സംക്ഷിപ്ത സിദ്ധാന്ത അവലോകനം

ബീജഗണിതം അജ്ഞാത അളവുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ചിഹ്നങ്ങൾ (ചരങ്ങൾ) ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണ്. റെയിൽവേ പരീക്ഷകളിൽ നിങ്ങൾ പ്രധാനമായും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ, ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങൾ, സർവ്വസമവാക്യങ്ങൾ, ഘടകക്രിയ, വാക്കുപ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവ കൈകാര്യം ചെയ്യും. ഒരു ചരത്തിലുള്ള രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് ax + b = 0 എന്ന സാധാരണ രൂപമുണ്ട്, അതിന്റെ പരിഹാരം x = –b/a ആണ്. ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങൾ ax² + bx + c = 0 ഘടകവിഭജനം അല്ലെങ്കിൽ ദ്വിമാന സൂത്രവാക്യം x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. ഓർക്കുക, വിവേചകം D = b² – 4ac വേരുകളുടെ സ്വഭാവം നിങ്ങളോട് പറയുന്നു: D > 0 (യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവും), D = 0 (യഥാർത്ഥവും തുല്യവും), D < 0 (സങ്കീർണ്ണവും).

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പുറമേ, റെയിൽവേ പേപ്പറുകൾ ബീജഗണിത സർവ്വസമവാക്യങ്ങളിൽ (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², മുതലായവ), അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെയും കൃതികളുടെയും ലഘൂകരണം, വാക്കുകളിൽ നിന്നുള്ള പ്രസ്താവനകളിൽ നിന്ന് സമവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തൽ (വയസ്സ്, വേഗത-ദൂരം, ജോലി-സമയം) എന്നിവയിൽ നിങ്ങളുടെ വേഗത പരിശോധിക്കുന്നു. വേഗത്തിലുള്ള മാനസിക ഘടകക്രിയ പാണ്ഡിത്യം നേടുകയും “ചോദ്യം പിന്നിലേക്ക് വായിക്കാൻ” (അതായത് ആദ്യം ഓപ്ഷനുകൾ പരിശോധിക്കുക) പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 10–15 സെക്കൻഡ് ലാഭിക്കുന്നു, ഇത് സ്റ്റേജ്-I CBT-ൽ ഓരോ MCQ-ക്കും വെറും 60 സെക്കൻഡ് മാത്രമുള്ളപ്പോൾ നിർണായകമാണ്.

ബഹുവികൽപ്പ ചോദ്യങ്ങൾ

1. എളുപ്പം – 3x – 7 = 14 ആണെങ്കിൽ, x എന്നത് തുല്യമാണ്
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. എളുപ്പം – രണ്ട് തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 64 ആണ്. ചെറിയ സംഖ്യ
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. എളുപ്പം – x² – 9 = 0 ആണെങ്കിൽ, x ന്റെ ധനാത്മക മൂല്യം
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ധനാത്മക വർഗ്ഗമൂലം 3.

4. എളുപ്പം – (a + b)² – (a – b)² ന്റെ മൂല്യം
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ C. സർവ്വസമവാക്യം 4ab ആയി ലഘൂകരിക്കുന്നു.

5. എളുപ്പം – 2x + 3y = 12 ഉം x = 3 ഉം ആണെങ്കിൽ, y എന്നത് തുല്യമാണ്
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. എളുപ്പം – x² – 5x + 6 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. മധ്യപദം വിഭജിക്കുക –5x = –2x –3x.

7. എളുപ്പം – 5^(x+1) = 125 ആണെങ്കിൽ, x എന്നത് തുല്യമാണ്
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. ഇടത്തരം – x² – 8x + 15 = 0 എന്ന ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. ഘടകക്രിയ (x – 3)(x – 5) = 0.

9. ഇടത്തരം – ഒരു ട്രെയിൻ അതിന്റെ വേഗത 10 km/h വർദ്ധിപ്പിച്ചാൽ 3 മണിക്കൂറിൽ 60 കി.മീ കൂടുതൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ വേഗത
   A. 30 km/h
   B. 40 km/h
   C. 50 km/h
   D. 60 km/h

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ C. യഥാർത്ഥ വേഗത x km/h ആയിരിക്കട്ടെ; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. ഇടത്തരം – 2x² – kx + 8 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, k എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. വിവേചകം k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. ഇടത്തരം – x + 1/x = 5 ആണെങ്കിൽ, x² + 1/x² എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. ഇരുവശവും വർഗ്ഗം ചെയ്യുക: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. ഇടത്തരം – (256)^(3/4) ന്റെ മൂല്യം
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. ഇടത്തരം – 3x – 2y = 7 ഉം 2x + 3y = 1 ഉം ആണെങ്കിൽ, x – y എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. ഒരേസമയം പരിഹരിക്കുക: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. ഇടത്തരം – 3x² – 12x + 9 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. ആകെത്തുക = –(–12)/3 = 4.

15. ഇടത്തരം – a – b = 5 ഉം ab = 24 ഉം ആണെങ്കിൽ, a² + b² എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. കഠിനം – x = √(7 + 4√3) ആണെങ്കിൽ, x + 1/x എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² എന്ന് എഴുതുക ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. കഠിനം – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ എണ്ണം
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ D. y = |x – 3| ആയിരിക്കട്ടെ ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 അല്ലെങ്കിൽ 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 യഥാർത്ഥ വേരുകൾ.

18. കഠിനം – (x + 1)² + (x – 1)² = 10 ആണെങ്കിൽ, സാധ്യമായ എല്ലാ x ന്റെയും ആകെത്തുക
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. ലഘൂകരിച്ച് 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; ആകെത്തുക = 0.

19. കഠിനം – ഒരു മനുഷ്യൻ തന്റെ മകന്റെ വയസ്സിന്റെ 4 മടങ്ങ് വയസ്സുള്ളവനാണ്. 8 വർഷം കഴിഞ്ഞാൽ അയാൾ 2.5 മടങ്ങ് വയസ്സുള്ളവനാകും. മകന്റെ ഇപ്പോഴത്തെ വയസ്സ്?
    A. 8 വ
    B. 10 വ
    C. 12 വ
    D. 16 വ

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. മകൻ = x, മനുഷ്യൻ = 4x ആയിരിക്കട്ടെ; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. കഠിനം – (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca) ആണെങ്കിൽ, a³ + b³ + c³ – 3abc യുടെ മൂല്യം
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥ a = b = c എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. കഠിനം – 2^x · 3^y = 72 ഉം 2^y · 3^x = 108 ഉം ആണെങ്കിൽ, x + y എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ C. സമവാക്യങ്ങൾ ഹരിക്കുക ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; ഗുണിക്കുക ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. കഠിനം – 2x² – 8x + 11 ന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ B. പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാക്കുക: 2(x – 2)² + 3 ⇒ x = 2 ആകുമ്പോൾ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം 3.

23. കഠിനം – x = 1/(√2 + 1) ആണെങ്കിൽ, x² + 2x – 1 എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ A. യുക്തീകരിക്കുക x = √2 – 1; മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. കഠിനം – x² – (a + 1)x + 2a = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വേര് മറ്റേതിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. അപ്പോൾ a എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ C. വേരുകൾ r, 2r ആയിരിക്കട്ടെ; ആകെത്തുക 3r = a + 1, ഗുണനഫലം 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (വീണ്ടും പരിശോധിച്ച് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു).

25. കഠിനം – (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3) ആണെങ്കിൽ, x എന്നത് തുല്യമാണ്
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

ഉത്തരംശരി: ഓപ്ഷൻ D. സർവ്വസമവാക്യം: a + b + c = 0 ആണെങ്കിൽ a³ + b³ + c³ = 3abc. ഇവിടെ (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

വേഗതയുള്ള കുറുക്കുവഴികളും നുറുങ്ങുകളും

1. ഓപ്ഷൻ-പ്ലഗ്ഗിംഗ്: രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ → മധ്യ ഓപ്ഷൻ (C) ആരംഭിച്ച് ഓപ്ഷനുകൾ തിരികെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, 10 സെക്കൻഡ് ലാഭിക്കാൻ.
2. വിവേചകം ഓർമ്മിക്കുക: തുല്യ വേരുകൾക്ക്, D = 0; യുക്തിസഹമായ വേരുകൾക്ക്, D ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമായിരിക്കണം.
3. സമമിതി തന്ത്രം: എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും a + b + c = 0 ആണെങ്കിൽ, a³ + b³ + c³ = 3abc (Q25) എന്ന് ഓർക്കുക.
4. കോമ്പോണെൻഡോ-ഡിവിഡെൻഡോ: അനുപാതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വയസ്സ് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദം—അനുപാതങ്ങൾ തൽക്ഷണം സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുക.
5. അവസാന അക്കം പരിശോധന: കൃതികൾ/ഘാത ചോദ്യങ്ങളിൽ, അവസാന അക്കം മാത്രം ചാക്രികമായി മാറുന്നു (അടിസ്ഥാനം 2 ന് 2,4,8,6) – ഓപ്ഷനുകൾ വേഗത്തിൽ ഒഴിവാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുക.