सरासरी
मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे
सरासरीसाठी ५-७ आवश्यक संकल्पना द्या:
| # | संकल्पना | संक्षिप्त स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | मूलभूत सरासरी | सर्व मूल्यांची बेरीज भागिले मूल्यांची संख्या |
| २ | भारित सरासरी | सरासरी जिथे वेगवेगळ्या मूल्यांचे वेगवेगळे महत्त्व/वजन असते |
| ३ | सरासरी गती | एकूण अंतर भागिले एकूण वेळ (गतीची सरासरी नाही) |
| ४ | क्रिकेट सरासरी | एकूण धावा भागिले डावांची संख्या (किंवा गोलंदाजीसाठी बळी) |
| ५ | बदली पद्धत | जेव्हा एखादी व्यक्ती सोडते/सामील होते, तेव्हा नवीन सरासरी शोधण्यासाठी फरक पद्धत वापरा |
| ६ | वयाचे प्रश्न | सदस्य जोडल्यास/काढल्यास सरासरी वयात बदल होतो |
| ७ | एकत्रित गट | सूत्र: n₁A₁ + n₂A₂ = (n₁+n₂)A जेव्हा दोन गट एकत्र होतात |
आवश्यक सूत्रे
| सूत्र | वापर |
|---|---|
| सरासरी = बेरीज/संख्या | [जेव्हा मूल्ये समान महत्त्वाची असतात] |
| भारित सरासरी = Σ(w×x)/Σw | [जेव्हा मूल्यांचे वेगवेगळे वजन/महत्त्व असते] |
| सरासरी गती = एकूण अंतर/एकूण वेळ | [अंतर-गती-वेळेच्या प्रश्नांसाठी] |
| नवीन सरासरी = जुनी सरासरी ± (फरक/एकूण वस्तू) | [जेव्हा वस्तू जोडल्या/काढल्या जातात] |
१० सराव बहुपर्यायी प्रश्न
प्रश्न १. ५ संख्यांची सरासरी २४ आहे. जर एक संख्या काढली, तर सरासरी २२ होते. काढलेली संख्या काय आहे? अ) ३० ब) ३२ क) २८ ड) २६
उत्तर: ब) ३२
उकल:
- ५ संख्यांची बेरीज = ५ × २४ = १२०
- ४ संख्यांची बेरीज = ४ × २२ = ८८
- काढलेली संख्या = १२० - ८८ = ३२
शॉर्टकट: फरक पद्धत: २४ + (४ × २) = ३२
संकल्पना: सरासरी - मूलभूत काढण्याची पद्धत
प्रश्न २. एक ट्रेन १२० किमी ६० किमी/तास वेगाने प्रवास करते आणि ४० किमी/तास वेगाने परत येते. संपूर्ण प्रवासासाठी सरासरी गती शोधा. अ) ५० ब) ४८ क) ४५ ड) ५२
उत्तर: ब) ४८
उकल:
- सरासरी गती = २xy/(x+y) = २×६०×४०/(६०+४०) = ४८००/१०० = ४८ किमी/तास
शॉर्टकट: समान अंतरासाठी हार्मोनिक मीन सूत्र वापरा
संकल्पना: सरासरी - समान अंतरासह सरासरी गती
प्रश्न ३. ४ कुटुंबातील सदस्यांचे सरासरी वय २८ वर्षे आहे. एक बाळ जन्माला येते, ज्यामुळे सरासरी वय २४ वर्षे होते. बाळाचे वय काय आहे? अ) ४ ब) ६ क) ८ ड) २
उत्तर: क) ८
उकल:
- ४ सदस्यांचे एकूण वय = ४ × २८ = ११२ वर्षे
- ५ सदस्यांचे एकूण वय = ५ × २४ = १२० वर्षे
- बाळाचे वय = १२० - ११२ = ८ वर्षे
शॉर्टकट: २४ - (४ × ४) = ८
संकल्पना: सरासरी - जोडणीसह वयाचे प्रश्न
प्रश्न ४. रेल्वे डब्यात, ८ प्रवाशांचे सरासरी वजन ६५ किलो आहे. जेव्हा एका स्टेशनवर २ प्रवासी उतरतात, तेव्हा उरलेल्या प्रवाशांचे सरासरी वजन ६२ किलो होते. उतरलेल्या प्रवाशांचे एकूण वजन शोधा. अ) १४६ ब) १५० क) १५२ ड) १४८
उत्तर: अ) १४६
उकल:
- प्रारंभिक एकूण वजन = ८ × ६५ = ५२० किलो
- अंतिम एकूण वजन = ६ × ६२ = ३७२ किलो
- २ प्रवाशांचे वजन = ५२० - ३७२ = १४८ किलो
शॉर्टकट: २ × ६५ + ६ × ३ = १३० + १८ = १४८ किलो
संकल्पना: सरासरी - एकाधिक काढणे
प्रश्न ५. एका फलंदाजाने ४ डावांमध्ये ४२, ५५, ३८ आणि ६५ धावा केल्या. ५व्या डावात त्याने किती धावा कराव्यात जेणेकरून त्याची सरासरी ५ धावांनी वाढेल? अ) ८२ ब) ८५ क) ८० ड) ८७
उत्तर: ब) ८५
उकल:
- सध्याची सरासरी = (४२+५५+३८+६५)/४ = २००/४ = ५०
- आवश्यक सरासरी = ५० + ५ = ५५
- ५ डावांनंतर आवश्यक एकूण = ५ × ५५ = २७५
- आवश्यक धावा = २७५ - २०० = ७५
शॉर्टकट: नवीन सरासरी (५५) + ४ × ५ = ७५
संकल्पना: सरासरी - लक्ष्य सरासरीसह क्रिकेट स्कोअर
प्रश्न ६. १५ संख्यांची सरासरी ४५ आहे. पहिल्या ८ संख्यांची सरासरी ४८ आहे आणि शेवटच्या ८ संख्यांची सरासरी ४२ आहे. ८वी संख्या शोधा. अ) ४५ ब) ४८ क) ५१ ड) ४२
उत्तर: क) ५१
उकल:
- १५ संख्यांची एकूण बेरीज = १५ × ४५ = ६७५
- पहिल्या ८ ची बेरीज = ८ × ४८ = ३८४
- शेवटच्या ८ ची बेरीज = ८ × ४२ = ३३६
- ८वी संख्या = ३८४ + ३३६ - ६७५ = ४५
शॉर्टकट: ओव्हरलॅपिंग सूत्र वापरा
संकल्पना: सरासरी - ओव्हरलॅपिंग गट
प्रश्न ७. एक ट्रेन ४०% प्रवास ८० किमी/तास वेगाने, ५०% प्रवास ६० किमी/तास वेगाने आणि १०% प्रवास ४० किमी/तास वेगाने पूर्ण करते. सरासरी गती शोधा. अ) ६५.५ ब) ६२.५ क) ६६.६ ड) ६४.४
उत्तर: ब) ६२.५
उकल:
- एकूण अंतर = १०० किमी मानू
- ४० किमीसाठी वेळ = ४०/८० = ०.५ तास
- ५० किमीसाठी वेळ = ५०/६० = ५/६ तास
- १० किमीसाठी वेळ = १०/४० = ०.२५ तास
- एकूण वेळ = ०.५ + ५/६ + ०.२५ = ३७/२४ तास
- सरासरी गती = १००/(३७/२४) = ६४.८ ≈ ६४.४ किमी/तास
शॉर्टकट: अंतरावर आधारित भारित सरासरी वापरा
संकल्पना: सरासरी - भारित सरासरी गती
प्रश्न ८. A, B, C चे सरासरी वजन ७० किलो आहे. जेव्हा D सामील होतो, तेव्हा सरासरी ६८ किलो होते. जेव्हा E (ज्याचे वजन D पेक्षा ३ किलो जास्त आहे) A ची जागा घेतो, तेव्हा B, C, D, E ची सरासरी ६७ किलो होते. A चे वजन शोधा. अ) ७८ ब) ७५ क) ७२ ड) ८०
उत्तर: ब) ७५
उकल:
- A+B+C = २१० किलो
- A+B+C+D = २७२ किलो, म्हणून D = ६२ किलो
- E = ६२ + ३ = ६५ किलो
- B+C+D+E = २६८ किलो
- B+C = २६८ - ६२ - ६५ = १४१ किलो
- A = २१० - १४१ = ६९ किलो
शॉर्टकट: पद्धतशीर समीकरण सोडवणे वापरा
संकल्पना: सरासरी - जटिल बदली
प्रश्न ९. एका ट्रेनमध्ये, ३०% प्रवासी ₹५० च्या तिकिटावर, ४०% प्रवासी ₹७५ च्या तिकिटावर आणि ३०% प्रवासी ₹१०० च्या तिकिटावर प्रवास करतात. प्रति प्रवासी सरासरी भाडे आहे: अ) ₹७५ ब) ₹७२.५ क) ₹७० ड) ₹७७.५
उत्तर: अ) ₹७५
उकल:
- भारित सरासरी = (०.३×५० + ०.४×७५ + ०.३×१००)/(०.३+०.४+०.३)
- = (१५ + ३० + ३०)/१ = ₹७५
शॉर्टकट: अत्यंत मूल्यांसाठी समान वजन → मध्यम मूल्य
संकल्पना: सरासरी - टक्केवारीसह भारित सरासरी
प्रश्न १०. एका गोलंदाजाने २५ धावा प्रति बळी सरासरीने १५० बळी घेतले आहेत. त्याच्या पुढील सामन्यात त्याने ५० धावांत ५ बळी घेतले. त्याची सरासरी कितीने कमी होते? अ) ०.५ ब) ०.४ क) ०.३ ड) ०.६
उत्तर: ब) ०.४
उकल:
- मागील एकूण धावा = १५० × २५ = ३७५०
- नवीन एकूण बळी = १५१
- नवीन एकूण धावा = ३७५० + ५० = ३८००
- नवीन सरासरी = ३८००/१५१ = २५.१७
- घट = २५ - २५.१७ = -०.१७ (वास्तविक वाढ)
दुरुस्ती: नवीन सरासरी = ३८००/१५५ = २४.५२ घट = ०.४८ ≈ ०.४
संकल्पना: सरासरी - डायनॅमिक गोलंदाजी सरासरी
५ मागील वर्षांचे प्रश्न
मागील वर्ष प्रश्न १. २५ संख्यांची सरासरी ४८ आहे. जर एक संख्या काढली, तर सरासरी ४६ होते. काढलेली संख्या काय आहे? [आरआरबी एनटीपीसी २०२१ सीबीटी-१]
उत्तर: ९६
उकल:
- २५ संख्यांची एकूण बेरीज = २५ × ४८ = १२००
- २४ संख्यांची एकूण बेरीज = २४ × ४६ = ११०४
- काढलेली संख्या = १२०० - ११०४ = ९६
परीक्षा टिप: फरक पद्धत वापरा: ४८ + २४ × २ = ९६
मागील वर्ष प्रश्न २. एक ट्रेन दिल्लीहून आग्र्याला ८० किमी/तास वेगाने प्रवास करते आणि १२० किमी/तास वेगाने परत येते. संपूर्ण प्रवासासाठी सरासरी गती शोधा. [आरआरबी ग्रुप डी २०२२]
उत्तर: ९६ किमी/तास
उकल:
- सरासरी गती = २xy/(x+y) = २×८०×१२०/(८०+१२०) = १९२००/२०० = ९६ किमी/तास
परीक्षा टिप: समान अंतरासाठी हार्मोनिक मीन सूत्र लक्षात ठेवा
मागील वर्ष प्रश्न ३. ६ कुटुंबातील सदस्यांचे सरासरी वय ३५ वर्षे आहे. ५० वर्षे वयाचा पाहुणा एका आठवड्यासाठी राहतो. नवीन सरासरी वय काय आहे? [आरआरबी एएलपी २०१८]
उत्तर: ३६.१४ वर्षे
उकल:
- ६ सदस्यांचे एकूण वय = ६ × ३५ = २१० वर्षे
- ७ व्यक्तींचे एकूण वय = २१० + ५० = २६० वर्षे
- नवीन सरासरी = २६०/७ = ३७.१४ वर्षे
परीक्षा टिप: साधी बेरीज पद्धत सर्वोत्तम कार्य करते
मागील वर्ष प्रश्न ४. एका कारखान्यात, २० कामगार ₹५००/दिवस कमावतात, ३० कामगार ₹६००/दिवस कमावतात आणि ५० कामगार ₹४००/दिवस कमावतात. सरासरी दैनिक मजुरी शोधा. [आरआरबी जेई २०१९]
उत्तर: ₹४९०
उकल:
- भारित सरासरी = (२०×५०० + ३०×६०० + ५०×४००)/(२०+३०+५०)
- = (१०००० + १८००० + २००००)/१०० = ४८०००/१०० = ₹४८०
परीक्षा टिप: भारित सरासरीसह नेहमी तुमची गणना सत्यापित करा
मागील वर्ष प्रश्न ५. एका क्रिकेटपटूची २० डावांनंतर ४५ धावांची सरासरी आहे. २१व्या डावात त्याने किती धावा कराव्यात जेणेकरून त्याची सरासरी ५ धावांनी वाढेल? [आरपीएफ एसआय २०१९]
उत्तर: १५० धावा
उकल:
- सध्याची एकूण धावा = २० × ४५ = ९०० धावा
- आवश्यक एकूण धावा = २१ × ५० = १०५० धावा
- आवश्यक धावा = १०५० - ९०० = १५० धावा
परीक्षा टिप: नवीन सरासरी (५०) + २० × ५ = १५०
गती ट्रिक्स आणि शॉर्टकट्स
सरासरीसाठी, परीक्षेत तपासलेले शॉर्टकट द्या:
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| समान अंतर सरासरी गती | २xy/(x+y) वापरा | वर:६०, खाली:४० → २×६०×४०/१०० = ४८ किमी/तास |
| वस्तू जोडणे/काढणे | नवीन सरासरी = जुनी सरासरी ± (फरक/n) | ५ वस्तूंमधून ३० काढा ज्यांची सरासरी २५ आहे: २५ + ५ = ३० |
| क्रिकेट सरासरी | नवीन स्कोअर = नवीन सरासरी + (n-१)×वाढ | १० डावांनंतर सरासरी ४० वरून ४५ पर्यंत वाढवण्यासाठी: ४५ + ९×५ = ९० |
| % सह भारित सरासरी | प्रत्येकाला % ने गुणा आणि बेरीज करा | ३०%@५०, ७०%@८० → ०.३×५० + ०.७×८० = ७१ |
| वयाचे प्रश्न | n×फरक पद्धत वापरा | ५ लोकांचे सरासरी वय ३०, बाळासह २८ होते: बाळाचे वय = ३० - ५×२ = २० |
[५ शॉर्टकट द्या]
टाळावयाच्या सामान्य चुका
| चूक | विद्यार्थी ही चूक का करतात | योग्य दृष्टीकोन |
|---|---|---|
| गतीसाठी अंकगणितीय मध्य वापरणे | समान अंतरासाठी हार्मोनिक मीन विसरणे | ये-जा प्रवासासाठी २xy/(x+y) वापरा |
| भारित सरासरीमध्ये वजन विचारात न घेणे | सर्व मूल्ये समान मानणे | नेहमी तपासा की मूल्यांचे वेगवेगळे महत्त्व आहे का |
| टक्केवारीची सरासरी थेट काढणे | मूळ मूल्ये दुर्लक्षित करणे | प्रथम वास्तविक मूल्यांमध्ये रूपांतरित करा, नंतर सरासरी काढा |
| जोडताना/काढताना संख्या समायोजित करणे विसरणे | मानसिक गणनेतील त्रुटी | नेहमी नवीन संख्या (n±१) सत्यापित करा |
| क्रिकेट सरासरीसाठी चुकीचे सूत्र वापरणे | फलंदाजी आणि गोलंदाजी सरासरीमध्ये गोंधळ | फलंदाजी: धावा/डाव, गोलंदाजी: धावा/बळी |
[५ सामान्य चुका द्या]
द्रुत पुनरावलोकन फ्लॅशकार्ड
| समोर (प्रश्न/संज्ञा) | मागे (उत्तर) |
|---|---|
| मूलभूत सरासरी सूत्र | बेरीज ÷ संख्या |
| भारित सरासरी सूत्र | Σ(वजन × मूल्य) ÷ Σवजन |
| सरासरी गती (समान अंतर) | २xy/(x+y) |
| जेव्हा वस्तू जोडली/काढली जाते | नवीन सरासरी = जुनी ± (फरक/संख्या) |
| क्रिकेट फलंदाजी सरासरी | एकूण धावा ÷ डाव |
| हार्मोनिक मीन | n/(1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) |
| पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांची सरासरी | (n+१)/२ |
| पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांची सरासरी | n(n+१)(२n+१)/६n |
| दोन गटांची एकत्रित सरासरी | (n₁A₁ + n₂A₂)/(n₁ + n₂) |
| वयाच्या प्रश्नाचा शॉर्टकट | नवीन सदस्याचे वय = नवीन सरासरी - (जुनी संख्या × फरक) |
विषय कनेक्शन्स
सरासरी इतर आरआरबी परीक्षा विषयांशी कशी जोडली गेली आहे:
- थेट लिंक: डेटा इंटरप्रिटेशन - सारण्या/आलेखांमधून सरासरी काढणे हे अतिशय सामान्य आहे
- एकत्रित प्रश्न: मिश्रित किंमतीसाठी भारित सरासरीसह नफा-तोटा, सरासरी कार्यक्षमतेसह वेळ-कार्य
- पाया: सांख्यिकी (मध्य, मध्यक, बहुलक), मिश्रण समस्यांसाठी मिश्रण पद्धत, क्रीडा मेट्रिक्समधील कामगिरी विश्लेषण
BETA
