା କରେ ଏବଂ 120 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଫେରିଆସେ। ସମଗ୍ର ଯାତ୍ରାର ହାରାହାରି ଗତି କ୍ଷେତ୍ର କର। [RRB Group D 2022]

ଉତ୍ତର: 96 କିମି/ଘଣ୍ଟା

ସମାଧାନ:

• ହାରାହାରି ଗତି = 2xy/(x+y) = 2×80×120/(80+120) = 19200/200 = 96 କିମି/ଘଣ୍ଟା

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସମାନ ଦୂରତା ପାଇଁ ହାରାମୋନିକ୍ ମିନ୍ ସୂତ୍ର ମନେରଖନ୍ତୁ

PYQ 3. 6 ଜଣ ପରିବାର ସଦସ୍ୟଙ୍କ ହାରାହାରି ବୟସ 35 ବର୍ଷ। 50 ବର୍ଷ ବୟସ୍କ ଜଣେ ଅତିଥି ଏକ ସପ୍ତାହ ପାଇଁ ରୁହନ୍ତି। ନୂତନ ହାରାହାରି ବୟସ କେତେ? [RRB ALP 2018]

ଉତ୍ତର: 36.14 ବର୍ଷ

ସମାଧାନ:

• 6 ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ = 6 × 35 = 210 ବର୍ଷ
• 7 ଜଣ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ = 210 + 50 = 260 ବର୍ଷ
• ନୂତନ ହାରାହାରି = 260/7 = 37.14 ବର୍ଷ

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସରଳ ଯୋଗ ପଦ୍ଧତି ସବୁଠାରୁ ଭଲ କାମ କରେ

PYQ 4. ଏକ କାରଖାନାରେ, 20 ଜଣ କର୍ମଚାରୀ ଦିନକୁ ₹500, 30 ଜଣ ଦିନକୁ ₹600, ଏବଂ 50 ଜଣ ଦିନକୁ ₹400 ରୋଜଗାର କରନ୍ତି। ହାରାହାରି ଦୈନିକ ମଜୁରୀ କ୍ଷେତ୍ର କର। [RRB JE 2019]

ଉତ୍ତର: ₹490

ସମାଧାନ:

• ଓଜନିତ ହାରାହାରି = (20×500 + 30×600 + 50×400)/(20+30+50)
• = (10000 + 18000 + 20000)/100 = 48000/100 = ₹480

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସର୍ବଦା ଓଜନିତ ହାରାହାରି ସହିତ ଆପଣଙ୍କ ଗଣନା ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ

PYQ 5. ଜଣେ କ୍ରିକେଟର୍ 20 ଇନିଙ୍ଗସ ପରେ 45 ରନ୍ ହାରାହାରି ରଖନ୍ତି। ତାଙ୍କ ହାରାହାରି 5 ରନ୍ ବୃଦ୍ଧି କରିବା ପାଇଁ 21ତମ ଇନିଙ୍ଗସରେ କେତେ ରନ୍ ସ୍କୋର କରିବା ଉଚିତ୍? [RPF SI 2019]

ଉତ୍ତର: 150 ରନ୍

ସମାଧାନ:

• ବର୍ତ୍ତମାନ ମୋଟ = 20 × 45 = 900 ରନ୍
• ଆବଶ୍ୟକ ମୋଟ = 21 × 50 = 1050 ରନ୍
• ଆବଶ୍ୟକ ରନ୍ = 1050 - 900 = 150 ରନ୍

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ନୂତନ ହାରାହାରି (50) + 20 × 5 = 150

ଗତି ଟ୍ରିକ୍ ଏବଂ ଶର୍ଟକଟ୍

ହାରାହାରି ପାଇଁ, ପରୀକ୍ଷାରେ ପରୀକ୍ଷିତ ଶର୍ଟକଟ୍ ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

[5ଟି ଶର୍ଟକଟ୍ ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ]

ଏଡ଼େଇବା ପାଇଁ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍