দ্রুত তত্ত্ব

সংখ্যাতত্ত্ব পূর্ণ সংখ্যার (0, 1, 2 …) আচরণ নিয়ে কাজ করে।
রেলওয়ে পরীক্ষার জন্য, চারটি স্তম্ভে দক্ষতা অর্জন করুন:

1. বিভাজ্যতার নিয়ম (2-11) – প্রতি প্রশ্নে 30 সেকেন্ড সাশ্রয় করে।
2. গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. – দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.।
3. মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ – প্রতিটি সংখ্যাকে প্রথমে মৌলিক সংখ্যায় ভাঙুন।
4. ভাগশেষের শর্টকাট – “গুণফলের ভাগশেষ = ভাগশেষের গুণফল (mod m)"।

একক অঙ্কের চক্রিকতা: 1-9 এর ঘাত প্রতি 4 এ পুনরাবৃত্তি হয়।
অয়লারের উপপাদ্য (ঐচ্ছিক কিন্তু কার্যকরী): যদি a এবং n পরস্পর সহমৌলিক হয়, তবে a^φ(n) ≡ 1 mod n।
উইলসনের সিদ্ধান্ত: p মৌলিক সংখ্যার জন্য (p−1)! ≡ −1 mod p — ভাগশেষের সমস্যায় সাহায্য করে।
প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণে আটকে থাকুন; অভিনব উপপাদ্যগুলো শুধুমাত্র তখনই প্রয়োগ করুন যখন শর্টকাটটি স্পষ্ট।

অনুশীলন সেট (25 MCQ)

1. সহজ – ক্ষুদ্রতম 3-অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা হল
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: অপশন A। 101, 2, 3, 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়; সুতরাং মৌলিক।

2. সহজ – নিচের কোনটি 11 দ্বারা বিভাজ্য?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) সবকটি
   AnswerCorrect: অপশন D। 121, 132, 143 সবকটিই 0 mod 11 দেয়।

3. সহজ – 12, 18, 30 এর ল.সা.গু. হল
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: অপশন A। 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → ল.সা.গু.=2²·3²·5=180।

4. সহজ – 36, 84 এর গ.সা.গু. হল
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: অপশন B। 36=2²·3², 84=2²·3·7 → গ.সা.গু.=2²·3=12।

5. সহজ – 3^2023 এর একক অঙ্ক হল
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: অপশন C। 3-এর চক্রিকতা: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7।

6. সহজ – প্রথম 5টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হল
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: অপশন A। 2+3+5+7+11=28।

7. সহজ – যদি n কে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3 থাকে, তবে n² mod 5 হল
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: অপশন A। 3²=9≡4 mod 5।

8. সহজ – 72 এর গুণনীয়কের সংখ্যা হল
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: অপশন B। 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12।

9. সহজ – নিচের কোনটি নিখুঁত ঘনক?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) সবকটি
   AnswerCorrect: অপশন D। যথাক্রমে 12³, 11³, 14³।

10. সহজ – 1001 বিভাজ্য
    A) 7 B) 11 C) 13 D) সবকটি
    AnswerCorrect: অপশন D। 1001=7×11×13।

11. মধ্যম – 12, 15, 18 দ্বারা বিভাজ্য বৃহত্তম 4-অঙ্কের সংখ্যা হল
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: অপশন B। ল.সা.গু.(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; কিন্তু 9900<9999। 9720 হল 180×54 এবং ≤9999 এর মধ্যে বৃহত্তম।

12. মধ্যম – যদি 3^a = 81^2 হয়, তবে a এর মান
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: অপশন A। 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8।

13. মধ্যম – 2^100 কে 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: অপশন B। 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2।

14. মধ্যম – 50 এবং 70 এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    AnswerCorrect: অপশন A।

15. মধ্যম – যদি 72 এবং x এর গ.সা.গু. 12 এবং ল.সা.গু. 504 হয়, তবে x হল
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: অপশন A। 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84।

16. মধ্যম – 2346 সংখ্যাটির * অঙ্কটি কত হলে এটি 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে?
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: অপশন B। শেষ 3 অঙ্ক 46, 8 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ঠিক আছে। 336 → *=3।

17. মধ্যম – 25! এর শেষে শূন্যের সংখ্যা হল
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: অপশন B। 25/5 + 25/25 = 5+1=6।

18. মধ্যম – যদি n² – 1, 24 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে n অবশ্যই
    A) জোড় B) বিজোড় C) 3 এর গুণিতক D) মৌলিক
    AnswerCorrect: অপশন B। n²–1=(n-1)(n+1)। গুণফলটি 24 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার জন্য, n কে বিজোড় হতে হবে যাতে উভয় গুণনীয়ক পরপর জোড় সংখ্যা হয় ফলে 3টি পরপর পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায় এবং তাই 3 ও 8 গুণনীয়ক পাওয়া যায়।

19. মধ্যম – 10! কে 11 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: অপশন B। উইলসনের উপপাদ্য অনুসারে (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11।

20. কঠিন – ক্ষুদ্রতম 3-অঙ্কের সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যা 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3, 9 দ্বারা ভাগ করলে 5 এবং 11 দ্বারা ভাগ করলে 7 থাকে।
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: অপশন B। লক্ষ্য করুন ভাগশেষগুলি ভাজক থেকে 2 কম। প্রয়োজনীয় N = ল.সা.গু.(7,9,11)k − 2 = 693k − 2। ক্ষুদ্রতম 3-অঙ্ক: k=1 → 691 খুব বড়; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; পরবর্তী নিম্ন 693·0−2 অবৈধ। পুনরায় ফ্রেম করুন:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 দেয়।

21. কঠিন – পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যাতে 100 ≤ n ≤ 200 এবং n, 210 এর সাথে সহমৌলিক হয়
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: অপশন B। 210=2·3·5·7। অন্তর্ভুক্তি-বর্জন পদ্ধতি ব্যবহার করুন: মোট 101 সংখ্যা। 2,3,5,7 এর গুণিতক বাদ দিন এবং ছেদগুলো আবার যোগ করুন → 48 অবশিষ্ট থাকে।

22. কঠিন – যদি 2^x mod 13 = 1 হয়, তবে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক x হল
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: অপশন B। 2 হল mod 13 এর আদিম মূল → ক্রম 12।

23. কঠিন – 144 এর সকল গুণনীয়কের যোগফল যা নিখুঁত বর্গ
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    AnswerCorrect: অপশন A। 144=2^4·3^2। বর্গ গুণনীয়ক: সূচক জোড় → 2^0,2^2,2^4 এবং 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210 → শুধুমাত্র বর্গ গুণনীয়ক: 1,4,16,9,36,144 → 1+4+16+9+36+144=210।

24. কঠিন – 2023^2023 কে 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: অপশন B। 2023 mod 9 = 7। 7 এর mod 9 চক্রিকতা: 7,4,1 → পর্যায় 3। 2023 mod 3 = 2 → দ্বিতীয় পদ 4। সংশোধিত: 7^1=7, 7^2=49≡4, 7^3≡1 → 2023 mod 3=2 → 4। সঠিক উত্তর 4।

25. কঠিন – 117! এর শেষে শূন্যের সংখ্যা হল
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: অপশন A। 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27 → 125 অতিরিক্ত দেয় → 23+4+0=27।

রেলওয়ে শর্টকাট ও টিপস

1. 7 দ্বারা বিভাজ্যতা: শেষ অঙ্কের দ্বিগুণকে বাকি অংশ থেকে বিয়োগ করুন → ছোট না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করুন।
2. 5 সেকেন্ডে ল.সা.গু.: মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন, সর্বোচ্চ ঘাত নিন, গুণ করুন।
3. একক অঙ্ক: শুধুমাত্র শেষ অঙ্ক গুরুত্বপূর্ণ; প্রতি 4 এ চক্র।
4. বড় ঘাতের ভাগশেষ: প্রথমে ভিত্তি হ্রাস করুন, তারপর চক্রিকতা ব্যবহার করুন।
5. n! এ শূন্য: 2 নয়, 5 গুলি গণনা করুন।
6. গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = গুণফল – একটি সংখ্যা অনুপস্থিত থাকলে ব্যবহার করুন।
7. উইলসন: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 টাইপের সমস্যায় সময় সাশ্রয় করে।
8. অপশন বাতিল: প্রথমে শেষ অঙ্ক বসান, তারপর জোড়-বিজোড়তা পরীক্ষা করুন।

30 পর্যন্ত বর্গ, 15 পর্যন্ত ঘনক এবং 100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার তালিকা মুখস্থ করুন – পরীক্ষার হলে গণনার সময় 30% সাশ্রয় করে।