ತ್ವರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (0, 1, 2 …) ವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.
ರೈಲ್ವೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸ್ತಂಭಗಳನ್ನು ಕರಗತಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ:

1. ಭಾಜ್ಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳು (2-11) – ಪ್ರತಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಮ.ಸಾ.ಅ & ಲ.ಸಾ.ಅ – ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = ಮ.ಸಾ.ಅ × ಲ.ಸಾ.ಅ.
3. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ – ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ.
4. ಶೇಷದ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು – “ಗುಣಲಬ್ಧದ ಶೇಷ = ಶೇಷಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ (ಮಾಡ್ m)”.

ಏಕಮ ಸ್ಥಾನದ ಆವರ್ತನೆ: 1-9ರ ಘಾತಗಳು ಪ್ರತಿ 4ರಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ.
ಯೂಲರ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಐಚ್ಛಿಕ ಆದರೆ ಉಪಯುಕ್ತ): a ಮತ್ತು n ಸಹ-ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, a^φ(n) ≡ 1 mod n.
ವಿಲ್ಸನ್ನರ ಫಲಿತಾಂಶ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಗೆ (p−1)! ≡ −1 mod p — ಶೇಷದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ.
ಮೊದಲು ಅಪವರ್ತನೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳಿ; ಸುಲಭವಾದ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ ಸೆಟ್ (25 ಬಹುಯೋಜ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು)

1. ಸುಲಭ – ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ 3-ಅಂಕಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 101 ಅನ್ನು 2, 3, 5, 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

2. ಸುಲಭ – ಯಾವುದು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) ಎಲ್ಲಾ
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ D. 121, 132, 143 ಎಲ್ಲವೂ 0 mod 11 ನೀಡುತ್ತವೆ.

3. ಸುಲಭ – 12, 18, 30 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → ಲ.ಸಾ.ಅ=2²·3²·5=180.

4. ಸುಲಭ – 36, 84 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → ಮ.ಸಾ.ಅ=2²·3=12.

5. ಸುಲಭ – 3^2023 ರ ಏಕಮ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ C. 3-ಆವರ್ತನೆ: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7.

6. ಸುಲಭ – ಮೊದಲ 5 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 2+3+5+7+11=28.

7. ಸುಲಭ – n ಅನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 3 ಬಂದರೆ, n² mod 5
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 3²=9≡4 mod 5.

8. ಸುಲಭ – 72 ರ ಅಪವರ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12.

9. ಸುಲಭ – ಯಾವುದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನ?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) ಎಲ್ಲಾ
   ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ D. ಕ್ರಮವಾಗಿ 12³, 11³, 14³.

10. ಸುಲಭ – 1001 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು
    A) 7 B) 11 C) 13 D) ಎಲ್ಲಾ
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ D. 1001=7×11×13.

11. ಮಧ್ಯಮ – 12, 15, 18 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ಲ.ಸಾ.ಅ(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; ಆದರೆ 9900<9999. 9720 = 180×54 ಮತ್ತು 9999 ಗಿಂತ ≤.

12. ಮಧ್ಯಮ – 3^a = 81^2 ಆದರೆ, a ಸಮಾನ
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8.

13. ಮಧ್ಯಮ – 2^100 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2.

14. ಮಧ್ಯಮ – 50 ಮತ್ತು 70 ರ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ?
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 53, 59, 61, 67 → 4.

15. ಮಧ್ಯಮ – 72 ಮತ್ತು x ರ ಮ.ಸಾ.ಅ 12 ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ 504 ಆದರೆ, x
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84.

16. ಮಧ್ಯಮ – 2346 ಅನ್ನು 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು * ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರಬೇಕಾದ ಅಂಕೆ
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ಕೊನೆಯ 3 ಅಂಕೆಗಳು 46 ಅನ್ನು 8 ಭಾಗಿಸಬೇಕು. 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ಸರಿ. 336 → *=3.

17. ಮಧ್ಯಮ – 25! ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6.

18. ಮಧ್ಯಮ – n² – 1 ಅನ್ನು 24 ಭಾಗಿಸಿದರೆ, n ಆಗಿರಬೇಕು
    A) ಸಮ B) ಬೆಸ C) 3 ರ ಗುಣಕ D) ಅವಿಭಾಜ್ಯ
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. n²–1=(n-1)(n+1). ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು 24 ಭಾಗಿಸಲು, n ಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು ಆಗ ಎರಡೂ ಅಪವರ್ತಗಳು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ 3 ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಹೀಗಾಗಿ 3 ಮತ್ತು 8 ಅಪವರ್ತಗಳು.

19. ಮಧ್ಯಮ – 10! ಅನ್ನು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿಲ್ಸನ್ನರ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11.

20. ಕಠಿಣ – 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 3, 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 5, ಮತ್ತು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 7 ಬರುವಂತಹ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ 3-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ಶೇಷಗಳು ಭಾಜಕಗಳಿಗಿಂತ 2 ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ N = ಲ.ಸಾ.ಅ(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ 3-ಅಂಕಿಯ: k=1 → 691 ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದು; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; ಮುಂದಿನ ಕಡಿಮೆ 693·0−2 ಅಮಾನ್ಯ. ಪುನರ್ವ್ಯವಸ್ಥೆ:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 ನೀಡುತ್ತದೆ.

21. ಕಠಿಣ – 100 ≤ n ≤ 200 ಮತ್ತು n, 210 ಗೆ ಸಹ-ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವಂತಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 210=2·3·5·7. ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆ-ಬಹಿಷ್ಕರಣ ಬಳಸಿ: ಒಟ್ಟು 101 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. 2,3,5,7 ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸೇರಿಸಿ → 48 ಉಳಿಯುತ್ತವೆ.

22. ಕಠಿಣ – 2^x mod 13 = 1 ಆದರೆ, ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ x
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 2 ಮಾಡ್ 13 ಗೆ ಆದಿಮ ಮೂಲ → ಕ್ರಮ 12.

23. ಕಠಿಣ – 144 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಾಗಿರುವ
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 144=2^4·3^2. ವರ್ಗ ಅಪವರ್ತಿಗಳು: ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಮ → 2^0,2^2,2^4 ಮತ್ತು 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210.

24. ಕಠಿಣ – 2023^2023 ಅನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. 2023 mod 9 = 7. 7 ರ ಆವರ್ತನೆ ಮಾಡ್ 9: 7,4,1 → ಅವಧಿ 3. 2023 mod 3 = 2 → ಎರಡನೇ ಪದ 4.

25. ಕಠಿಣ – 117! ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27.

ರೈಲ್ವೇ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳು

1. 7 ರಿಂದ ಭಾಜ್ಯತೆ: ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಯ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಉಳಿದದ್ದರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ → ಚಿಕ್ಕದಾಗುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.
2. 5 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಲ.ಸಾ.ಅ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ, ಗರಿಷ್ಠ ಘಾತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಗುಣಿಸಿ.
3. ಏಕಮ ಸ್ಥಾನ: ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ ಮಾತ್ರ ಮುಖ್ಯ; ಪ್ರತಿ 4 ರಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನೆ.
4. ದೊಡ್ಡ ಘಾತದ ಶೇಷ: ಮೊದಲು ಆಧಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ, ನಂತರ ಆವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ.
5. n! ರಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳು: 2 ರ ಬದಲು 5 ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ.
6. ಮ.ಸಾ.ಅ × ಲ.ಸಾ.ಅ = ಗುಣಲಬ್ಧ – ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣೆಯಾದಾಗ ಬಳಸಿ.
7. ವಿಲ್ಸನ್: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಯ ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.
8. ಆಯ್ಕೆ ನಿರ್ಮೂಲನ: ಮೊದಲು ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಯನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ, ನಂತರ ಸಮ/ಬೆಸತನ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

30 ರವರೆಗಿನ ವರ್ಗಗಳು, 15 ರವರೆಗಿನ ಘನಗಳು ಮತ್ತು 100 ರವರೆಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ – ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿ 30% ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.