बीजगणित अभ्यास
संक्षिप्त सिद्धांत अवलोकन
बीजगणित गणित की वह शाखा है जो अज्ञात मात्राओं को दर्शाने के लिए प्रतीकों (चरों) का प्रयोग करती है। रेलवे परीक्षाओं में आप मुख्यतः रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, सर्वसमिकाएँ, गुणनखंडन और शब्द-समस्याओं से निपटेंगे। एक चर वाला रैखिक समीकरण मानक रूप ax + b = 0 होता है जिसका हल x = –b/a है। द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को या तो गुणनफल-विभाजन द्वारा या द्विघात सूत्र x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a से हल किया जाता है। याद रखें, विविक्तकर D = b² – 4ac आपको मूलों की प्रकृति बताता है: D > 0 (वास्तविक और भिन्न), D = 0 (वास्तविक और समान) और D < 0 (काल्पनिक)।
समीकरणों को हल करने के अलावा, रेलवे पेपर आपकी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², आदि), करणियों और घातांकों के सरलीकरण, और शब्द-कथनों (उम्र, चाल-दूरी, कार्य-समय) से समीकरण बनाने की गति परीक्षित करते हैं। मानसिक गुणनखंडन में तेजी और “प्रश्न को उल्टा पढ़ना” (अर्थात् पहले विकल्पों की जाँच करना) सीखने से प्रति प्रश्न 10–15 सेकंड बचते हैं, जो स्टेज-I CBT में जब आपके पास प्रति MCQ मात्र 60 सेकंड होते हैं, तो महत्वपूर्ण होता है।
बहुविकल्पीय प्रश्न
- आसान – यदि 3x – 7 = 14, तो x बराबर है
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
उत्तर
सही: विकल्प C. 3x = 21 ⇒ x = 7.- आसान – दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 64 है। छोटी संख्या है
A. 29
B. 31
C. 33
D. 35
उत्तर
सही: विकल्प B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.- आसान – यदि x² – 9 = 0, तो x का धनात्मक मान है
A. 0
B. 3
C. –3
D. 9
उत्तर
सही: विकल्प B. x² = 9 ⇒ x = ±3, धनात्मक मूल 3.- आसान – (a + b)² – (a – b)² का मान है
A. 0
B. 2ab
C. 4ab
D. 2(a² + b²)
उत्तर
सही: विकल्प C. सर्वसमिका सरलीकृत होकर 4ab हो जाती है.- आसान – यदि 2x + 3y = 12 और x = 3, तो y बराबर है
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
उत्तर
सही: विकल्प A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.- आसान – x² – 5x + 6 के गुणनखंड हैं
A. (x – 1)(x – 6)
B. (x – 2)(x – 3)
C. (x + 2)(x – 3)
D. (x + 1)(x – 6)
उत्तर
सही: विकल्प B. मध्य पद –5x को –2x –3x में विभाजित किया गया.- आसान – यदि 5^(x+1) = 125, तो x बराबर है
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
उत्तर
सही: विकल्प B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.- मध्यम – द्विघात समीकरण x² – 8x + 15 = 0 के मूल हैं
A. 3, 5
B. –3, –5
C. 2, 6
D. 4, 4
उत्तर
सही: विकल्प A. गुणनखंड (x – 3)(x – 5) = 0.- मध्यम – एक ट्रेन 3 घंटे के लिए अपनी चाल 10 km/h बढ़ाने पर 60 km अधिक चलती है. मूल चाल है
A. 30 km/h
B. 40 km/h
C. 50 km/h
D. 60 km/h
उत्तर
सही: विकल्प C. माना मूल चाल x km/h; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.१०. मध्यम – यदि 2x² – kx + 8 = 0 के मूल समान हैं, तो k बराबर है
A. ±4
B. ±8
C. ±16
D. ±32
उत्तर
सही: विकल्प B. विभेदक k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.११. मध्यम – यदि x + 1/x = 5, तो x² + 1/x² बराबर है
A. 23
B. 24
C. 25
D. 27
उत्तर
सही: विकल्प A. दोनों पक्षों का वर्ग करें: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.१२. मध्यम – (256)^(3/4) का मान है
A. 64
B. 128
C. 32
D. 16
उत्तर
सही: विकल्प A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.१३. मध्यम – यदि 3x – 2y = 7 और 2x + 3y = 1, तो x – y बराबर है
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
उत्तर
सही: विकल्प B. एक साथ हल करें: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.१४. मध्यम – 3x² – 12x + 9 = 0 के मूलों का योग है
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
उत्तर
सही: विकल्प B. योग = –(–12)/3 = 4.१५. मध्यम – यदि a – b = 5 और ab = 24, तो a² + b² बराबर है
A. 49
B. 53
C. 73
D. 79
उत्तर
सही: विकल्प C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.१६. कठिन – यदि x = √(7 + 4√3), तो x + 1/x बराबर है
A. 2√3
B. 4
C. 2√7
D. 6
उत्तर
सही: विकल्प B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.- कठिन – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 के वास्तविक मूलों की संख्या है
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
उत्तर
सही: विकल्प D. मान लीजिए y = |x – 3| ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 या 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 वास्तविक मूल।- कठिन – यदि (x + 1)² + (x – 1)² = 10, तो सभी संभावित x का योग है
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
उत्तर
सही: विकल्प A. सरल करने पर 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; योग = 0।- कठिन – एक आदमी अपने बेटे से 4 गुना बड़ा है। 8 वर्षों बाद वह 2.5 गुना हो जाएगा। बेटे की वर्तमान आयु?
A. 8 वर्ष
B. 10 वर्ष
C. 12 वर्ष
D. 16 वर्ष
उत्तर
सही: विकल्प A. मान लीजिए बेटा = x, आदमी = 4x; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8।- कठिन – यदि (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca), तो a³ + b³ + c³ – 3abc का मान है
A. 0
B. 1
C. 3
D. 9
उत्तर
सही: विकल्प A. दी गई शर्त से a = b = c ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0।- कठिन – यदि 2^x · 3^y = 72 और 2^y · 3^x = 108, तो x + y बराबर है
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
उत्तर
सही: विकल्प C. समीकरणों को विभाजित करने पर (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; गुणा करने पर 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7।- कठिन – 2x² – 8x + 11 का न्यूनतम मान है
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
उत्तर
सही: विकल्प B. पूर्ण वर्ग बनाने पर: 2(x – 2)² + 3 ⇒ न्यूनतम मान 3, x = 2 पर।२३. कठिन – यदि x = 1/(√2 + 1), तो x² + 2x – 1 बराबर
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
उत्तर
सही: विकल्प A. x = √2 – 1 का परिमेयीकरण करें; प्रतिस्थापित करने पर ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.२४. कठिन – x² – (a + 1)x + 2a = 0 का एक मूल दूसरे का दुगुना है. तब a बराबर
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9
उत्तर
सही: विकल्प C. माने मूल r, 2r; योग 3r = a + 1, गुणनफल 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (पुनः जाँच करें कि संतुष्ट करता है).२५. कठिन – यदि (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3), तो x बराबर
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2.5
उत्तर
सही: विकल्प D. सर्वसमिका: यदि a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc. यहाँ (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.त्वरित शॉर्टकट और टिप्स
- विकल्प-प्रतिस्थापन: रैखिक समीकरणों → विकल्पों को मध्य विकल्प (C) से शुरू करके वापस प्रतिस्थापित करें ताकि 10 सेकंड बचें।
- विचरणक स्मरण: समान मूलों के लिए, D = 0; परिमेय मूलों के लिए, D एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
- सममिति ट्रिक: जब भी a + b + c = 0 हो, याद रखें a³ + b³ + c³ = 3abc (प्रश्न २५)।
- कॉम्पोनेन्डो-डिविडेन्डो: अनुपात-आधारित आयु समस्याओं के लिए उपयोगी—अनुपातों को तुरंत समीकरणों में बदलें।
- अंतिम अंक जाँच: घातांक/पावर प्रश्नों में, केवल अंतिम अंक चक्रित होता है (आधार 2 के लिए 2,4,8,6) — विकल्पों को तेजी से हटाने के लिए उपयोग करें।
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