త్వరిత సిద్ధాంతం

సంఖ్యా సిద్ధాంతం పూర్ణ సంఖ్యల (0, 1, 2 …) ప్రవర్తనను అధ్యయనం చేస్తుంది.
రైల్వే పరీక్షల కోసం, నాలుగు స్తంభాలను నేర్చుకోండి:

1. విభజన నియమాలు (2-11) – ప్రతి ప్రశ్నకు 30 సెకన్లు ఆదా అవుతుంది.
2. గ.సా.భా & క.సా.గు – రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = గ.సా.భా × క.సా.గు.
3. అవిభాజ్య కారణాంక విభజన – ప్రతి సంఖ్యను మొదట ప్రధాన సంఖ్యలుగా విభజించండి.
4. శేషానికి సులభమార్గాలు – “లబ్ధం యొక్క శేషం = శేషాల లబ్ధం (mod m)”.

ఏక స్థాన అంకెల చక్రీయత: 1-9 సంఖ్యల ఘాతాలు ప్రతి 4 తర్వాత పునరావృతమవుతాయి.
యూలర్ సిద్ధాంతం (ఐచ్ఛికం కానీ ఉపయోగకరం): a మరియు n సహ ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే, a^φ(n) ≡ 1 mod n.
విల్సన్ ఫలితం: ప్రధాన సంఖ్య p కోసం (p−1)! ≡ −1 mod p — శేష సమస్యలలో సహాయపడుతుంది.
మొదట కారణాంక విభజనపై దృష్టి పెట్టండి; సులభమార్గం స్పష్టంగా కనిపించినప్పుడే మాత్రమే ఇతర సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించండి.

అభ్యాస సమితి (25 బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు)

1. సులభం – అతి చిన్న 3-అంకెల ప్రధాన సంఖ్య
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: ఎంపిక A. 101 అనేది 2, 3, 5, 7 తో భాగించబడదు; కాబట్టి ప్రధాన సంఖ్య.

2. సులభం – ఏది 11 తో భాగించబడుతుంది?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) అన్నీ
   AnswerCorrect: ఎంపిక D. 121, 132, 143 అన్నీ 0 mod 11 ని ఇస్తాయి.

3. సులభం – 12, 18, 30 ల క.సా.గు
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: ఎంపిక A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → క.సా.గు=2²·3²·5=180.

4. సులభం – 36, 84 ల గ.సా.భా
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: ఎంపిక B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → గ.సా.భా=2²·3=12.

5. సులభం – 3^2023 యొక్క ఏక స్థాన అంకె
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: ఎంపిక C. 3-చక్రీయత: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7.

6. సులభం – మొదటి 5 ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: ఎంపిక A. 2+3+5+7+11=28.

7. సులభం – n ని 5 తో భాగిస్తే శేషం 3 వస్తే, n² mod 5
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: ఎంపిక A. 3²=9≡4 mod 5.

8. సులభం – 72 యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: ఎంపిక B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12.

9. సులభం – ఏది ఖచ్చితమైన ఘనం?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) అన్నీ
   AnswerCorrect: ఎంపిక D. వరుసగా 12³, 11³, 14³.

10. సులభం – 1001 ఏది తో భాగించబడుతుంది?
    A) 7 B) 11 C) 13 D) అన్నీ
    AnswerCorrect: ఎంపిక D. 1001=7×11×13.

11. మధ్యస్థం – 12, 15, 18 తో భాగించబడే అతిపెద్ద 4-అంకెల సంఖ్య
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. క.సా.గు(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; కానీ 9900<9999. 9720 అనేది 180×54 మరియు 9999 కన్నా చిన్నది లేదా సమానం.

12. మధ్యస్థం – 3^a = 81^2 అయితే, a విలువ
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: ఎంపిక A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8.

13. మధ్యస్థం – 2^100 ని 7 తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2.

14. మధ్యస్థం – 50 మరియు 70 మధ్య ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    AnswerCorrect: ఎంపిక A. 53, 59, 61, 67 → 4.

15. మధ్యస్థం – 72 మరియు x ల గ.సా.భా 12 మరియు క.సా.గు 504 అయితే, x విలువ
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: ఎంపిక A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84.

16. మధ్యస్థం – 2346 లో * స్థానంలో ఉండి, దానిని 8 తో భాగించేలా చేసే అంకె
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. చివరి 3 అంకెలు 46, 8 తో భాగించబడాలి. 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 సరియైనది. 336 → *=3.

17. మధ్యస్థం – 25! చివరన ఉండే సున్నాల సంఖ్య
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6.

18. మధ్యస్థం – n² – 1 అనేది 24 తో భాగించబడితే, n తప్పనిసరిగా ఉండాలి
    A) సరి సంఖ్య B) బేసి సంఖ్య C) 3 గుణిజం D) ప్రధాన సంఖ్య
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. n²–1=(n-1)(n+1). ఈ లబ్ధం 24 తో భాగించబడాలంటే, n బేసి సంఖ్య అయి ఉండాలి, అప్పుడు రెండు కారణాంకాలు వరుస సరి సంఖ్యలు అవుతాయి, ఇది 3 వరుస పూర్ణాంకాలను ఇస్తుంది మరియు 3 మరియు 8 కారణాంకాలను ఇస్తుంది.

19. మధ్యస్థం – 10! ని 11 తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. విల్సన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11.

20. కఠినం – అతి చిన్న 3-అంకెల సంఖ్యను కనుగొనండి, దానిని 7 తో భాగిస్తే శేషం 3, 9 తో భాగిస్తే శేషం 5, మరియు 11 తో భాగిస్తే శేషం 7 వస్తుంది.
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. శేషాలు భాజకాల కంటే 2 తక్కువగా ఉన్నాయి. కావలసిన N = క.సా.గు(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. అతి చిన్న 3-అంకెల: k=1 → 691 చాలా పెద్దది; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; తర్వాత చిన్నది 693·0−2 చెల్లదు. పునర్వివరణ:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 ని ఇస్తుంది.

21. కఠినం – 100 ≤ n ≤ 200 మరియు n అనేది 210 కి సహ ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే n పూర్ణాంకాల సంఖ్య
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. 210=2·3·5·7. చేరిక-మినహాయింపు సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి: మొత్తం 101 సంఖ్యలు. 2,3,5,7 గుణిజాలను తీసివేసి, ఖండన సమితులను తిరిగి కలపండి → 48 మిగిలాయి.

22. కఠినం – 2^x mod 13 = 1 అయితే, అతి చిన్న ధన పూర్ణాంక x విలువ
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. 2 అనేది mod 13 కి ప్రాథమిక మూలం → క్రమం 12.

23. కఠినం – 144 యొక్క అన్ని కారణాంకాలలో ఖచ్చితమైన వర్గాలు అయినవాటి మొత్తం
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    AnswerCorrect: ఎంపిక A. 144=2^4·3^2. వర్గ కారణాంకాలు: ఘాతాలు సరి సంఖ్యలు → 2^0,2^2,2^4 మరియు 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210.

24. కఠినం – 2023^2023 ని 9 తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ఎంపిక B. 2023 mod 9 = 7. 7 mod 9 యొక్క చక్రీయత: 7,4,1 → ఆవర్తనం 3. 2023 mod 3 = 2 → రెండవ పదం 4.

25. కఠినం – 117! చివరన ఉండే సున్నాల సంఖ్య
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: ఎంపిక A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27.

రైల్వే సులభమార్గాలు & చిట్కాలు

1. 7 తో భాజ్యత: చివరి అంకెను రెట్టింపు చేసి మిగిలిన సంఖ్య నుండి తీసివేయండి → చిన్నది అయ్యే వరకు పునరావృతం చేయండి.
2. 5 సెకన్లలో క.సా.గు: ప్రధాన కారణాంక విభజన, గరిష్ఠ ఘాతాలు తీసుకోండి, గుణించండి.
3. ఏక స్థాన అంకె: చివరి అంకె మాత్రమే ముఖ్యం; ప్రతి 4కి చక్రం పునరావృతమవుతుంది.
4. పెద్ద ఘాతం యొక్క శేషం: మొదట భూమిని తగ్గించండి, తర్వాత చక్రీయతను ఉపయోగించండి.
5. n! లో సున్నాలు: 2లు కాదు, 5లను లెక్కించండి.
6. గ.సా.భా × క.సా.గు = లబ్ధం – ఒక సంఖ్య తప్పిపోయినప్పుడు ఉపయోగించండి.
7. విల్సన్: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 వంటి ప్రశ్నలలో సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.
8. ఎంపిక తొలగింపు: మొదట చివరి అంకెను ప్రతిక్షేపించండి, తర్వాత సరి/బేసి తనాన్ని పరిశీలించండి.

30 వరకు వర్గాలు, 15 వరకు ఘనాలు, మరియు 100 వరకు ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాను గుర్తుంచుకోండి – పరీక్షా హాల్లో 30% గణన సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.