விரைவு கோட்பாடு

எண் கோட்பாடு முழு எண்களின் (0, 1, 2 …) நடத்தையைக் கையாள்கிறது.
ரயில்வே தேர்வுகளுக்கு, நான்கு தூண்களை மாஸ்டர் செய்யுங்கள்:

1. வகுபடுதல் விதிகள் (2-11) – ஒரு கேள்விக்கு 30 வி சேமிக்கும்.
2. மீ.பொ.வ & மீ.பொ.ம – இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் = மீ.பொ.வ × மீ.பொ.ம.
3. பகா காரணியாக்கம் – ஒவ்வொரு எண்ணையும் முதலில் பகா எண்களாக உடைக்கவும்.
4. மீதி குறுக்குவழிகள் – “பெருக்கலின் மீதி = மீதிகளின் பெருக்கல் (mod m)”.

ஒன்றினிடத்து இலக்கங்களின் சுழற்சி: 1-9 இன் அடுக்குகள் ஒவ்வொரு 4 இலும் மீண்டும் வரும்.
ஆய்லரின் தேற்றம் (விருப்பமானது ஆனால் பயனுள்ளது): a மற்றும் n இணை பகா எண்களாக இருந்தால், a^φ(n) ≡ 1 mod n.
வில்சனின் துணைத் தேற்றம்: (p−1)! ≡ −1 mod p (p பகா எண்ணாக இருந்தால்) — மீதி சிக்கல்களில் உதவுகிறது.
முதலில் காரணியாக்கத்தில் ஒட்டிக்கொள்ளுங்கள்; குறுக்குவழி தெளிவாக இருக்கும்போது மட்டுமே ஆடம்பரமான தேற்றங்களைப் பயன்படுத்துங்கள்.

பயிற்சி தொகுப்பு (25 பலதேர்வு கேள்விகள்)

1. எளிதானது – மிகச்சிறிய 3-இலக்க பகா எண்
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   சரியான பதில்: விருப்பம் A. 101 என்பது 2, 3, 5, 7 ஆல் வகுபடாது; எனவே பகா எண்.

2. எளிதானது – எது 11 ஆல் வகுபடும்?
   A) 24567 B) 245675 C) 2456754 D) 24567
   சரியான பதில்: விருப்பம் B. 2-4+5-6+7-5 = −1 ≡ 10 mod 11 ≠ 0; மறுபரிசீலனை: 2-4+5-6+7-5 = −1 → உண்மையில் 245675 → 2-4+5-6+7-5 = −1 → வகுபடாது. சரியான தேர்வு C (2-4+5-6+7-5+4 = 3 → எதுவுமில்லை). மறுமதிப்பீடு: 2456754 → 2-4+5-6+7-5+4 = 3 → எதுவுமில்லை. அருகில் உள்ளது 245675 (B) → −1 → எதுவுமில்லை. கேள்வி மீட்டமைப்பு: 2728 → வகுபடும். தொகுப்பிற்கு, 2456754 → 3 → எதுவுமில்லை. இறுதி திருத்தம்: 121212 → வகுபடும். எனவே விருப்பங்களை மாற்றவும்.
   திருத்தப்பட்டது: எது 11 ஆல் வகுபடும்?
   A) 121212 B) 12345 C) 11111 D) 22222
   சரி: விருப்பம் A. 1-2+1-2+1-2 = −3 ≡ 8 mod 11 → 1-2+1-2+1-2 = −3 → வகுபடாது. விரைவு திருத்தம்: 121212 → 1-2+1-2+1-2 = −3 → எதுவுமில்லை. சிறந்தது: 121 → 0 → வகுபடும்.
   இறுதி கேள்வி:
   எது 11 ஆல் வகுபடும்?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) அனைத்தும்
   சரி: விருப்பம் D. 121, 132, 143 அனைத்தும் 0 mod 11 ஐத் தரும்.

3. எளிதானது – 12, 18, 30 இன் மீ.பொ.ம
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   சரியான பதில்: விருப்பம் A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → மீ.பொ.ம=2²·3²·5=180.

4. எளிதானது – 36, 84 இன் மீ.பொ.வ
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   சரியான பதில்: விருப்பம் B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → மீ.பொ.வ=2²·3=12.

5. எளிதானது – 3^2023 இன் ஒன்றினிடத்து இலக்கம்
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   சரியான பதில்: விருப்பம் C. 3-சுழற்சி: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7.

6. எளிதானது – முதல் 5 பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகை
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   சரியான பதில்: விருப்பம் A. 2+3+5+7+11=28.

7. எளிதானது – n ஐ 5 ஆல் வகுத்தால் மீதி 3 வந்தால், n² mod 5 ஆனது
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   சரியான பதில்: விருப்பம் A. 3²=9≡4 mod 5.

8. எளிதானது – 72 இன் காரணிகளின் எண்ணிக்கை
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   சரியான பதில்: விருப்பம் B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12.

9. எளிதானது – எது சரியான கனசதுரம்?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) அனைத்தும்
   சரியான பதில்: விருப்பம் D. முறையே 12³, 11³, 14³.

10. எளிதானது – 1001 என்பது வகுபடும்
    A) 7 B) 11 C) 13 D) அனைத்தும்
    சரியான பதில்: விருப்பம் D. 1001=7×11×13.

11. நடுத்தரம் – 12, 15, 18 ஆல் வகுபடும் மிகப்பெரிய 4-இலக்க எண்
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. மீ.பொ.ம(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; ஆனால் 9900<9999. 9720 என்பது 180×54 மற்றும் மிகப்பெரியது ≤9999.

12. நடுத்தரம் – 3^a = 81^2 எனில், a சமம்
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    சரியான பதில்: விருப்பம் A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8.

13. நடுத்தரம் – 2^100 ஐ 7 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2.

14. நடுத்தரம் – 50 மற்றும் 70 க்கு இடையில் எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன?
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    சரியான பதில்: விருப்பம் C. 53, 59, 61, 67, 71 → 71>70 → 53,59,61,67 → 4. மறுபரிசீலனை: 53,59,61,67 → 4. அருகிலுள்ள விருப்பம் 5. மீட்டமைப்பு: 50-70 → 53,59,61,67 → 4. விருப்பம் A) 5 அருகில். இறுதி திருத்தம்: 51-70 → 53,59,61,67 → 4. விருப்பமாக 4 ஐ வழங்கவும்.
    திருத்தப்பட்ட விருப்பங்கள்:
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    சரி: விருப்பம் A.

15. நடுத்தரம் – 72 மற்றும் x இன் மீ.பொ.வ 12 மற்றும் மீ.பொ.ம 504 எனில், x ஆனது
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    சரியான பதில்: விருப்பம் A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84.

16. நடுத்தரம் – 2346 இல் 8 ஆல் வகுபடும் வகையில் * இலக்கம்
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. கடைசி 3 இலக்கங்கள் 46 ஆனது 8 ஆல் வகுபட வேண்டும். 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 சரி. 336 → *=3.

17. நடுத்தரம் – 25! இன் முடிவில் உள்ள பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6.

18. நடுத்தரம் – n² – 1 ஆனது 24 ஆல் வகுபடுமானால், n ஆனது
    A) இரட்டைப்படை B) ஒற்றைப்படை C) 3 இன் மடங்கு D) பகா எண்
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. n²–1=(n-1)(n+1). பெருக்கல் 24 ஆல் வகுபட, n ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும், அப்போது இரண்டு காரணிகளும் தொடர்ச்சியான இரட்டை எண்களாகி 3 தொடர்ச்சியான முழு எண்களைத் தரும், எனவே 3 மற்றும் 8 காரணிகள்.

19. நடுத்தரம் – 10! ஐ 11 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. வில்சனின் தேற்றத்தின்படி (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11.

20. கடினம் – 7 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 3, 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 5, மற்றும் 11 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 7 வரும் மிகச்சிறிய 3-இலக்க எண்ணைக் கண்டறியவும்.
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. மீதிகள் வகுப்பிகளை விட 2 குறைவாக உள்ளன. தேவையான N = மீ.பொ.ம(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. மிகச்சிறிய 3-இலக்க: k=1 → 691 மிகப் பெரியது; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; அடுத்த குறைந்த 693·0−2 செல்லாது. மறுவடிவமைப்பு:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 ஐத் தருகிறது.

21. கடினம் – 100 ≤ n ≤ 200 மற்றும் n ஆனது 210 உடன் இணை பகா எண்ணாக இருக்கும் முழு எண்களின் எண்ணிக்கை
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. 210=2·3·5·7. உள்ளீடு-விலக்கு முறையைப் பயன்படுத்தவும்: மொத்தம் 101 எண்கள். 2,3,5,7 இன் மடங்குகளைக் கழித்து, குறுக்கீடுகளைச் சேர்க்கவும் → 48 எஞ்சியுள்ளன.

22. கடினம் – 2^x mod 13 = 1 எனில், மிகச்சிறிய நேர்மறை x ஆனது
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. 2 என்பது 13 mod இல் பழமையான மூலம் → வரிசை 12.

23. கடினம் – 144 இன் சரியான சதுரங்களாக இருக்கும் அனைத்து காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை
    A) 85 B) 91 C) 113 D) 130
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. 144=2^4·3^2. சதுர காரணிகள்: அடுக்குகள் இரட்டை → 2^0,2^2,2^4 மற்றும் 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210 → சதுர காரணிகள் மட்டும்: 1,4,16,9,36,144 → 1+4+16+9+36+144=210 → தவறு. உண்மையில், சதுரங்களாக இருக்கும் காரணிகள்: 1, 4, 9, 16, 36, 144 → கூட்டுத்தொகை=1+4+9+16+36+144=210 → விருப்பங்களில் இல்லை. மறுகணக்கீடு: சாத்தியமான சதுர காரணிகள்: 1, 4, 9, 16, 36, 144 → கூட்டுத்தொகை 210. அருகிலுள்ள விருப்பம் 91 → 1+4+16+9+36=66 → 91 பொருந்தவில்லை. விருப்பமாக 210 ஐ வழங்கவும்.
    திருத்தப்பட்ட விருப்பங்கள்:
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    சரி: விருப்பம் A.

24. கடினம் – 2023^2023 ஐ 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    சரியான பதில்: விருப்பம் C. 2023 mod 9 = 7. 7 mod 9 இன் சுழற்சி: 7,4,1 → காலம் 3. 2023 mod 3 = 2 → இரண்டாவது உறுப்பு 4. திருத்தப்பட்டது: 7^1=7, 7^2=49≡4, 7^3≡1 → 2023 mod 3=2 → 4. சரியான பதில் 4. விருப்பம் B.

25. கடினம் – 117! இல் பின்தொடரும் பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    சரியான பதில்: விருப்பம் B. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27 → 125 கூடுதல் தரும் → 23+4+0=27. விருப்பம் A) 27.

ரயில்வே குறுக்குவழிகள் & உதவிக்குறிப்புகள்

1. 7 ஆல் வகுபடுதல்: கடைசி இலக்கத்தின் இருமடங்கை மீதியிலிருந்து கழிக்கவும் → சிறியதாகும் வரை மீண்டும் செய்யவும்.
2. 5 வி இல் மீ.பொ.ம: பகா-காரணியாக்கம், அதிகபட்ச அடுக்குகளை எடுத்து, பெருக்கவும்.
3. ஒன்றினிடத்து இலக்கம்: கடைசி இலக்கம் மட்டுமே முக்கியம்; ஒவ்வொரு 4 இலும் சுழற்சி.
4. பெரிய அடுக்கின் மீதி: முதலில் அடித்தளத்தைக் குறைக்கவும், பின்னர் சுழற்சியைப் பயன்படுத்தவும்.
5. n! இல் பூஜ்ஜியங்கள்: 5களை எண்ணுங்கள், 2களை அல்ல.
6. மீ.பொ.வ × மீ.பொ.ம = பெருக்கல் – ஒரு எண் காணாமல் போனால் பயன்படுத்தவும்.
7. வில்சன்: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 வகை கேள்விகளில் நேரத்தைச் சேமிக்கும்.
8. விருப்ப நீக்குதல்: முதலில் கடைசி இலக்கத்தைப் பொருத்தவும், பின்னர் இரட்டை/ஒற்றைப் படையைப் பார்க்கவும்.

30 வரையிலான சதுரங்கள், 15 வரையிலான கனசதுரங்கள் மற்றும் 100 வரையிலான பகா எண் பட்டியலை மனப்பாடம் செய்யுங்கள் – தேர்வு மண்டபத்தில் 30 % கணக்கீட்டு நேரத்தைச் சேமிக்கும்.