द्रुत सिद्धांत

संख्या सिद्धांत पूर्ण संख्यांच्या (0, 1, 2 …) वर्तनाशी संबंधित आहे.
रेल्वे परीक्षांसाठी, चार स्तंभांवर प्रभुत्व मिळवा:

1. विभाज्यता नियम (2-11) – प्रत्येक प्रश्नावर 30 सेकंद वाचवतात.
2. मसावि & लसावि – दोन संख्यांचा गुणाकार = मसावि × लसावि.
3. मूळ अवयव पाडणे – प्रत्येक संख्या प्रथम मूळ संख्यांमध्ये मोडा.
4. बाकी शॉर्टकट – “गुणाकाराची बाकी = बाकींचा गुणाकार (mod m)”.

एकक स्थानाची चक्रीयता: 1-9 च्या घातांकाचा एकक अंक प्रत्येक 4 नंतर पुनरावृत्ती होतो.
युलरचे प्रमेय (पर्यायी पण उपयुक्त): जर a आणि n सह-मूळ असतील, तर a^φ(n) ≡ 1 mod n.
विल्सनचे उपप्रमेय: (p−1)! ≡ −1 mod p (जेथे p मूळ संख्या आहे) — बाकीच्या प्रश्नांमध्ये मदत करते.
प्रथम अवयव पाडण्यावर लक्ष केंद्रित करा; फक्त जेव्हा शॉर्टकट स्पष्ट दिसत असेल तेव्हाच अधिक गुंतागुंतीची प्रमेये वापरा.

सराव संच (25 बहुपर्यायी प्रश्न)

1. सोपे – सर्वात लहान 3-अंकी मूळ संख्या आहे
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   योग्य उत्तर: पर्याय A. 101 ही 2, 3, 5, 7 ने भाग जात नाही; म्हणून मूळ संख्या.

2. सोपे – खालीलपैकी कोणती संख्या 11 ने भाग जाते?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) सर्व
   योग्य उत्तर: पर्याय D. 121, 132, 143 या सर्वांना 11 ने भागल्यास बाकी 0 येते.

3. सोपे – 12, 18, 30 यांचा लसावि आहे
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   योग्य उत्तर: पर्याय A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → लसावि=2²·3²·5=180.

4. सोपे – 36, 84 यांचा मसावि आहे
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   योग्य उत्तर: पर्याय B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → मसावि=2²·3=12.

5. सोपे – 3^2023 चा एकक अंक आहे
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   योग्य उत्तर: पर्याय C. 3 ची चक्रीयता: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7.

6. सोपे – पहिल्या 5 मूळ संख्यांची बेरीज आहे
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   योग्य उत्तर: पर्याय A. 2+3+5+7+11=28.

7. सोपे – जर n ला 5 ने भागल्यास बाकी 3 येते, तर n² mod 5 आहे
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   योग्य उत्तर: पर्याय A. 3²=9≡4 mod 5.

8. सोपे – 72 च्या अवयवांची संख्या आहे
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   योग्य उत्तर: पर्याय B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12.

9. सोपे – खालीलपैकी कोणता परिपूर्ण घन आहे?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) सर्व
   योग्य उत्तर: पर्याय D. अनुक्रमे 12³, 11³, 14³.

10. सोपे – 1001 ही संख्या भाग जाते
    A) 7 B) 11 C) 13 D) सर्व
    योग्य उत्तर: पर्याय D. 1001=7×11×13.

11. मध्यम – 12, 15, 18 ने भाग जाणारी सर्वात मोठी 4-अंकी संख्या आहे
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    योग्य उत्तर: पर्याय B. लसावि(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; पण 9900<9999. 9720 = 180×54 आणि 9999 पेक्षा लहान किंवा समान सर्वात मोठी संख्या.

12. मध्यम – जर 3^a = 81^2, तर a बरोबर आहे
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    योग्य उत्तर: पर्याय A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8.

13. मध्यम – 2^100 ला 7 ने भागल्यास येणारी बाकी
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    योग्य उत्तर: पर्याय B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2.

14. मध्यम – 50 ते 70 दरम्यान किती मूळ संख्या आहेत?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    योग्य उत्तर: पर्याय A. 53, 59, 61, 67 → 4.

15. मध्यम – जर 72 आणि x यांचा मसावि 12 आणि लसावि 504 असेल, तर x आहे
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    योग्य उत्तर: पर्याय A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84.

16. मध्यम – 2346 या संख्येतील * चा अंक ज्यामुळे ती 8 ने भाग जाईल तो आहे
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    योग्य उत्तर: पर्याय B. शेवटचे 3 अंक 46 ला 8 ने भाग जावे लागेल. 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ठीक. 336 → *=3.

17. मध्यम – 25! च्या शेवटी असणाऱ्या शून्यांची संख्या आहे
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    योग्य उत्तर: पर्याय B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6.

18. मध्यम – जर n² – 1 ला 24 ने भाग जात असेल, तर n ही संख्या असली पाहिजे
    A) सम B) विषम C) 3 ची पट D) मूळ संख्या
    योग्य उत्तर: पर्याय B. n²–1=(n-1)(n+1). गुणाकाराला 24 ने भाग जाण्यासाठी, n विषम असावे लागेल जेणेकरून दोन्ही अवयव सलग सम संख्या असतील आणि त्यामुळे 3 सलग पूर्णांक मिळतील ज्यात 3 आणि 8 चे अवयव असतील.

19. मध्यम – 10! ला 11 ने भागल्यास येणारी बाकी आहे
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    योग्य उत्तर: पर्याय B. विल्सनच्या प्रमेयानुसार (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11.

20. कठीण – ती सर्वात लहान 3-अंकी संख्या शोधा जिला 7 ने भागल्यास बाकी 3, 9 ने भागल्यास बाकी 5 आणि 11 ने भागल्यास बाकी 7 येते.
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    योग्य उत्तर: पर्याय B. लक्षात घ्या की बाकी ही भाजकापेक्षा 2 ने कमी आहे. आवश्यक N = लसावि(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. सर्वात लहान 3-अंकी: k=1 → 691 खूप मोठी; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; पुढील कमी 693·0−2 अवैध. पुन्हा विचार करा:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → चीनी बाकी प्रमेयाने 283 मिळते.

21. कठीण – अशा पूर्णांक n ची संख्या जेथे 100 ≤ n ≤ 200 आणि n ही 210 शी सह-मूळ आहे ती आहे
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    योग्य उत्तर: पर्याय B. 210=2·3·5·7. समावेश-वगळणी पद्धत वापरा: एकूण 101 संख्या. 2,3,5,7 च्या पटीत्या संख्या वजा करा आणि छेदनबिंदू परत मिळवा → 48 शिल्लक.

22. कठीण – जर 2^x mod 13 = 1, तर सर्वात लहान धन x आहे
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    योग्य उत्तर: पर्याय B. 2 हे mod 13 साठी आदिम मूळ आहे → क्रम 12.

23. कठीण – 144 च्या सर्व अवयवांची बेरीज जे परिपूर्ण वर्ग आहेत ती आहे
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    योग्य उत्तर: पर्याय A. 144=2^4·3^2. वर्ग अवयव: घातांक सम → 2^0,2^2,2^4 आणि 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210 → फक्त वर्ग अवयव: 1,4,16,9,36,144 → 1+4+16+9+36+144=210.

24. कठीण – 2023^2023 ला 9 ने भागल्यास येणारी बाकी आहे
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    योग्य उत्तर: पर्याय B. 2023 mod 9 = 7. 7 ची mod 9 चक्रीयता: 7,4,1 → आवर्तनकाल 3. 2023 mod 3 = 2 → दुसरा पद 4.

25. कठीण – 117! मध्ये शेवटी असणाऱ्या शून्यांची संख्या आहे
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    योग्य उत्तर: पर्याय A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27.

रेल्वे शॉर्टकट आणि टिप्स

1. 7 ने विभाज्यता: शेवटचा अंक दुप्पट करून उर्वरित संख्येतून वजा करा → लहान होईपर्यंत पुनरावृत्ती करा.
2. 5 सेकंदात लसावि: मूळ अवयव पाडा, कमाल घात घ्या, गुणाकार करा.
3. एकक अंक: फक्त शेवटचा अंक महत्त्वाचा; प्रत्येक 4 नंतर चक्र पुनरावृत्ती होते.
4. मोठ्या घाताची बाकी: प्रथम पाया कमी करा, नंतर चक्रीयता वापरा.
5. n! मधील शून्ये: 5 ची संख्या मोजा, 2 ची नाही.
6. मसावि × लसावि = गुणाकार – जेव्हा एक संख्या गहाळ असेल तेव्हा वापरा.
7. विल्सन: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 या प्रकारच्या प्रश्नांमध्ये वेळ वाचवते.
8. पर्याय काढून टाकणे: प्रथम एकक अंक ठेवून पहा, नंतर सम/विषमता तपासा.

30 पर्यंतचे वर्ग, 15 पर्यंतचे घन आणि 100 पर्यंतची मूळ संख्यांची यादी लक्षात ठेवा – परीक्षा कक्षामध्ये 30% गणनेचा वेळ वाचवते.