असमानता
प्रमुख संकल्पनाएँ और सूत्र
| # | संकल्पना | त्वरित व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | >, <, ≥, ≤, = | > : बड़ा, < : छोटा, ≥ : छोटा नहीं, ≤ : बड़ा नहीं, = : बराबर |
| 2 | चेन नियम | एक दिशा में समान चिन्हों को जोड़ें: A>B>C ⇒ A>C; A<B<C ⇒ A<C |
| 3 | चेन में ≥ और ≤ | छोरों से समानता हटा दें: A≥B≥C ⇒ A≥C (A=C संभव) |
| 4 | निष्कर्षों में या तो | यदि दो निष्कर्ष A=B और A>B हों, और एक सही होना चाहिए ⇒ “या तो I या II” |
| 5 | पूरक युग्म | A≥B और A<B एक युग्म बनाते हैं—हमेशा ठीक-ठीक एक सही होता है |
| 6 | कोडित असमानताएँ | पहले प्रतीक को डिकोड करें (जैसे © का अर्थ >) फिर सामान्य नियम लगाएं |
| 7 | प्राथमिकता क्रम | पहले डिकोड करें, फिर एकल चेन बनाएं, फिर हर निष्कर्ष जांचें |
10 अभ्यास MCQs
1. कथन: K ≥ L = M; N < L ≥ O. निष्कर्ष: I. K > O II. M ≤ N
**उत्तर:** केवल I सत्य है **हल:** चेन: K ≥ L (=M) > O ⇒ K > O (I सत्य). M = L > N ⇒ M > N ⇒ II असत्य. **शॉर्टकट:** एकल क्षैतिज रेखा खींचें: K---L(M)---O; चिन्ह दाएं की ओर. **संकल्पना टैग:** चेन नियम, ≥ + > देता है >2. कथन: A < B ≤ C = D; E ≥ C. निष्कर्ष: I. E ≥ B II. D > A
**उत्तर:** I और II दोनों सत्य हैं **हल:** B ≤ C ≤ E ⇒ E ≥ B (I). A < B ≤ C = D ⇒ A < D (II). **शॉर्टकट:** दो अभिसरित चेनों की कल्पना करें. **संकल्पना टैग:** संक्रामकता3. कथन: P > Q ≥ R = S; T ≥ Q. निष्कर्ष: I. T ≥ R II. P > S
**उत्तर:** दोनों सत्य **हल:** T ≥ Q ≥ R ⇒ T ≥ R; P > Q ≥ R = S ⇒ P > S. **कॉन्सेप्ट टैग:** Common middle term4. कथन: X ≤ Y ≤ Z; W ≥ Y > V. निष्कर्ष: I. X ≤ W II. Z > V
**उत्तर:** केवल I सत्य **हल:** X ≤ Y ≤ W ⇒ X ≤ W; Z ≥ Y > V ⇒ Z > V (लेकिन Y≤Z, Z=V की अनुमति देता है) इसलिए II हमेशा सत्य नहीं. **शॉर्टकट:** ≥/≤ में इक्वैलिटी एस्केप देखें. **कॉन्सेप्ट टैग:** Equality trap5. कथन: 6 > 9 © 5 ▲ 3 (© = ≥, ▲ = <). कौन-सा व्यंजक सत्य है?
**उत्तर:** 9 ≥ 5 **हल:** डिकोड: 6>9, 9≥5, 5<3. विकल्पों में केवल 9≥5 दिया है. **शॉर्टकट:** प्रतीकों को तुरंत बदलें. **कॉन्सेप्ट टैग:** Coded inequality6. कथन: J ≤ K < L ≥ M; K ≥ N. निष्कर्ष: I. J ≥ N II. L > N
**उत्तर:** केवल II सत्य **हल:** J ≤ K ≥ N ⇒ कोई निश्चित संबंध नहीं (I असत्य). K < L और K ≥ N ⇒ L > N (II सत्य). **शॉर्टकट:** विपरीत-दिशा तीर ⇒ कोई निष्कर्ष नहीं. **कॉन्सेप्ट टैग:** Opposite-direction rule7. कथन: A ≥ B ≥ C; D < C; E = B. निष्कर्ष: I. A ≥ E II. D < A
**उत्तर:** दोनों सत्य **हल:** A ≥ B = E ⇒ A ≥ E; D < C ≤ B ≤ A ⇒ D < A. **कॉन्सेप्ट टैग:** Equality substitution8. कथन: P ≤ Q < R; S ≥ R; T ≤ P. निष्कर्ष: I. T < R II. S ≥ P
**उत्तर:** दोनों सत्य **हल:** T ≤ P ≤ Q < R ⇒ T < R; S ≥ R > Q ≥ P ⇒ S > P लेकिन फिर भी S ≥ P. **शॉर्टकट:** ≥ समानता को शामिल करता है—हमेशा सुरक्षित. **कॉन्सेप्ट टैग:** सुरक्षित निष्कर्ष9. कथन: M > N ≤ O = P; Q ≤ N. निष्कर्ष: I. Q < M II. P ≥ Q
**उत्तर:** केवल II सत्य **हल:** Q ≤ N < M ⇒ Q < M (I आवश्यक नहीं, Q=N संभव). N ≤ O = P ⇒ Q ≤ P ⇒ P ≥ Q. **कॉन्सेप्ट टैग:** संभव बनाम आवश्यक10. कितने निष्कर्ष निश्चित रूप से सत्य हैं? कथन: 8 ≤ 9 = 10 > 7; 6 < 8.
**उत्तर:** 2 **हल:** 6<8≤9=10>7. निश्चित: 6<9, 8≤10. **शॉर्टकट:** “must” तीरों की गिनती करो. **कॉन्सेप्ट टैग:** निश्चित गिनती5 पिछले वर्ष के प्रश्न
1. कथन: A > B ≥ C; D ≤ C; E = B. निष्कर्ष: I. E ≥ C II. A > D [RRB NTPC 2021]
**उत्तर:** I और II दोनों सत्य **हल:** E=B≥C ⇒ E≥C; A>B≥C≥D ⇒ A>D.2. कथन: P ≥ Q ≥ R; S < R; T ≥ P. कौन सा सत्य नहीं है? [RRB Group-D 2019]
**उत्तर:** S ≥ T **हल:** S3. यदि ▲ का अर्थ >, ▼ का अर्थ <, ● का अर्थ =, तो कौन सा व्यंजक सही है? 7 ▲ 5 ● 5 ▼ 9 [RRB NTPC 2020]
**उत्तर:** 7 > 5 = 5 < 9 → 7 > 5 और 5 < 9 दोनों वैध.4. कथन: X ≥ Y = Z; W < Y; V ≥ X. निष्कर्ष: I. V ≥ Z II. W < V [RRB ALP 2018]
**उत्तर:** दोनों सत्य **हल:** V≥X≥Y=Z ⇒ V≥Z; W5. संयुक्त श्रृंखला: 3 ≤ 4 < 5 ≥ 6 = 2. सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? [RRB NTPC 2022]
**उत्तर:** 5 **हल:** 5 ≥ और > चिह्नों के शिखर पर स्थित है।स्पीड ट्रिक्स और शॉर्टकट
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| 1 एकल-दिशा श्रृंखला | बीच के पदों को तुरंत रद्द करें | A>B>C>D ⇒ A>D |
| 2 ≥ के बाद > | अंतिम अक्षर को कड़ा असमानता चिह्न मिलता है | A≥B>C ⇒ A>C |
| 2 निष्कर्ष A≥B & A<B | “या तो I या II” चिह्नित करें | आगे जाँचने की जरूरत नहीं |
| 4 कोडित चिह्न | पूरी पंक्ति को 5 सेकेंड में असली चिह्नों से लिखें | 5©7→5>7 |
| 5 तीन-पद लूप | यदि दिशाएँ टकराएँ ⇒ कोई संबंध नहीं | A>B<C से A-C लिंक नहीं मिलता |
टाले जाने वाली सामान्य गलतियाँ
| गलती | छात्र क्यों करते हैं | सही तरीका |
|---|---|---|
| समानता की छूट को नजरअंदाज करना | ≥ को हमेशा कड़ाई से बड़ा मान लेना | याद रखें A≥B में A=B भी हो सकता है |
| विपरीत-दिशा विलय | AC में A-D को जोड़ने की कोशिश | बीच में सामान्य पद डालें या “निर्धारित नहीं किया जा सकता” कहें |
| या-तो को भूलना | विरोधाभासी निष्कर्षों को दोनों गलत मान लेना | पूरक युग्म को पहचानें और या तो चुनें |
| कोडित चिह्नों की गलत डिकोडिंग | जल्दबाजी में ≥ को > से बदल देना | पहले रफ शीट में डबल-कोड तालिका बनाएँ |
त्वरित रिवीज़न फ़्लैशकार्ड
| सामने | पीछे |
|---|---|
| चेन की दिशा समान | बेखौफ मिलाएं |
| ≥ + > | > परिणामित होता है |
| A≥B और A<B | ठीक एक सत्य → या-तो |
| कोडित © का अर्थ | © = ≥ (सामान्य कोड) |
| विपरीत तीर | कोई निष्कर्ष संभव नहीं |
| बीच में समानता | सिरों पर गिराई जा सकती है |
| एकल शिखर नियम | सबसे बड़ा तत्व > / ≥ शिखर पर बैठता है |
| “केवल I सत्य” शॉर्टकट | समानता जाल के साथ दूसरे की जाँच करें |
| पूरक युग्म उदाहरण | A≥B & A<B, A=B & A>B |
| प्रति असमानता Q समय | लक्ष्य ≤ 35 s |
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