ਤੇਜ਼ ਥਿਊਰੀ

ਨੰਬਰ ਥਿਊਰੀ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (0, 1, 2 …) ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।
ਰੇਲਵੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਚਾਰ ਥੰਮ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਹਰ ਹੋਵੋ:

1. ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਨਿਯਮ (2-11) – ਪ੍ਰਤੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ 30 ਸਕਿੰਟ ਬਚਾਉਂਦੇ ਹਨ।
2. ਮ.ਸ.ਵ. ਅਤੇ ਲ.ਸ.ਵ. – ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = ਮ.ਸ.ਵ. × ਲ.ਸ.ਵ.।
3. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ – ਪਹਿਲਾਂ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜੋ।
4. ਸ਼ੇਸ਼ ਛੋਟੇ ਰਾਹ – “ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਸ਼ੇਸ਼ = ਸ਼ੇਸ਼ਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ (ਮੋਡ m)"।

ਇਕਾਈ ਅੰਕ ਦੀ ਚੱਕਰੀਤਾ: 1-9 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਰ 4 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਆਇਲਰ ਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (ਵਿਕਲਪਿਕ ਪਰ ਉਪਯੋਗੀ): ਜੇ a ਅਤੇ n ਸਹ-ਅਭਾਜ ਹਨ, ਤਾਂ a^φ(n) ≡ 1 mod n।
ਵਿਲਸਨ ਦਾ ਉਪਸਿੱਟਕ: (p−1)! ≡ −1 mod p ਅਭਾਜ p ਲਈ—ਸ਼ੇਸ਼ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ‘ਤੇ ਟਿਕੇ ਰਹੋ; ਫੈਂਸੀ ਪ੍ਰਮੇਯਾਂ ਤਾਂ ਹੀ ਵਰਤੋਂ ਜਦੋਂ ਛੋਟਾ ਰਾਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਵੇ।

ਅਭਿਆਸ ਸੈੱਟ (25 ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ)

1. ਆਸਾਨ – ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ 3-ਅੰਕੀ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 101, 2, 3, 5, 7 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਨਹੀਂ; ਇਸ ਲਈ ਅਭਾਜ ਹੈ।

2. ਆਸਾਨ – ਕਿਹੜੀ 11 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਹੈ?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) ਸਾਰੇ
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ D. 121, 132, 143 ਸਾਰੇ 0 mod 11 ਦਿੰਦੇ ਹਨ।

3. ਆਸਾਨ – 12, 18, 30 ਦਾ ਲ.ਸ.ਵ. ਹੈ
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → ਲ.ਸ.ਵ.=2²·3²·5=180।

4. ਆਸਾਨ – 36, 84 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. ਹੈ
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → ਮ.ਸ.ਵ.=2²·3=12।

5. ਆਸਾਨ – 3^2023 ਦਾ ਇਕਾਈ ਅੰਕ ਹੈ
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ C. 3-ਚੱਕਰੀਤਾ: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7।

6. ਆਸਾਨ – ਪਹਿਲੀਆਂ 5 ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 2+3+5+7+11=28।

7. ਆਸਾਨ – ਜੇ n ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਸ਼ੇਸ਼ 3 ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ n² mod 5 ਹੈ
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 3²=9≡4 mod 5।

8. ਆਸਾਨ – 72 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12।

9. ਆਸਾਨ – ਕਿਹੜਾ ਪੂਰਨ ਘਣ ਹੈ?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) ਸਾਰੇ
   ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ D. ਕ੍ਰਮਵਾਰ 12³, 11³, 14³।

10. ਆਸਾਨ – 1001 ਵੰਡਣਯੋਗ ਹੈ
    A) 7 B) 11 C) 13 D) ਸਾਰੇ
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ D. 1001=7×11×13।

11. ਮੱਧਮ – 12, 15, 18 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ 4-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਲ.ਸ.ਵ.(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; ਪਰ 9900<9999. 9720, 180×54 ਹੈ ਅਤੇ ≤9999 ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ।

12. ਮੱਧਮ – ਜੇ 3^a = 81^2, ਤਾਂ a ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8।

13. ਮੱਧਮ – 2^100 ਨੂੰ 7 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਸ਼ੇਸ਼
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2।

14. ਮੱਧਮ – 50 ਅਤੇ 70 ਵਿਚਕਾਰ ਕਿੰਨੀਆਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 53, 59, 61, 67 → 4।

15. ਮੱਧਮ – ਜੇ 72 ਅਤੇ x ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. 12 ਹੈ ਅਤੇ ਲ.ਸ.ਵ. 504 ਹੈ, ਤਾਂ x ਹੈ
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84।

16. ਮੱਧਮ – 2346 ਵਿੱਚ ਅੰਕ * ਜੋ ਇਸਨੂੰ 8 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਆਖਰੀ 3 ਅੰਕ 46, 8 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ਠੀਕ। 336 → *=3।

17. ਮੱਧਮ – 25! ਦੇ ਅੰਤ ‘ਤੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6।

18. ਮੱਧਮ – ਜੇ n² – 1, 24 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ n ਜ਼ਰੂਰ ਹੋਵੇਗਾ
    A) ਜਿਸਤ B) ਵਿਸਮ C) 3 ਦਾ ਗੁਣਜ D) ਅਭਾਜ
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. n²–1=(n-1)(n+1). 24 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ, n ਵਿਸਮ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਗਾਤਾਰ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ ਜਿਸ ਨਾਲ 3 ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮਿਲਣ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ 3 ਅਤੇ 8 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ।

19. ਮੱਧਮ – 10! ਨੂੰ 11 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਸ਼ੇਸ਼ ਹੈ
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਲਸਨ ਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11।

20. ਕਠਿਨ – ਉਹ ਛੋਟੀ ਤੋਂ ਛੋਟੀ 3-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ 7 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਸ਼ੇਸ਼ 3, 9 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ 5, ਅਤੇ 11 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ 7 ਛੱਡਦੀ ਹੈ।
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਸ਼ੇਸ਼, ਭਾਜਕਾਂ ਤੋਂ 2 ਘੱਟ ਹਨ। ਲੋੜੀਂਦੀ N = ਲ.ਸ.ਵ.(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. ਛੋਟੀ ਤੋਂ ਛੋਟੀ 3-ਅੰਕੀ: k=1 → 691 ਬਹੁਤ ਵੱਡੀ; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; ਅਗਲੀ ਛੋਟੀ 693·0−2 ਅਵੈਧ। ਦੁਬਾਰਾ:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

21. ਕਠਿਨ – ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ n ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਵੇਂ ਕਿ 100 ≤ n ≤ 200 ਅਤੇ n, 210 ਨਾਲ ਸਹ-ਅਭਾਜ ਹੈ
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 210=2·3·5·7. ਸਮਾਵੇਸ਼-ਬਹਿਸਕਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਕੁੱਲ 101 ਸੰਖਿਆਵਾਂ। 2,3,5,7 ਦੇ ਗੁਣਜ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਪਸ ਜੋੜੋ → 48 ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।

22. ਕਠਿਨ – ਜੇ 2^x mod 13 = 1, ਤਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਧਨਾਤਮਕ x ਹੈ
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 2, mod 13 ਲਈ ਆਦਿਮ ਮੂਲ ਹੈ → ਕ੍ਰਮ 12।

23. ਕਠਿਨ – 144 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜੋ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 144=2^4·3^2. ਵਰਗ ਗੁਣਨਖੰਡ: ਘਾਤਾਂ ਜਿਸਤ → 2^0,2^2,2^4 ਅਤੇ 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210।

24. ਕਠਿਨ – 2023^2023 ਨੂੰ 9 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਸ਼ੇਸ਼ ਹੈ
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. 2023 mod 9 = 7. 7 mod 9 ਦੀ ਚੱਕਰੀਤਾ: 7,4,1 → ਅਵਧੀ 3. 2023 mod 3 = 2 → ਦੂਸਰਾ ਪਦ 4।

25. ਕਠਿਨ – 117! ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27।

ਰੇਲਵੇ ਛੋਟੇ ਰਾਹ ਅਤੇ ਸੁਝਾਅ

1. 7 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ: ਆਖਰੀ ਅੰਕ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਬਾਕੀ ਤੋਂ ਘਟਾਓ → ਛੋਟਾ ਹੋਣ ਤੱਕ ਦੁਹਰਾਓ।
2. 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਲ.ਸ.ਵ.: ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਲਓ, ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
3. ਇਕਾਈ ਅੰਕ: ਸਿਰਫ਼ ਆਖਰੀ ਅੰਕ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ; ਹਰ 4 ਦਾ ਚੱਕਰ।
4. ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਦਾ ਸ਼ੇਸ਼: ਪਹਿਲਾਂ ਬੇਸ ਘਟਾਓ, ਫਿਰ ਚੱਕਰੀਤਾ ਵਰਤੋਂ।
5. n! ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ: 2s ਨਹੀਂ, 5s ਗਿਣੋ।
6. ਮ.ਸ.ਵ. × ਲ.ਸ.ਵ. = ਗੁਣਨਫਲ – ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਗਾਇਬ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵਰਤੋਂ।
7. ਵਿਲਸਨ: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 ਕਿਸਮ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ।
8. ਵਿਕਲਪ ਖ਼ਾਰਜ: ਪਹਿਲਾਂ ਆਖਰੀ ਅੰਕ ਪਾਓ, ਫਿਰ ਜਿਸਤ/ਵਿਸਮਤਾ।

30 ਤੱਕ ਵਰਗ, 15 ਤੱਕ ਘਣ, ਅਤੇ 100 ਤੱਕ ਅਭਾਜ ਸੂਚੀ ਯਾਦ ਕਰੋ – ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਹਾਲ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾ ਸਮੇਂ ਦਾ 30% ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ।