સંક્ષિપ્ત સિદ્ધાંત સમીક્ષા

બીજગણિત એ ગણિતની એક શાખા છે જે અજ્ઞાત જથ્થાઓને દર્શાવવા માટે પ્રતીકો (ચલો) નો ઉપયોગ કરે છે. રેલવે પરીક્ષાઓમાં તમે મુખ્યત્વે રેખીય સમીકરણો, દ્વિઘાત સમીકરણો, સર્વસમીકરણો, અવયવીકરણ અને શબ્દ-સમસ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરશો. એક ચલમાં રેખીય સમીકરણનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ax + b = 0 હોય છે જેનો ઉકેલ x = –b/a છે. દ્વિઘાત સમીકરણો ax² + bx + c = 0 ને અવયવીકરણ દ્વારા અથવા દ્વિઘાત સૂત્ર x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. યાદ રાખો, વિવેચક D = b² – 4ac તમને મૂળની પ્રકૃતિ જણાવે છે: D > 0 (વાસ્તવિક અને અલગ), D = 0 (વાસ્તવિક અને સમાન) અને D < 0 (સંકીર્ણ).

સમીકરણો ઉકેલવા ઉપરાંત, રેલવે પેપરો તમારી ઝડપની પરીક્ષા બીજગણિતીય સર્વસમીકરણો (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², વગેરે), અસંકલિત સંખ્યાઓ અને ઘાતાંકોનું સરળીકરણ, અને શબ્દ-વિધાનોમાંથી સમીકરણો બનાવવા (ઉંમર, ઝડપ-અંતર, કાર્ય-સમય) માટે કરે છે. ઝડપી માનસિક અવયવીકરણમાં નિપુણતા અને “પ્રશ્નને ઊલટું વાંચવું” (એટલે કે પહેલા વિકલ્પો તપાસવા) શીખવાથી પ્રત્યેક પ્રશ્ન પર 10–15 સેકન્ડ બચે છે, જ્યારે તમારી પાસે Stage-I CBT માં પ્રત્યેક MCQ માટે માત્ર 60 સેકન્ડ હોય ત્યારે આ મહત્વપૂર્ણ છે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો

1. સરળ – જો 3x – 7 = 14, તો x બરાબર
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. સરળ – બે ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો 64 છે. નાની સંખ્યા છે
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. સરળ – જો x² – 9 = 0, તો x ની ધન કિંમત છે
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ધન મૂળ 3.

4. સરળ – (a + b)² – (a – b)² ની કિંમત છે
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. સર્વસમીકરણ 4ab માં સરળ થાય છે.

5. સરળ – જો 2x + 3y = 12 અને x = 3, તો y બરાબર
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. સરળ – x² – 5x + 6 ના અવયવો છે
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. મધ્યમ પદ –5x = –2x –3x માં વિભાજન કરો.

7. સરળ – જો 5^(x+1) = 125, તો x બરાબર
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. મધ્યમ – દ્વિઘાત સમીકરણ x² – 8x + 15 = 0 ના મૂળ છે
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. અવયવ (x – 3)(x – 5) = 0.

9. મધ્યમ – એક ટ્રેન 3 કલાકમાં તેની ઝડપ 10 km/h વધારવાથી 60 km વધુ મુસાફરી કરે છે. મૂળ ઝડપ છે
   A. 30 km/h
   B. 40 km/h
   C. 50 km/h
   D. 60 km/h

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. મૂળ ઝડપ x km/h લો; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. મધ્યમ – જો 2x² – kx + 8 = 0 ના મૂળ સમાન હોય, તો k બરાબર
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. વિવેચક k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. મધ્યમ – જો x + 1/x = 5, તો x² + 1/x² બરાબર
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. બંને બાજુ વર્ગ કરો: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. મધ્યમ – (256)^(3/4) ની કિંમત છે
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. મધ્યમ – જો 3x – 2y = 7 અને 2x + 3y = 1, તો x – y બરાબર
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. એકસાથે ઉકેલો: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. મધ્યમ – 3x² – 12x + 9 = 0 ના મૂળનો સરવાળો છે
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. સરવાળો = –(–12)/3 = 4.

15. મધ્યમ – જો a – b = 5 અને ab = 24, તો a² + b² બરાબર
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. કઠિન – જો x = √(7 + 4√3), તો x + 1/x બરાબર
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² લખો ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. કઠિન – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 ના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા છે
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: વિકલ્પ D. y = |x – 3| લો ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 અથવા 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 વાસ્તવિક મૂળ.

18. કઠિન – જો (x + 1)² + (x – 1)² = 10, તો બધા સંભવિત x નો સરવાળો છે
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. સરળ કરો: 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; સરવાળો = 0.

19. કઠિન – એક માણસ તેના પુત્ર કરતાં 4 ગણો વયનો છે. 8 વર્ષ પછી તે 2.5 ગણો વયનો હશે. પુત્રની વર્તમાન ઉંમર?
    A. 8 વર્ષ
    B. 10 વર્ષ
    C. 12 વર્ષ
    D. 16 વર્ષ

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. પુત્ર = x, માણસ = 4x લો; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. કઠિન – જો (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca), તો a³ + b³ + c³ – 3abc ની કિંમત છે
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. આપેલ શર્ત સૂચવે છે a = b = c ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. કઠિન – જો 2^x · 3^y = 72 અને 2^y · 3^x = 108, તો x + y બરાબર
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. સમીકરણો ભાગો ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; ગુણો ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. કઠિન – 2x² – 8x + 11 ની ન્યૂનતમ કિંમત છે
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. પૂર્ણ વર્ગ બનાવો: 2(x – 2)² + 3 ⇒ x = 2 પર ન્યૂનતમ કિંમત 3.

23. કઠિન – જો x = 1/(√2 + 1), તો x² + 2x – 1 બરાબર
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. x = √2 – 1 તર્કસંગત બનાવો; મૂકો ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. કઠિન – x² – (a + 1)x + 2a = 0 નું એક મૂળ બીજા કરતાં બમણું છે. તો a બરાબર
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. મૂળ r, 2r લો; સરવાળો 3r = a + 1, ગુણાકાર 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (ફરીથી તપાસો સંતોષે છે).

25. કઠિન – જો (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3), તો x બરાબર
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: વિકલ્પ D. સર્વસમીકરણ: જો a + b + c = 0 તો a³ + b³ + c³ = 3abc. અહીં (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

ઝડપી ટૂંકાણો અને ટીપ્સ

1. વિકલ્પ-દાખલ કરવો: રેખીય સમીકરણો → મધ્યમ પસંદગી (C) થી શરૂ કરી વિકલ્પો પાછા દાખલ કરો 10 s બચાવવા.
2. વિવેચક યાદ રાખો: સમાન મૂળ માટે, D = 0; તર્કસંગત મૂળ માટે, D એ એક પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
3. સંમિતિ યુક્તિ: જ્યારે પણ a + b + c = 0, યાદ રાખો a³ + b³ + c³ = 3abc (પ્રશ્ન 25).
4. યોગ-વિયોગ: ગુણોત્તર-આધારિત ઉંમરની સમસ્યાઓ માટે ઉપયોગી—ગુણોત્તરને તરત જ સમીકરણોમાં રૂપાંતરિત કરો.
5. છેલ્લો અંક તપાસો: ઘાતાંક/ઘાતના પ્રશ્નોમાં, માત્ર છેલ્લો અંક ચક્રીય હોય છે (આધાર 2 માટે 2,4,8,6) – વિકલ્પોને ઝડપથી દૂર કરવા માટે ઉપયોગ કરો.