ઝડપી સિદ્ધાંત

સંખ્યા સિદ્ધાંત પૂર્ણ સંખ્યાઓ (0, 1, 2 …) ના વર્તણૂક સાથે વ્યવહાર કરે છે.
રેલવે પરીક્ષાઓ માટે, ચાર સ્તંભોમાં નિપુણતા મેળવો:

1. વિભાજ્યતાના નિયમો (2-11) – પ્રશ્ન દીઠ 30 સેકન્ડ બચાવે છે.
2. મ.સા.અ. અને લ.સા.અ. – બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર = મ.સા.અ. × લ.સા.અ.
3. મૂળ અવયવીકરણ – દરેક સંખ્યાને પહેલા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં તોડો.
4. શેષ ટૂંકાણ – “ગુણાકારનો શેષ = શેષોના ગુણાકાર (mod m)”.

એકમ અંકની ચક્રીયતા: 1-9 ની ઘાતો દર 4 માં પુનરાવર્તિત થાય છે.
યુલરનું પ્રમેય (વૈકલ્પિક પણ ઉપયોગી): જો a અને n સહ-અવિભાજ્ય હોય, તો a^φ(n) ≡ 1 mod n.
વિલ્સનનું પરિણામ: અવિભાજ્ય p માટે (p−1)! ≡ −1 mod p — શેષની સમસ્યાઓમાં મદદ કરે છે.
પહેલા અવયવીકરણ પર ટકી રહો; ફક્ત ત્યારે જ ફેન્સી પ્રમેયોનો ઉપયોગ કરો જ્યારે ટૂંકાણ સ્પષ્ટ હોય.

અભ્યાસ સેટ (25 બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો)

1. સરળ – સૌથી નાની 3-અંકની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 101 એ 2, 3, 5, 7 વડે વિભાજ્ય નથી; તેથી અવિભાજ્ય છે.

2. સરળ – કઈ સંખ્યા 11 વડે વિભાજ્ય છે?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) બધી
   AnswerCorrect: વિકલ્પ D. 121, 132, 143 બધી 0 mod 11 આપે છે.

3. સરળ – 12, 18, 30 નો લ.સા.અ. છે
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → લ.સા.અ.=2²·3²·5=180.

4. સરળ – 36, 84 નો મ.સા.અ. છે
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → મ.સા.અ.=2²·3=12.

5. સરળ – 3^2023 નો એકમનો અંક છે
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: વિકલ્પ C. 3-ચક્રીયતા: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7.

6. સરળ – પ્રથમ 5 અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 2+3+5+7+11=28.

7. સરળ – જો n ને 5 વડે ભાગતાં શેષ 3 આવે, તો n² mod 5 છે
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 3²=9≡4 mod 5.

8. સરળ – 72 ના અવયવોની સંખ્યા છે
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12.

9. સરળ – કઈ સંખ્યા પરિપૂર્ણ ઘન છે?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) બધી
   AnswerCorrect: વિકલ્પ D. અનુક્રમે 12³, 11³, 14³.

10. સરળ – 1001 એ નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે
    A) 7 B) 11 C) 13 D) બધી
    AnswerCorrect: વિકલ્પ D. 1001=7×11×13.

11. મધ્યમ – 12, 15, 18 વડે વિભાજ્ય સૌથી મોટી 4-અંકની સંખ્યા છે
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. લ.સા.અ.(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; પરંતુ 9900<9999. 9720 એ 180×54 છે અને ≤9999 માં સૌથી મોટી છે.

12. મધ્યમ – જો 3^a = 81^2, તો a બરાબર છે
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8.

13. મધ્યમ – 2^100 ને 7 વડે ભાગતાં મળતો શેષ છે
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2.

14. મધ્યમ – 50 અને 70 વચ્ચે કેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 53, 59, 61, 67 → 4.

15. મધ્યમ – જો 72 અને x નો મ.સા.અ. 12 અને લ.સા.અ. 504 હોય, તો x છે
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84.

16. મધ્યમ – 2346 માં * નો અંક જે તેને 8 વડે વિભાજ્ય બનાવે છે તે છે
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. છેલ્લા 3 અંક 46 એ 8 વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ. 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ઠીક છે. 336 → *=3.

17. મધ્યમ – 25! ના અંતે આવતા શૂન્યોની સંખ્યા છે
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6.

18. મધ્યમ – જો n² – 1 એ 24 વડે વિભાજ્ય હોય, તો n જરૂરી રીતે હોવી જોઈએ
    A) સમ B) વિષમ C) 3 નો ગુણિત D) અવિભાજ્ય
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. n²–1=(n-1)(n+1). ગુણાકાર 24 વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે, n વિષમ હોવી જોઈએ જેથી બંને અવયવો ક્રમિક સમ સંખ્યાઓ હોય અને 3 ક્રમિક પૂર્ણાંકો મળે જે 3 અને 8 ના અવયવો આપે.

19. મધ્યમ – 10! ને 11 વડે ભાગતાં મળતો શેષ છે
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. વિલ્સનના પ્રમેય મુજબ (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11.

20. કઠિન – એવી સૌથી નાની 3-અંકની સંખ્યા શોધો જેને 7 વડે ભાગતાં શેષ 3, 9 વડે ભાગતાં શેષ 5 અને 11 વડે ભાગતાં શેષ 7 આવે.
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. શેષો એ ભાજકો કરતાં 2 ઓછા છે તે નોંધો. જરૂરી N = લ.સા.અ.(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. સૌથી નાની 3-અંકની: k=1 → 691 ખૂબ મોટી; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; આગળ નીચી 693·0−2 અયોગ્ય. ફરીથી:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 આપે છે.

21. કઠિન – પૂર્ણાંકો n ની સંખ્યા જેમ કે 100 ≤ n ≤ 200 અને n એ 210 સાથે સહ-અવિભાજ્ય છે તે છે
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 210=2·3·5·7. સમાવેશ-બહિષ્કરણનો ઉપયોગ કરો: કુલ 101 સંખ્યાઓ. 2,3,5,7 ના ગુણિતો બાદ કરો અને છેદન પુનઃ ઉમેરો → 48 બાકી રહે.

22. કઠિન – જો 2^x mod 13 = 1, તો સૌથી નાનો ધન x છે
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 2 એ mod 13 માં આદિમ મૂળ છે → ક્રમ 12.

23. કઠિન – 144 ના તમામ અવયવોનો સરવાળો જે પરિપૂર્ણ વર્ગો છે તે છે
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 144=2^4·3^2. વર્ગ અવયવો: ઘાતાંક સમ → 2^0,2^2,2^4 અને 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210 → ફક્ત વર્ગ અવયવો: 1,4,16,9,36,144 → 1+4+16+9+36+144=210.

24. કઠિન – 2023^2023 ને 9 વડે ભાગતાં મળતો શેષ છે
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 2023 mod 9 = 7. 7 mod 9 ની ચક્રીયતા: 7,4,1 → આવર્તકાળ 3. 2023 mod 3 = 2 → બીજો પદ 4.

25. કઠિન – 117! માં અંતે આવતા શૂન્યોની સંખ્યા છે
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27 → 125 એક વધારે આપે → 23+4+0=27.

રેલવે ટૂંકાણ અને ટીપ્સ

1. 7 વડે વિભાજ્યતા: છેલ્લા અંકનો બમણો બાકીના ભાગમાંથી બાદ કરો → નાનું થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તન કરો.
2. 5 સેકન્ડમાં લ.સા.અ.: મૂળ અવયવીકરણ કરો, મહત્તમ ઘાત લો, ગુણાકાર કરો.
3. એકમનો અંક: ફક્ત છેલ્લો અંક મહત્વનો છે; દર 4 માં ચક્ર.
4. મોટી ઘાતનો શેષ: પહેલા આધાર ઘટાડો, પછી ચક્રીયતાનો ઉપયોગ કરો.
5. n! માં શૂન્યો: 2 નહીં પરંતુ 5 ની ગણતરી કરો.
6. મ.સા.અ. × લ.સા.અ. = ગુણાકાર – જ્યારે એક સંખ્યા ખૂટતી હોય ત્યારે ઉપયોગ કરો.
7. વિલ્સન: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 પ્રકારના પ્રશ્નોમાં સમય બચાવે છે.
8. વિકલ્પ નાબૂદી: પહેલા છેલ્લો અંક લગાવો, પછી સમ/વિષમતા તપાસો.

30 સુધીના વર્ગો, 15 સુધીના ઘનો અને 100 સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સૂચિ યાદ રાખો – પરીક્ષા હોલમાં ગણતરીનો 30% સમય બચાવે છે.