ଦ୍ରୁତ ତତ୍ତ୍ୱ

ସଂଖ୍ୟା ତତ୍ତ୍ୱ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର (0, 1, 2 …) ଆଚରଣ ସହିତ ଜଡ଼ିତ।
ରେଳବାଇ ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ, ଚାରୋଟି ମୂଳସ୍ତମ୍ଭ ଆୟତ୍ତ କରନ୍ତୁ:

1. ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ (2-11) – ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନରେ 30 ସେକେଣ୍ଡ ସଞ୍ଚୟ କରେ।
2. ଗ.ସା.ଗୁ. ଏବଂ ଲ.ସା.ଗୁ. – ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ = ଗ.ସା.ଗୁ. × ଲ.ସା.ଗୁ.।
3. ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ – ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରଥମେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ।
4. ଶେଷ ଅଂଶ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଦ୍ଧତି – “ଗୁଣଫଳର ଶେଷ ଅଂଶ = ଶେଷ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ (mod m)”।

ଏକକ ଅଙ୍କର ଚକ୍ରୀୟତା: 1-9 ର ଘାତ ପ୍ରତ୍ୟେକ 4 ପରେ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୁଏ।
ଇଉଲରଙ୍କ ପ୍ରମେୟ (ବିକଳ୍ପ କିନ୍ତୁ ସହାୟକ): ଯଦି a ଏବଂ n ପରସ୍ପର ମୌଳିକ, a^φ(n) ≡ 1 mod n।
ୱିଲସନଙ୍କ ଅନୁଷଙ୍ଗ: (p−1)! ≡ −1 mod p ପ୍ରଧାନ ସଂଖ୍ୟା p ପାଇଁ—ଶେଷ ଅଂଶ ସମସ୍ୟାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ।
ପ୍ରଥମେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ରୁହନ୍ତୁ; ଜଟିଳ ପ୍ରମେୟଗୁଡ଼ିକ କେବଳ ଯେତେବେଳେ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଦ୍ଧତି ସ୍ପଷ୍ଟ ହୁଏ।

ଅଭ୍ୟାସ ସେଟ୍ (25 ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ)

1. ସହଜ – ସର୍ବନିମ୍ନ 3-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 101, 2, 3, 5, 7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; ତେଣୁ ମୌଳିକ।

2. ସହଜ – କେଉଁଟି 11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) ସମସ୍ତ
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ D. 121, 132, 143 ସମସ୍ତେ 0 mod 11 ଦିଅନ୍ତି।

3. ସହଜ – 12, 18, 30 ର ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → ଲ.ସା.ଗୁ.=2²·3²·5=180।

4. ସହଜ – 36, 84 ର ଗ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → ଗ.ସା.ଗୁ.=2²·3=12।

5. ସହଜ – 3^2023 ର ଏକକ ଅଙ୍କ ହେଉଛି
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ C. 3-ଚକ୍ରୀୟତା: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7।

6. ସହଜ – ପ୍ରଥମ 5ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ହେଉଛି
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 2+3+5+7+11=28।

7. ସହଜ – ଯଦି nକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଶେଷ ଅଂଶ 3 ରହେ, ତେବେ n² mod 5 ହେଉଛି
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 3²=9≡4 mod 5।

8. ସହଜ – 72 ର ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12।

9. ସହଜ – କେଉଁଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) ସମସ୍ତ
   AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ D. ଯଥାକ୍ରମେ 12³, 11³, 14³।

10. ସହଜ – 1001 ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଛି
    A) 7 B) 11 C) 13 D) ସମସ୍ତ
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ D. 1001=7×11×13।

11. ମଧ୍ୟମ – 12, 15, 18 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସର୍ବବୃହତ 4-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. ଲ.ସା.ଗୁ.(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; କିନ୍ତୁ 9900<9999. 9720 ହେଉଛି 180×54 ଏବଂ ସର୍ବବୃହତ ≤9999।

12. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି 3^a = 81^2, ତେବେ a ସମାନ ହେଉଛି
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8।

13. ମଧ୍ୟମ – 2^100କୁ 7 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଶେଷ ଅଂଶ
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2।

14. ମଧ୍ୟମ – 50 ଏବଂ 70 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛନ୍ତି?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 53, 59, 61, 67 → 4।

15. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି 72 ଏବଂ x ର ଗ.ସା.ଗୁ. 12 ଏବଂ ଲ.ସା.ଗୁ. 504, ତେବେ x ହେଉଛି
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84।

16. ମଧ୍ୟମ – 2346 ରେ ଥିବା * ଅଙ୍କ ଯାହା ଏହାକୁ 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରେ
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. ଶେଷ 3 ଅଙ୍କ 46, 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ଠିକ୍। 336 → *=3।

17. ମଧ୍ୟମ – 25! ର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6।

18. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି n² – 1, 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ n ହେବା ଆବଶ୍ୟକ
    A) ଯୁଗ୍ମ B) ଅଯୁଗ୍ମ C) 3 ର ଗୁଣିତକ D) ମୌଳିକ
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. n²–1=(n-1)(n+1). ଗୁଣଫଳ 24 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପାଇଁ, n ଅଯୁଗ୍ମ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ଉତ୍ପାଦକ ପରସ୍ପର ପରେ ଆସୁଥିବା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବେ ଫଳରେ 3ଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ ଏବଂ 3 ଏବଂ 8 ଉତ୍ପାଦକ ମିଳିବ।

19. ମଧ୍ୟମ – 10!କୁ 11 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଶେଷ ଅଂଶ ହେଉଛି
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. ୱିଲସନଙ୍କ ପ୍ରମେୟ ଅନୁଯାୟୀ (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11।

20. କଠିନ – ସେହି ସର୍ବନିମ୍ନ 3-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କର ଯାହାକୁ 7 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଶେଷ ଅଂଶ 3, 9 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ 5, ଏବଂ 11 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ 7 ରହେ।
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. ଶେଷ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକ ଭାଜକଠାରୁ 2 କମ୍ ଅନୁଧ୍ୟାନ କରନ୍ତୁ। ଆବଶ୍ୟକ N = ଲ.ସା.ଗୁ.(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. ସର୍ବନିମ୍ନ 3-ଅଙ୍କ: k=1 → 691 ବହୁତ ବଡ଼; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; ପରବର୍ତ୍ତୀ ନିମ୍ନ 693·0−2 ଅବୈଧ। ପୁନଃ ବିନ୍ୟାସ:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 ଦିଏ।

21. କଠିନ – ସେହି ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା n ର ସଂଖ୍ୟା ଯେପରି 100 ≤ n ≤ 200 ଏବଂ n, 210 ସହ ମୌଳିକ
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 210=2·3·5·7. ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତି-ବହିଷ୍କରଣ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ: ମୋଟ 101ଟି ସଂଖ୍ୟା। 2,3,5,7 ର ଗୁଣିତକ ବାଦ ଦିଅନ୍ତୁ ଏବଂ ଛେଦସ୍ଥଳଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନର୍ଯୋଗ କରନ୍ତୁ → 48ଟି ରହିବ।

22. କଠିନ – ଯଦି 2^x mod 13 = 1, ତେବେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଧନାତ୍ମକ x ହେଉଛି
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 2 ହେଉଛି mod 13 ପାଇଁ ଏକ ଆଦିମ ମୂଳ → କ୍ରମ 12।

23. କଠିନ – 144 ର ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକର ସମଷ୍ଟି ଯାହା ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 144=2^4·3^2. ବର୍ଗ ଉତ୍ପାଦକ: ଘାତାଙ୍କ ଯୁଗ୍ମ → 2^0,2^2,2^4 ଏବଂ 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210।

24. କଠିନ – 2023^2023କୁ 9 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଶେଷ ଅଂଶ ହେଉଛି
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ B. 2023 mod 9 = 7. 7 ର ଚକ୍ରୀୟତା mod 9: 7,4,1 → ଅବଧି 3. 2023 mod 3 = 2 → ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ 4।

25. କଠିନ – 117! ରେ ଥିବା ଶେଷ ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: ବିକଳ୍ପ A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27।

ରେଳବାଇ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଦ୍ଧତି ଏବଂ ଟିପ୍ସ

1. 7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତା: ଶେଷ ଅଙ୍କର ଦୁଇଗୁଣକୁ ବାକି ସଂଖ୍ୟାରୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ → ଛୋଟ ନ ହେଯାଏଁ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପୁନରାବୃତ୍ତି କରନ୍ତୁ।
2. 5 ସେକେଣ୍ଡରେ ଲ.ସା.ଗୁ.: ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରନ୍ତୁ, ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ନିଅନ୍ତୁ, ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ।
3. ଏକକ ଅଙ୍କ: କେବଳ ଶେଷ ଅଙ୍କ ମହତ୍ତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ; ପ୍ରତ୍ୟେକ 4 ପରେ ଚକ୍ର।
4. ବଡ଼ ଘାତର ଶେଷ ଅଂଶ: ପ୍ରଥମେ ଆଧାର ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ଚକ୍ରୀୟତା ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ।
5. n! ରେ ଶୂନ୍ୟ: 5 ର ସଂଖ୍ୟା ଗଣନା କରନ୍ତୁ, 2 ନୁହେଁ।
6. ଗ.ସା.ଗୁ. × ଲ.ସା.ଗୁ. = ଗୁଣଫଳ – ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅଭାବ ହୁଏ ସେତେବେଳେ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ।
7. ୱିଲସନ: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 ପ୍ରକାରରେ ସମୟ ସଞ୍ଚୟ କରେ।
8. ବିକଳ୍ପ ବହିଷ୍କରଣ: ପ୍ରଥମେ ଶେଷ ଅଙ୍କ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ଯୁଗ୍ମତା।

30 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବର୍ଗ, 15 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଘନ, ଏବଂ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ତାଲିକା ମନେ ରଖନ୍ତୁ – ପରୀକ୍ଷା କକ୍ଷରେ 30 % ଗଣନା ସମୟ ସଞ୍ଚୟ କରେ।