مختصر نظریہ

نظریۂ عدد مکمل اعداد (0, 1, 2 …) کے رویے سے متعلق ہے۔
ریلوے امتحانات کے لیے، چار ستونوں پر عبور حاصل کریں:

1. قابل تقسیم ہونے کے اصول (2-11) – ہر سوال پر 30 سیکنڈ بچاتے ہیں۔
2. مشترکہ اعظم اور مشترکہ ضربی – دو اعداد کا حاصل ضرب = مشترکہ اعظم × مشترکہ ضربی۔
3. اجزائے ضربی – ہر عدد کو پہلے اجزائے ضربی میں توڑیں۔
4. باقی کے شارٹ کٹ – “حاصل ضرب کا باقی = باقیوں کا حاصل ضرب (mod m)"۔

اکائی ہندسوں کی دوری: 1-9 کی طاقتیں ہر 4 کے بعد دہرائی جاتی ہیں۔
اولر کا نظریہ (اختیاری لیکن مفید): اگر a اور n باہمی مفرد ہوں، تو a^φ(n) ≡ 1 mod n۔
ولسن کا نتیجہ: (p−1)! ≡ −1 mod p جہاں p مفرد عدد ہے—باقی کے مسائل میں مددگار۔
پہلے اجزائے ضربی پر توجہ دیں؛ پیچیدہ نظریات صرف اس وقت استعمال کریں جب شارٹ کٹ واضح ہو۔

مشق کا سیٹ (25 MCQs)

1. آسان – سب سے چھوٹا 3 ہندسی مفرد عدد ہے
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: آپشن A۔ 101، 2، 3، 5، 7 سے تقسیم نہیں ہوتا؛ لہذا مفرد ہے۔

2. آسان – کون سا عدد 11 سے تقسیم ہوتا ہے؟
   A) 121 B) 132 C) 143 D) All
   AnswerCorrect: آپشن D۔ 121، 132، 143 سب 11 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

3. آسان – 12، 18، 30 کا مشترکہ ضربی ہے
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: آپشن A۔ 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → مشترکہ ضربی=2²·3²·5=180۔

4. آسان – 36، 84 کا مشترکہ اعظم ہے
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: آپشن B۔ 36=2²·3², 84=2²·3·7 → مشترکہ اعظم=2²·3=12۔

5. آسان – 3^2023 کا اکائی ہندسہ ہے
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: آپشن C۔ 3 کی دوری: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7۔

6. آسان – پہلے 5 مفرد اعداد کا مجموعہ ہے
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: آپشن A۔ 2+3+5+7+11=28۔

7. آسان – اگر n کو 5 سے تقسیم کرنے پر باقی 3 آتا ہے، تو n² mod 5 ہے
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: آپشن A۔ 3²=9≡4 mod 5۔

8. آسان – 72 کے عوامل کی تعداد ہے
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: آپشن B۔ 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12۔

9. آسان – کون سا مکعب ہے؟
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) All
   AnswerCorrect: آپشن D۔ بالترتیب 12³، 11³، 14³۔

10. آسان – 1001 تقسیم ہوتا ہے
    A) 7 B) 11 C) 13 D) All
    AnswerCorrect: آپشن D۔ 1001=7×11×13۔

11. درمیانہ – سب سے بڑا 4 ہندسی عدد جو 12، 15، 18 سے تقسیم ہوتا ہے
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: آپشن B۔ مشترکہ ضربی(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; لیکن 9900<9999۔ 9720 ہے 180×54 اور سب سے بڑا ≤9999۔

12. درمیانہ – اگر 3^a = 81^2، تو a برابر ہے
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: آپشن A۔ 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8۔

13. درمیانہ – 2^100 کو 7 سے تقسیم کرنے پر باقی
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: آپشن B۔ 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2۔

14. درمیانہ – 50 اور 70 کے درمیان کتنے مفرد اعداد ہیں؟
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    AnswerCorrect: آپشن A۔ 53، 59، 61، 67 → 4۔

15. درمیانہ – اگر 72 اور x کا مشترکہ اعظم 12 ہے اور مشترکہ ضربی 504 ہے، تو x ہے
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: آپشن A۔ 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84۔

16. درمیانہ – 2346 میں ہندسہ * جو اسے 8 سے تقسیم کرتا ہے
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: آپشن B۔ آخری 3 ہندسے 46 کو 8 سے تقسیم ہونا چاہیے۔ 346÷8=43.25→336، 346، 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ٹھیک۔ 336 → *=3۔

17. درمیانہ – 25! کے آخر میں صفر کی تعداد ہے
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: آپشن B۔ 25/5 + 25/25 = 5+1=6۔

18. درمیانہ – اگر n² – 1، 24 سے تقسیم ہوتا ہے، تو n ضرور ہوگا
    A) جفت B) طاق C) 3 کا ضربی D) مفرد
    AnswerCorrect: آپشن B۔ n²–1=(n-1)(n+1)۔ حاصل ضرب کے 24 سے تقسیم ہونے کے لیے، n طاق ہونا چاہیے تاکہ دونوں عوامل متواتر جفت اعداد ہوں جو 3 متواتر اعداد دیتے ہیں اور اس طرح 3 اور 8 کے عوامل ملتے ہیں۔

19. درمیانہ – 10! کو 11 سے تقسیم کرنے پر باقی ہے
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: آپشن B۔ ولسن کے نظریے کے مطابق (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11۔

20. مشکل – وہ سب سے چھوٹا 3 ہندسی عدد تلاش کریں جو 7 سے تقسیم ہونے پر باقی 3 دیتا ہے، 9 سے تقسیم ہونے پر باقی 5 دیتا ہے، اور 11 سے تقسیم ہونے پر باقی 7 دیتا ہے۔
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: آپشن B۔ نوٹ کریں کہ باقی تقسیم کنندہ سے 2 کم ہیں۔ مطلوبہ N = مشترکہ ضربی(7,9,11)k − 2 = 693k − 2۔ سب سے چھوٹا 3 ہندسی: k=1 → 691 بہت بڑا؛ k=0 → −2؛ k=1 → 691؛ 693−2=691؛ اگلا کم 693·0−2 غلط۔ دوبارہ ترتیب دیں:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 دیتا ہے۔

21. مشکل – ایسے صحیح اعداد n کی تعداد جن کے لیے 100 ≤ n ≤ 200 اور n، 210 سے باہمی مفرد ہے
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: آپشن B۔ 210=2·3·5·7۔ شامل-خارج کا اصول استعمال کریں: کل 101 اعداد۔ 2،3،5،7 کے ضربیوں کو منہا کریں اور تقاطع کو واپس جمع کریں → 48 باقی رہتے ہیں۔

22. مشکل – اگر 2^x mod 13 = 1، تو سب سے چھوٹا مثبت x ہے
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: آپشن B۔ 2، mod 13 کا ابتدائی جذر ہے → ترتیب 12۔

23. مشکل – 144 کے تمام عوامل جو مکمل مربع ہیں، کا مجموعہ ہے
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    AnswerCorrect: آپشن A۔ 144=2^4·3^2۔ مربع عوامل: طاقمتیں جفت → 2^0,2^2,2^4 اور 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210۔

24. مشکل – 2023^2023 کو 9 سے تقسیم کرنے پر باقی ہے
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: آپشن B۔ 2023 mod 9 = 7۔ 7 کی دوری mod 9: 7,4,1 → دور 3۔ 2023 mod 3 = 2 → دوسرا رکن 4۔

25. مشکل – 117! کے آخر میں صفر کی تعداد ہے
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: آپشن A۔ 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27۔

ریلوے شارٹ کٹس اور تجاویز

1. 7 سے تقسیم: آخری ہندسے کو دوگنا کر کے باقی عدد سے منہا کریں → چھوٹا ہونے تک دہرائیں۔
2. 5 سیکنڈ میں مشترکہ ضربی: اجزائے ضربی کریں، زیادہ سے زیادہ طاقتیں لیں، ضرب دیں۔
3. اکائی ہندسہ: صرف آخری ہندسہ اہم ہے؛ دوری ہر 4 پر۔
4. بڑی طاقت کا باقی: پہلے اساس کو کم کریں، پھر دوری استعمال کریں۔
5. n! میں صفر: 5 کی گنتی کریں، 2 کی نہیں۔
6. مشترکہ اعظم × مشترکہ ضربی = حاصل ضرب – اس وقت استعمال کریں جب ایک عدد غائب ہو۔
7. ولسن: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 قسم کے سوالات میں وقت بچاتا ہے۔
8. آپشن ختم کرنا: پہلے آخری ہندسہ ڈالیں، پھر جفت/طاق دیکھیں۔

30 تک مربع، 15 تک مکعب، اور 100 تک مفرد اعداد کی فہرست یاد کریں – امتحان ہال میں حساب کا 30% وقت بچاتا ہے۔