ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅವಲೋಕನ

ಬೀಜಗಣಿತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು (ಚರಾಕ್ಷರಗಳು) ಬಳಸುತ್ತದೆ. ರೈಲ್ವೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸರಾಸರಿಗಳು, ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪದ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ ax + b = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರ x = –b/a ಆಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ax² + bx + c = 0 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನ-ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಅಥವಾ ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೆನಪಿಡಿ, ವಿವೇಚಕ D = b² – 4ac ಬೇರುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ: D > 0 (ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ), D = 0 (ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಸಮಾನ) ಮತ್ತು D < 0 (ಸಂಕೀರ್ಣ).

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ರೈಲ್ವೇ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು ನಿಮ್ಮ ವೇಗವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗಳಲ್ಲಿ (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², ಇತ್ಯಾದಿ), ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಸರಳೀಕರಣ, ಮತ್ತು ಪದ-ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರಚನೆ (ವಯಸ್ಸು, ವೇಗ-ದೂರ, ಕೆಲಸ-ಸಮಯ) ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ತ್ವರಿತ ಮಾನಸಿಕ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು “ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನಿಂದ ಓದಲು” ಕಲಿಯುವುದು (ಅಂದರೆ ಮೊದಲು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು) ಪ್ರತಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ 10–15 ಸೆಕೆಂಡುಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಟೇಜ್-I CBT ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ MCQ ಗೆ ಕೇವಲ 60 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಇರುವಾಗ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಬಹು-ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

1. ಸುಲಭ – 3x – 7 = 14 ಆದರೆ, x ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. ಸುಲಭ – ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 64 ಆಗಿದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. ಸುಲಭ – x² – 9 = 0 ಆದರೆ, x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲ 3.

4. ಸುಲಭ – (a + b)² – (a – b)² ನ ಮೌಲ್ಯ
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ C. ಸರಾಸರಿಯು 4ab ಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

5. ಸುಲಭ – 2x + 3y = 12 ಮತ್ತು x = 3 ಆದರೆ, y ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. ಸುಲಭ – x² – 5x + 6 ನ ಅಪವರ್ತನಗಳು
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. ಮಧ್ಯದ ಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ –5x = –2x –3x.

7. ಸುಲಭ – 5^(x+1) = 125 ಆದರೆ, x ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. ಮಧ್ಯಮ – ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ x² – 8x + 15 = 0 ನ ಬೇರುಗಳು
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. ಅಪವರ್ತನ (x – 3)(x – 5) = 0.

9. ಮಧ್ಯಮ – ಒಂದು ರೈಲು 3 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗವು 10 ಕಿಮೀ/ಗಂ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ 60 ಕಿಮೀ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವೇಗ
   A. 30 ಕಿಮೀ/ಗಂ
   B. 40 ಕಿಮೀ/ಗಂ
   C. 50 ಕಿಮೀ/ಗಂ
   D. 60 ಕಿಮೀ/ಗಂ

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ C. ಮೂಲ ವೇಗ x ಕಿಮೀ/ಗಂ ಆಗಿರಲಿ; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. ಮಧ್ಯಮ – 2x² – kx + 8 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, k ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವೇಚಕ k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. ಮಧ್ಯಮ – x + 1/x = 5 ಆದರೆ, x² + 1/x² ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. ಮಧ್ಯಮ – (256)^(3/4) ನ ಮೌಲ್ಯ
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. ಮಧ್ಯಮ – 3x – 2y = 7 ಮತ್ತು 2x + 3y = 1 ಆದರೆ, x – y ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. ಮಧ್ಯಮ – 3x² – 12x + 9 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. ಮೊತ್ತ = –(–12)/3 = 4.

15. ಮಧ್ಯಮ – a – b = 5 ಮತ್ತು ab = 24 ಆದರೆ, a² + b² ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. ಕಠಿಣ – x = √(7 + 4√3) ಆದರೆ, x + 1/x ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. ಕಠಿಣ – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ವಾಸ್ತವಿಕ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ D. y = |x – 3| ಆಗಿರಲಿ ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 ಅಥವಾ 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 ವಾಸ್ತವಿಕ ಬೇರುಗಳು.

18. ಕಠಿಣ – (x + 1)² + (x – 1)² = 10 ಆದರೆ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ನ ಮೊತ್ತ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. ಸರಳೀಕರಿಸಿ 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; ಮೊತ್ತ = 0.

19. ಕಠಿಣ – ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ತನ್ನ ಮಗುವಿಗಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ವಯಸ್ಸಾದವನಾಗಿದ್ದಾನೆ. 8 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅವನು 2.5 ಪಟ್ಟು ವಯಸ್ಸಾದವನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ. ಮಗುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಯಸ್ಸು?
    A. 8 ವರ್ಷ
    B. 10 ವರ್ಷ
    C. 12 ವರ್ಷ
    D. 16 ವರ್ಷ

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. ಮಗು = x, ವ್ಯಕ್ತಿ = 4x ಆಗಿರಲಿ; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. ಕಠಿಣ – (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca) ಆದರೆ, a³ + b³ + c³ – 3abc ನ ಮೌಲ್ಯ
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. ನೀಡಲಾದ ಷರತ್ತು a = b = c ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. ಕಠಿಣ – 2^x · 3^y = 72 ಮತ್ತು 2^y · 3^x = 108 ಆದರೆ, x + y ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ C. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; ಗುಣಿಸಿ ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. ಕಠಿಣ – 2x² – 8x + 11 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ B. ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಮಾಡಿ: 2(x – 2)² + 3 ⇒ x = 2 ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ 3.

23. ಕಠಿಣ – x = 1/(√2 + 1) ಆದರೆ, x² + 2x – 1 ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ A. ತರ್ಕಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿ x = √2 – 1; ಬದಲಿಸಿ ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. ಕಠಿಣ – x² – (a + 1)x + 2a = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬೇರು ಇನ್ನೊಂದರ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಆಗಿದೆ. ಆಗ a ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ C. ಬೇರುಗಳು r, 2r ಆಗಿರಲಿ; ಮೊತ್ತ 3r = a + 1, ಗುಣಲಬ್ಧ 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (ಪುನಃ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ).

25. ಕಠಿಣ – (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3) ಆದರೆ, x ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: ಆಯ್ಕೆ D. ಸರಾಸರಿ: a + b + c = 0 ಆದರೆ a³ + b³ + c³ = 3abc. ಇಲ್ಲಿ (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

ತ್ವರಿತ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳು

1. ಆಯ್ಕೆ-ಸೇರಿಸುವಿಕೆ: ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು → ಮಧ್ಯದ ಆಯ್ಕೆ (C) ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿ ಸೇರಿಸಿ 10 ಸೆಕೆಂಡುಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿ.
2. ವಿವೇಚಕ ನೆನಪಿಡಿ: ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳಿಗೆ, D = 0; ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳಿಗೆ, D ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿರಬೇಕು.
3. ಸಮ್ಮಿತಿ ಟ್ರಿಕ್: ಯಾವಾಗಲೂ a + b + c = 0 ಆದಾಗ, a³ + b³ + c³ = 3abc ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ (ಪ್ರಶ್ನೆ 25).
4. ಕಂಪೋನೆಂಡೋ-ಡಿವಿಡೆಂಡೋ: ಅನುಪಾತ-ಆಧಾರಿತ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ—ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.
5. ಕೊನೆಯ-ಅಂಕಿ ಪರಿಶೀಲನೆ: ಘಾತಾಂಕ/ಶಕ್ತಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಚಕ್ರೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆಧಾರ 2 ಗೆ 2,4,8,6) – ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಬಳಸಿ.