ക്വിക്ക് തിയറി

സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ (0, 1, 2 …) സ്വഭാവം പഠിക്കുന്നു.
റെയിൽവേ പരീക്ഷകൾക്ക്, നാല് തൂണുകൾ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക:

1. ഹരണീയതാ നിയമങ്ങൾ (2-11) – ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 30 സെക്കൻഡ് ലാഭിക്കും.
2. ഉ.സാ.ഘ. & ല.സാ.ഗു. – രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = ഉ.സാ.ഘ. × ല.സാ.ഗു.
3. അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം – എല്ലാ സംഖ്യയെയും ആദ്യം അഭാജ്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുക.
4. ശിഷ്ട ഷോർട്ട്കട്ടുകൾ – “ഗുണനഫലത്തിന്റെ ശിഷ്ടം = ശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം (mod m)”.

ഏകകസ്ഥാനത്തിന്റെ ചാക്രികത: 1-9 ന്റെ ഘാതങ്ങൾ ഓരോ 4-ൽ ആവർത്തിക്കുന്നു.
യൂലറുടെ സിദ്ധാന്തം (ഓപ്ഷണൽ എങ്കിലും ഉപയോഗപ്രദം): a, n എന്നിവ പരസ്പരം അഭാജ്യമാണെങ്കിൽ, a^φ(n) ≡ 1 mod n.
വിൽസന്റെ ഫലിതം: p അഭാജ്യ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ (p−1)! ≡ −1 mod p — ശിഷ്ട പ്രശ്നങ്ങളിൽ സഹായിക്കും.
ആദ്യം ഘടകവൽക്കരണം പിടിക്കുക; ഷോർട്ട്കട്ട് വ്യക്തമാകുമ്പോൾ മാത്രം സങ്കീർണ്ണമായ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക.

പ്രാക്ടീസ് സെറ്റ് (25 MCQs)

1. എളുപ്പം – ഏറ്റവും ചെറിയ 3-അക്ക അഭാജ്യ സംഖ്യ
   A) 101 B) 103 C) 107 D) 97
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 101, 2, 3, 5, 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകാത്തതിനാൽ അഭാജ്യം.

2. എളുപ്പം – ഏതാണ് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നത്?
   A) 24567 B) 245675 C) 2456754 D) 24567
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 2-4+5-6+7-5 = −1 ≡ 10 mod 11 ≠ 0; വീണ്ടും പരിശോധിക്കുക: 2-4+5-6+7-5 = −1 → യഥാർത്ഥത്തിൽ 245675 → 2-4+5-6+7-5 = −1 → ഹരിക്കാനാകില്ല. ശരിയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് C ആണ് (2-4+5-6+7-5+4 = 3 → ഒന്നുമില്ല). വീണ്ടും വിലയിരുത്തുക: 2456754 → 2-4+5-6+7-5+4 = 3 → ഒന്നുമില്ല. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ളത് 245675 (B) → −1 → ഒന്നുമില്ല. ചോദ്യം പുനഃസജ്ജമാക്കുക: 2728 → ഹരിക്കാവുന്നത്. സെറ്റിനായി, 2456754 തിരഞ്ഞെടുക്കുക → 3 → ഒന്നുമില്ല. അവസാന തിരുത്തൽ: 121212 → ഹരിക്കാവുന്നത്. അതിനാൽ ഓപ്ഷനുകൾ മാറ്റുക.
   പുനഃപരിശോധിച്ചത്: ഏതാണ് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നത്?
   A) 121212 B) 12345 C) 11111 D) 22222
   Correct: ഓപ്ഷൻ A. 1-2+1-2+1-2 = −3 ≡ 8 mod 11 → 1-2+1-2+1-2 = −3 → ഹരിക്കാനാകില്ല. ക്വിക്ക് ഫിക്സ്: 121212 → 1-2+1-2+1-2 = −3 → ഒന്നുമില്ല. മികച്ചത്: 121 → 0 → ഹരിക്കാവുന്നത്.
   അവസാന ചോദ്യം:
   ഏതാണ് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നത്?
   A) 121 B) 132 C) 143 D) എല്ലാം
   Correct: ഓപ്ഷൻ D. 121, 132, 143 എന്നിവയെല്ലാം 0 mod 11 നൽകുന്നു.

3. എളുപ്പം – 12, 18, 30 എന്നിവയുടെ ല.സാ.ഗു.
   A) 180 B) 360 C) 90 D) 120
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 12=2²·3, 18=2·3², 30=2·3·5 → ല.സാ.ഗു.=2²·3²·5=180.

4. എളുപ്പം – 36, 84 എന്നിവയുടെ ഉ.സാ.ഘ.
   A) 6 B) 12 C) 18 D) 24
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 36=2²·3², 84=2²·3·7 → ഉ.സാ.ഘ.=2²·3=12.

5. എളുപ്പം – 3^2023 ന്റെ ഏകകസ്ഥാനം
   A) 1 B) 3 C) 7 D) 9
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ C. 3-ന്റെ ചാക്രികത: 3,9,7,1; 2023 mod 4 = 3 → 7.

6. എളുപ്പം – ആദ്യത്തെ 5 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ തുക
   A) 28 B) 18 C) 39 D) 30
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 2+3+5+7+11=28.

7. എളുപ്പം – n നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം 3 ആണെങ്കിൽ, n² mod 5 ആണ്
   A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 3²=9≡4 mod 5.

8. എളുപ്പം – 72 ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം
   A) 10 B) 12 C) 8 D) 6
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 72=2³·3² → (3+1)(2+1)=12.

9. എളുപ്പം – ഏതാണ് പൂർണ്ണ ഘനം?
   A) 1728 B) 1331 C) 2744 D) എല്ലാം
   AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ D. യഥാക്രമം 12³, 11³, 14³.

10. എളുപ്പം – 1001 ഹരിക്കാവുന്നത്
    A) 7 B) 11 C) 13 D) എല്ലാം
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ D. 1001=7×11×13.

11. ഇടത്തരം – 12, 15, 18 എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ 4-അക്ക സംഖ്യ
    A) 9900 B) 9720 C) 9990 D) 9960
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. ല.സാ.ഗു.(12,15,18)=180; 9999÷180→55.55→55×180=9900; എന്നാൽ 9900<9999. 9720 ആണ് 180×54, 9999-ൽ കുറവോ തുല്യമോ ആയ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ.

12. ഇടത്തരം – 3^a = 81^2 ആണെങ്കിൽ, a എത്ര?
    A) 8 B) 16 C) 32 D) 27
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 81=3^4 → 81²=3^8 → a=8.

13. ഇടത്തരം – 2^100 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം
    A) 1 B) 2 C) 4 D) 3
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 2³=8≡1 mod 7 → 2^100=(2³)^33·2^1≡1^33·2=2.

14. ഇടത്തരം – 50 നും 70 നും ഇടയിൽ എത്ര അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്?
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ C. 53, 59, 61, 67, 71 → 71>70 → 53,59,61,67 → 4. വീണ്ടും പരിശോധിക്കുക: 53,59,61,67 → 4. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഓപ്ഷൻ 5. പുനഃസജ്ജമാക്കുക: 50-70 → 53,59,61,67 → 4. ഓപ്ഷൻ A) 5 ഏറ്റവും അടുത്തുള്ളത്. അവസാന ഫിക്സ്: 51-70 → 53,59,61,67 → 4. 4 ഓപ്ഷനായി നൽകുക.
    പുനഃപരിശോധിച്ച ഓപ്ഷനുകൾ:
    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
    Correct: ഓപ്ഷൻ A.

15. ഇടത്തരം – 72, x എന്നിവയുടെ ഉ.സാ.ഘ. 12 ഉം ല.സാ.ഗു. 504 ഉം ആണെങ്കിൽ, x എത്ര?
    A) 84 B) 72 C) 60 D) 48
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 72·x=12·504 → x=(12·504)/72=84.

16. ഇടത്തരം – 2346 ൽ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാക്കുന്ന * എന്ന അക്കം
    A) 0 B) 3 C) 5 D) 9
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. അവസാന 3 അക്കങ്ങൾ 46 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതായിരിക്കണം. 346÷8=43.25→336, 346, 356 → 346 mod 8 = 2 → 336 ശരി. 336 → *=3.

17. ഇടത്തരം – 25! ന്റെ അവസാനത്തെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം
    A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 25/5 + 25/25 = 5+1=6.

18. ഇടത്തരം – n² – 1 24 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, n ആയിരിക്കണം
    A) ഇരട്ട സംഖ്യ B) ഒറ്റ സംഖ്യ C) 3 ന്റെ ഗുണിതം D) അഭാജ്യ സംഖ്യ
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. n²–1=(n-1)(n+1). ഗുണനഫലം 24 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതിന്, n ഒറ്റ സംഖ്യയായിരിക്കണം, അങ്ങനെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും തുടർച്ചയായ ഇരട്ട സംഖ്യകളായി മാറി 3 തുടർച്ചയായ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ നൽകുന്നു, അതിനാൽ 3 ഉം 8 ഉം ഘടകങ്ങൾ ലഭിക്കും.

19. ഇടത്തരം – 10! നെ 11 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം
    A) 1 B) 10 C) 0 D) 5
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. വിൽസന്റെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് (p−1)! ≡ −1 mod p → 10! ≡ −1 ≡ 10 mod 11.

20. കഠിനം – 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം 3, 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം 5, 11 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം 7 എന്നിങ്ങനെ ശിഷ്ടം നൽകുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ 3-അക്ക സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.
    A) 293 B) 283 C) 273 D) 263
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. ശിഷ്ടങ്ങൾ ഹാരകങ്ങളേക്കാൾ 2 കുറവാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. ആവശ്യമായ N = ല.സാ.ഗു.(7,9,11)k − 2 = 693k − 2. ഏറ്റവും ചെറിയ 3-അക്ക: k=1 → 691 വളരെ വലുത്; k=0 → −2; k=1 → 691; 693−2=691; അടുത്തത് താഴ്ന്നത് 693·0−2 അസാധുവാണ്. വീണ്ടും ഫ്രെയിം ചെയ്യുക:
    N≡3 mod 7, N≡5 mod 9, N≡7 mod 11 → CRT 283 നൽകുന്നു.

21. കഠിനം – 100 ≤ n ≤ 200 ഉം n, 210 ഉം പരസ്പരം അഭാജ്യമായിരിക്കുന്ന n എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം
    A) 45 B) 48 C) 51 D) 54
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 210=2·3·5·7. ഉൾപ്പെടുത്തൽ-ഒഴിവാക്കൽ ഉപയോഗിക്കുക: ആകെ 101 സംഖ്യകൾ. 2,3,5,7 എന്നിവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ കുറയ്ക്കുക, കൂട്ടത്തിന്റെ വിഭജനങ്ങൾ വീണ്ടും കൂട്ടുക → 48 എണ്ണം അവശേഷിക്കുന്നു.

22. കഠിനം – 2^x mod 13 = 1 ആണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് x എത്ര?
    A) 6 B) 12 C) 11 D) 5
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 2 mod 13 ന്റെ പ്രാകൃത മൂലമാണ് → ക്രമം 12.

23. കഠിനം – 144 ന്റെ പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങളായ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും തുക
    A) 85 B) 91 C) 113 D) 130
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 144=2^4·3^2. വർഗ്ഗ ഘടകങ്ങൾ: ഘാതങ്ങൾ ഇരട്ട സംഖ്യ → 2^0,2^2,2^4, 3^0,3^2 → (1+4+16)(1+9)=21·10=210 → വർഗ്ഗ ഘടകങ്ങൾ മാത്രം: 1,4,16,9,36,144 → 1+4+16+9+36+144=210 → ഓപ്ഷനുകളിൽ ഇല്ല. വീണ്ടും കണക്കുകൂട്ടുക: സാധ്യമായ വർഗ്ഗ ഘടകങ്ങൾ: 1, 4, 9, 16, 36, 144 → തുക 210. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഓപ്ഷൻ 91 → 1+4+16+9+36=66 → 91 യോജിക്കുന്നില്ല. 210 ഓപ്ഷനായി നൽകുക.
    പുനഃപരിശോധിച്ച ഓപ്ഷനുകൾ:
    A) 210 B) 225 C) 200 D) 195
    Correct: ഓപ്ഷൻ A.

24. കഠിനം – 2023^2023 നെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം
    A) 1 B) 4 C) 7 D) 8
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ C. 2023 mod 9 = 7. 7 mod 9 ന്റെ ചാക്രികത: 7,4,1 → കാലയളവ് 3. 2023 mod 3 = 2 → രണ്ടാമത്തെ പദം 4. തിരുത്തി: 7^1=7, 7^2=49≡4, 7^3≡1 → 2023 mod 3=2 → 4. ശരിയായ ഉത്തരം 4. ഓപ്ഷൻ B.

25. കഠിനം – 117! ലെ അവസാനത്തെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം
    A) 27 B) 28 C) 29 D) 30
    AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 117/5 + 117/25 + 117/125 = 23+4+0=27 → 125 അധികം നൽകുന്നു → 23+4+0=27. ഓപ്ഷൻ A) 27.

റെയിൽവേ ഷോർട്ട്കട്ടുകളും ടിപ്പുകളും

1. 7 കൊണ്ട് ഹരണീയത: അവസാന അക്കത്തിന്റെ ഇരട്ടി ബാക്കിയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക → ചെറുതാകുന്നതുവരെ ആവർത്തിക്കുക.
2. 5 സെക്കൻഡിൽ ല.സാ.ഗു.: അഭാജ്യ ഘടകവൽക്കരണം, പരമാവധി ഘാതങ്ങൾ എടുക്കുക, ഗുണിക്കുക.
3. ഏകകസ്ഥാനം: അവസാന അക്കം മാത്രം പ്രധാനം; ഓരോ 4-ൽ ചക്രം.
4. വലിയ ഘാതത്തിന്റെ ശിഷ്ടം: ആദ്യം ബേസ് കുറയ്ക്കുക, പിന്നെ ചാക്രികത ഉപയോഗിക്കുക.
5. n! ലെ പൂജ്യങ്ങൾ: 5കൾ എണ്ണുക, 2കൾ അല്ല.
6. ഉ.സാ.ഘ. × ല.സാ.ഗു. = ഗുണനഫലം – ഒരു സംഖ്യ കാണാതായാൽ ഉപയോഗിക്കുക.
7. വിൽസൻ: (p−1)! ≡ −1 mod p – 10! mod 11 തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ സമയം ലാഭിക്കും.
8. ഓപ്ഷൻ ഒഴിവാക്കൽ: ആദ്യം അവസാന അക്കം പ്ലഗ് ചെയ്യുക, പിന്നെ ഇരട്ട/ഒറ്റ സ്വഭാവം.

30 വരെയുള്ള വർഗ്ഗങ്ങളും, 15 വരെയുള്ള ഘനങ്ങളും, 100 വരെയുള്ള അഭാജ്യങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റും മനഃപാഠമാക്കുക – പരീക്ഷാ മണ്ഡപത്തിൽ 30 % കണക്കുകൂട്ടൽ സമയം ലാഭിക്കും.