দ্ৰুত তত্ত্ব

সংখ্যা তত্ত্বই অখণ্ড সংখ্যা (0, 1, 2 …) ৰ আচৰণৰ সৈতে জড়িত।
ৰেলৱে পৰীক্ষাৰ বাবে, চাৰিটা স্তম্ভত পাকৈত হ’ব লাগে:

1. বিভাজ্যতা নিয়ম (2-11) – প্ৰতিটো প্ৰশ্নত 30 ছেকেণ্ড সাঁচি ৰাখে।
2. গ.সা.উ. আৰু ল.সা.গু. – দুটা সংখ্যাৰ গুণফল = গ.সা.উ. × ল.সা.গু.।
3. মৌলিক উৎপাদকীকৰণ – প্ৰথমে প্ৰতিটো সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাত ভাঙক।
4. ভাগশেষৰ চুটি পথ – “গুণফলৰ ভাগশেষ = ভাগশেষবোৰৰ গুণফল (mod m)”।

একক অংকৰ চক্ৰীয়তা: 1-9 ৰ ঘাতবোৰ প্ৰতি 4 ৰ অন্তৰত পুনৰাবৃত্তি হয়।
ইউলাৰৰ উপপাদ্য (ঐচ্ছিক কিন্তু সহায়ক): যদি a আৰু n সহ-মৌলিক, তেন্তে a^φ(n) ≡ 1 mod n।
ৱিলছনৰ পৰিণতি: p মৌলিক সংখ্যা হ’লে (p−1)! ≡ −1 mod p—ভাগশেষৰ সমস্যাত সহায় কৰে।
প্ৰথমে উৎপাদকীকৰণত লাগি থাকক; কেৱল চুটি পথটো স্পষ্ট হ’লেহে জটিল উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰক।

অনুশীলনী সংহতি (25 MCQ)

1. সহজ – আটাইতকৈ সৰু 3-অংকৰ মৌলিক সংখ্যাটো হ’ল
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: বিকল্প A. 101, 2, 3, 5, 7 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য নহয়; গতিকে মৌলিক।

2. সহজ – 11 ৰ দ্বাৰা কোনটো বিভাজ্য?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) সকলো
   AnswerCorrect: বিকল্প D. 121, 132, 143 সকলোৱে 0 mod 11 দিয়ে।

3. সহজ – 12, 18, 30 ৰ ল.সা.গু. হ’ল
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: বিকল্প A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → ল.সা.গু.=2²·3²·5=180।

4. সহজ – 36, 84 ৰ গ.সা.উ. হ’ল
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: বিকল্প B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → গ.সা.উ.=2²·3=12।

5. সহজ – 3^2023 ৰ একক অংকটো হ’ল
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: বিকল্প C. 3-ৰ চক্ৰীয়তা: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7।

6. সহজ – প্ৰথম 5টা মৌলিক সংখ্যাৰ যোগফল হ’ল
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: বিকল্প A. 2+3+5+7+11=28।

7. সহজ – যদি n ক 5 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 3 থাকে, তেন্তে n² mod 5 হ’ল
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: বিকল্প A. 3²=9≡4 mod 5।

8. সহজ – 72 ৰ উৎপাদকৰ সংখ্যা হ’ল
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: বিকল্প B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12।

9. সহজ – কোনটো পূৰ্ণঘন?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) সকলো
   AnswerCorrect: বিকল্প D. ক্ৰমে 12³, 11³, 14³।

10. সহজ – 1001, কোনটোৰে বিভাজ্য?
    A) 7 B) 11 C) 13 D) সকলো
    AnswerCorrect: বিকল্প D. 1001=7×11×13।

11. মধ্যমীয়া – 12, 15, 18 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য আটাইতকৈ ডাঙৰ 4-অংকৰ সংখ্যাটো হ’ল
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: বিকল্প B. ল.সা.গু.(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; কিন্তু 9900<9999। 9720 হ’ল 180×54 আৰু 9999 ৰ সমান বা তাতকৈ সৰু আটাইতকৈ ডাঙৰ।

12. মধ্যমীয়া – যদি 3^a = 81^2, তেন্তে a ৰ মান হ’ল
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: বিকল্প A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8।

13. মধ্যমীয়া – 2^100 ক 7 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: বিকল্প B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2।

14. মধ্যমীয়া – 50 আৰু 70 ৰ মাজত কিমানটা মৌলিক সংখ্যা আছে?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    AnswerCorrect: বিকল্প A. 53, 59, 61, 67 → 4।

15. মধ্যমীয়া – যদি 72 আৰু x ৰ গ.সা.উ. 12 আৰু ল.সা.গু. 504 হয়, তেন্তে x হ’ল
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: বিকল্প A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84।

16. মধ্যমীয়া – 2346 ত থকা * অংকটো যিটোৱে ইয়াক 8 ৰে বিভাজ্য কৰে
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: বিকল্প B. শেষৰ 3টা অংক 46, 8 ৰে বিভাজ্য হ’ব লাগিব। 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ঠিক আছে। 336 → *=3।

17. মধ্যমীয়া – 25! ৰ শেষত থকা শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: বিকল্প B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6।

18. মধ্যমীয়া – যদি n² – 1, 24 ৰে বিভাজ্য হয়, তেন্তে n অবশ্যই হ’ব
    A) যুগ্ম B) অযুগ্ম C) 3 ৰ গুণিতক D) মৌলিক
    AnswerCorrect: বিকল্প B. n²–1=(n-1)(n+1)। গুণফলটো 24 ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ, n অযুগ্ম হ’ব লাগিব যাতে দুয়োটা উৎপাদক ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যা হয় আৰু ই 3টা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যা দিয়ে যাৰ ফলত 3 আৰু 8 ৰ উৎপাদক পোৱা যায়।

19. মধ্যমীয়া – 10! ক 11 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: বিকল্প B. ৱিলছনৰ উপপাদ্য মতে (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11।

20. কঠিন – আটাইতকৈ সৰু 3-অংকৰ সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰক যিয়ে 7 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 3, 9 ৰে হৰণ কৰিলে 5, আৰু 11 ৰে হৰণ কৰিলে 7 দিয়ে।
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: বিকল্প B. লক্ষ্য কৰক ভাগশেষবোৰ হৰতকৈ 2 কম। প্ৰয়োজনীয় N = ল.সা.গু.(7,9,11)k − 2 = 693k − 2। আটাইতকৈ সৰু 3-অংকৰ: k=1 → 691 বহুত ডাঙৰ; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; তাৰ পিছৰ সৰু 693·0−2 অবৈধ। পুনৰ চিন্তা কৰক:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → চাইনিজ ভাগশেষ উপপাদ্যৰ পৰা 283 পোৱা যায়।

21. কঠিন – n অখণ্ড সংখ্যাৰ সংখ্যা যাতে 100 ≤ n ≤ 200 আৰু n, 210 ৰ লগত সহ-মৌলিক
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: বিকল্প B. 210=2·3·5·7। অন্তৰ্ভুক্তি-বৰ্জন নীতি ব্যৱহাৰ কৰক: মুঠ 101টা সংখ্যা। 2,3,5,7 ৰ গুণিতকবোৰ বাদ দি আৰু ছেদবোৰ পুনৰ যোগ কৰক → 48টা বাকী থাকে।

22. কঠিন – যদি 2^x mod 13 = 1, তেন্তে আটাইতকৈ সৰু ধনাত্মক x হ’ল
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: বিকল্প B. 2, mod 13 ৰ বাবে আদিম মূল → ক্ৰম 12।

23. কঠিন – 144 ৰ সকলো উৎপাদকৰ যোগফল যিবোৰ পূৰ্ণবৰ্গ
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    AnswerCorrect: বিকল্প A. 144=2^4·3^2। বৰ্গ উৎপাদক: সূচক যুগ্ম → 2^0,2^2,2^4 আৰু 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210 → কেৱল বৰ্গ উৎপাদক: 1,4,16,9,36,144 → 1+4+16+9+36+144=210।

24. কঠিন – 2023^2023 ক 9 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: বিকল্প B. 2023 mod 9 = 7। 7 ৰ চক্ৰীয়তা mod 9: 7,4,1 → পর্যায় 3। 2023 mod 3 = 2 → দ্বিতীয় পদ 4।

25. কঠিন – 117! ত থকা পিছফালৰ শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: বিকল্প A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27।

ৰেলৱে চুটি পথ আৰু টিপছ

1. 7 ৰে বিভাজ্যতা: শেষৰ অংকটোৰ দুগুণ বাকী অংশৰ পৰা বিয়োগ কৰক → সৰু নোহোৱালৈকে পুনৰাবৃত্তি কৰক।
2. 5 ছেকেণ্ডত ল.সা.গু.: মৌলিক উৎপাদকীকৰণ কৰক, সৰ্বোচ্চ ঘাত লওক, পূৰণ কৰক।
3. একক অংক: কেৱল শেষৰ অংকটোৱেহে গুৰুত্বপূৰ্ণ; প্ৰতি 4 ৰ অন্তৰত চক্ৰ হয়।
4. ডাঙৰ ঘাতৰ ভাগশেষ: প্ৰথমে ভিত্তিটো হ্ৰাস কৰক, তাৰ পিছত চক্ৰীয়তা ব্যৱহাৰ কৰক।
5. n! ত শূন্য: 2 নহয়, 5 গণনা কৰক।
6. গ.সা.উ. × ল.সা.গু. = গুণফল – এটা সংখ্যা নোহোৱা হ’লে ব্যৱহাৰ কৰক।
7. ৱিলছন: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 ধৰণৰ প্ৰশ্নত সময় সাঁচি ৰাখে।
8. বিকল্প বাদ: প্ৰথমে শেষৰ অংক বহুৱাওক, তাৰ পিছত যুগ্মতা চাওক।

30 লৈকে বৰ্গ, 15 লৈকে ঘন, আৰু 100 লৈকে মৌলিক সংখ্যাৰ তালিকা মুখস্থ কৰক – পৰীক্ষা হলত গণনাৰ সময় 30 % সাঁচি ৰাখে।