مختصر نظریہ کا جائزہ

الجبرہ ریاضی کی وہ شاخ ہے جو نامعلوم مقداروں کو ظاہر کرنے کے لیے علامات (متغیرات) کا استعمال کرتی ہے۔ ریلوے امتحانات میں آپ بنیادی طور پر یک درجی مساوات، دو درجی مساوات، شناختات، تجزیہ اور لفظی مسائل سے نمٹیں گے۔ ایک متغیر میں ایک یک درجی مساوات کی معیاری شکل ax + b = 0 ہوتی ہے جس کا حل x = –b/a ہوتا ہے۔ دو درجی مساوات ax² + bx + c = 0 کو یا تو درمیانی رکن کو توڑ کر یا دو درجی کلیہ x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a سے حل کیا جاتا ہے۔ یاد رکھیں، ممیز D = b² – 4ac آپ کو جڑوں کی نوعیت بتاتا ہے: D > 0 (حقیقی اور مختلف)، D = 0 (حقیقی اور برابر) اور D < 0 (مختلط)۔

مساوات حل کرنے کے علاوہ، ریلوے کے پیپرز الجبری شناختات (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b²، وغیرہ)، کج رو اور قوت نما کی تخفیف، اور لفظی بیان سے مساوات بنانے (عمر، رفتار-فاصلہ، کام-وقت) میں آپ کی رفتار کو پرکھتے ہیں۔ ذہنی تجزیہ میں مہارت اور “سوال کو الٹا پڑھنا” سیکھنا (یعنی پہلے اختیارات کو چیک کرنا) فی سوال 10-15 سیکنڈ بچاتا ہے، جو اس وقت انتہائی اہم ہے جب آپ کے پاس مرحلہ اول سی بی ٹی میں فی ایم سی کیو بمشکل 60 سیکنڈ ہوں۔

کثیرالاختیاری سوالات

1. آسان – اگر 3x – 7 = 14، تو x برابر ہے
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: اختیار C۔ 3x = 21 ⇒ x = 7۔

2. آسان – دو لگاتار طاق اعداد کا مجموعہ 64 ہے۔ چھوٹا عدد ہے
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: اختیار B۔ x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31۔

3. آسان – اگر x² – 9 = 0، تو x کی مثبت قیمت ہے
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: اختیار B۔ x² = 9 ⇒ x = ±3، مثبت جڑ 3۔

4. آسان – (a + b)² – (a – b)² کی قیمت ہے
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: اختیار C۔ شناخت 4ab تک تخفیف ہوتی ہے۔

5. آسان – اگر 2x + 3y = 12 اور x = 3، تو y برابر ہے
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: اختیار A۔ 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2۔

6. آسان – x² – 5x + 6 کے اجزائے ضربی ہیں
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: اختیار B۔ درمیانی رکن –5x = –2x –3x کو توڑیں۔

7. آسان – اگر 5^(x+1) = 125، تو x برابر ہے
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: اختیار B۔ 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2۔

8. درمیانہ – دو درجی مساوات x² – 8x + 15 = 0 کی جڑیں ہیں
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: اختیار A۔ اجزائے ضربی (x – 3)(x – 5) = 0۔

9. درمیانہ – ایک ٹرین 60 کلومیٹر زیادہ سفر کرتی ہے اگر اس کی رفتار 3 گھنٹے کے لیے 10 کلومیٹر/گھنٹہ بڑھ جائے۔ اصل رفتار ہے
   A. 30 کلومیٹر/گھنٹہ
   B. 40 کلومیٹر/گھنٹہ
   C. 50 کلومیٹر/گھنٹہ
   D. 60 کلومیٹر/گھنٹہ

AnswerCorrect: اختیار C۔ اصل رفتار x کلومیٹر/گھنٹہ مان لیں؛ 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50۔

10. درمیانہ – اگر مساوات 2x² – kx + 8 = 0 کی جڑیں برابر ہوں، تو k برابر ہے
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: اختیار B۔ ممیز k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8۔

11. درمیانہ – اگر x + 1/x = 5، تو x² + 1/x² برابر ہے
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: اختیار A۔ دونوں اطراف کا مربع کریں: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23۔

12. درمیانہ – (256)^(3/4) کی قیمت ہے
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: اختیار A۔ 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64۔

13. درمیانہ – اگر 3x – 2y = 7 اور 2x + 3y = 1، تو x – y برابر ہے
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: اختیار B۔ یکلخت حل کریں: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2۔

14. درمیانہ – مساوات 3x² – 12x + 9 = 0 کی جڑوں کا مجموعہ ہے
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: اختیار B۔ مجموعہ = –(–12)/3 = 4۔

15. درمیانہ – اگر a – b = 5 اور ab = 24، تو a² + b² برابر ہے
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: اختیار C۔ a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73۔

16. مشکل – اگر x = √(7 + 4√3)، تو x + 1/x برابر ہے
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: اختیار B۔ لکھیں 7 + 4√3 = (2 + √3)² ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4۔

17. مشکل – مساوات |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 کی حقیقی جڑوں کی تعداد ہے
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: اختیار D۔ مان لیں y = |x – 3| ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 یا 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 حقیقی جڑیں۔

18. مشکل – اگر (x + 1)² + (x – 1)² = 10، تو تمام ممکنہ x کا مجموعہ ہے
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: اختیار A۔ تخفیف کریں 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2؛ مجموعہ = 0۔

19. مشکل – ایک آدمی اپنے بیٹے سے 4 گنا بوڑھا ہے۔ 8 سال بعد وہ 2.5 گنا بوڑھا ہوگا۔ بیٹے کی موجودہ عمر؟
    A. 8 سال
    B. 10 سال
    C. 12 سال
    D. 16 سال

AnswerCorrect: اختیار A۔ مان لیں بیٹا = x، آدمی = 4x؛ 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8۔

20. مشکل – اگر (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca)، تو a³ + b³ + c³ – 3abc کی قیمت ہے
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: اختیار A۔ دی گئی شرط کا مطلب ہے a = b = c ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0۔

21. مشکل – اگر 2^x · 3^y = 72 اور 2^y · 3^x = 108، تو x + y برابر ہے
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: اختیار C۔ مساوات کو تقسیم کریں ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1؛ ضرب کریں ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7۔

22. مشکل – مساوات 2x² – 8x + 11 کی کم سے کم قیمت ہے
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: اختیار B۔ مربع مکمل کریں: 2(x – 2)² + 3 ⇒ کم سے کم قیمت 3 جب x = 2۔

23. مشکل – اگر x = 1/(√2 + 1)، تو x² + 2x – 1 برابر ہے
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: اختیار A۔ ناطق بنائیں x = √2 – 1؛ مساوات میں ڈالیں ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0۔

24. مشکل – مساوات x² – (a + 1)x + 2a = 0 کی ایک جڑ دوسری جڑ سے دگنی ہے۔ تو a برابر ہے
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: اختیار C۔ مان لیں جڑیں r, 2r؛ مجموعہ 3r = a + 1، حاصل ضرب 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (دوبارہ چیک کریں، مطمئن کرتا ہے)۔

25. مشکل – اگر (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3)، تو x برابر ہے
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: اختیار D۔ شناخت: اگر a + b + c = 0 تو a³ + b³ + c³ = 3abc۔ یہاں (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2۔

فوری شارٹ کٹس اور تجاویز

1. اختیار ڈالنے کا طریقہ: یک درجی مساوات → اختیارات کو درمیانے اختیار (C) سے شروع کر کے واپس ڈالیں تاکہ 10 سیکنڈ بچیں۔
2. ممیز یاد رکھیں: برابر جڑوں کے لیے، D = 0؛ ناطق جڑوں کے لیے، D ایک مکمل مربع ہونا چاہیے۔
3. تناظر کی چال: جب بھی a + b + c = 0 ہو، یاد رکھیں a³ + b³ + c³ = 3abc (سوال 25)۔
4. کمپونینڈو-ڈیویڈینڈو: تناسب پر مبنی عمر کے مسائل کے لیے مفید — تناسب کو فوری طور پر مساوات میں تبدیل کریں۔
5. آخری ہندسے کی چیک: قوت نما کے سوالات میں، صرف آخری ہندسہ چکر کاٹتا ہے (2 کی بنیاد کے لیے 2,4,8,6) – اختیارات کو تیزی سے خارج کرنے کے لیے استعمال کریں۔