সংক্ষিপ্ত তত্ত্বের সারসংক্ষেপ

বীজগণিত হল গণিতের সেই শাখা যা অজ্ঞাত রাশি প্রকাশ করতে প্রতীক (চলরাশি) ব্যবহার করে। রেলওয়ে পরীক্ষায় আপনি মূলত এক চলকযুক্ত রৈখিক সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, অভেদ, উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং শব্দ-সমস্যার সম্মুখীন হবেন। এক চলকযুক্ত একটি রৈখিক সমীকরণের আদর্শ রূপ হল ax + b = 0 যার সমাধান x = –b/a। দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 হয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ (ফ্যাক্টর-স্প্লিটিং) অথবা দ্বিঘাত সূত্র x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a দ্বারা সমাধান করা হয়। মনে রাখবেন, নিরূপক D = b² – 4ac আপনাকে মূলের প্রকৃতি বলে দেয়: D > 0 (বাস্তব ও পৃথক), D = 0 (বাস্তব ও সমান) এবং D < 0 (জটিল)।

সমীকরণ সমাধান ছাড়াও, রেলওয়ে প্রশ্নপত্রে বীজগণিতীয় অভেদ (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², ইত্যাদি), করণী ও সূচকের সরলীকরণ এবং শব্দ-বিবৃতি (বয়স, গতি-দূরত্ব, কাজ-সময়) থেকে সমীকরণ গঠনে আপনার দক্ষতা যাচাই করা হয়। দ্রুত মানসিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে দক্ষতা অর্জন এবং “প্রশ্নটি উল্টো দিক থেকে পড়া” (অর্থাৎ, প্রথমে বিকল্পগুলি যাচাই করা) শেখা প্রতি প্রশ্নে ১০-১৫ সেকেন্ড বাঁচায়, যা তখন অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যখন স্টেজ-আই সিবিটিতে আপনার কাছে প্রতি এমসিকিউ-এর জন্য মাত্র ৬০ সেকেন্ড সময় থাকে।

বহু-বিকল্প প্রশ্নাবলী

1. সহজ – যদি 3x – 7 = 14 হয়, তবে x-এর মান
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: বিকল্প C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. সহজ – দুটি পরপর বিজোড় সংখ্যার যোগফল 64। ছোট সংখ্যাটি হল
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: বিকল্প B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. সহজ – যদি x² – 9 = 0 হয়, তবে x-এর ধনাত্মক মান
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: বিকল্প B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ধনাত্মক মূল 3.

4. সহজ – (a + b)² – (a – b)² এর মান
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: বিকল্প C. অভেদটি সরল করে 4ab হয়।

5. সহজ – যদি 2x + 3y = 12 এবং x = 3 হয়, তবে y-এর মান
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: বিকল্প A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. সহজ – x² – 5x + 6 এর উৎপাদকগুলি হল
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: বিকল্প B. মধ্য পদ –5x কে –2x –3x এ বিভক্ত করুন।

7. সহজ – যদি 5^(x+1) = 125 হয়, তবে x-এর মান
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. মধ্যম – দ্বিঘাত সমীকরণ x² – 8x + 15 = 0 এর মূলগুলি হল
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: বিকল্প A. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (x – 3)(x – 5) = 0.

9. মধ্যম – একটি ট্রেন 3 ঘন্টায় 60 কিমি বেশি ভ্রমণ করে যদি এর গতি 10 কিমি/ঘ বেড়ে যায়। আসল গতি হল
   A. 30 কিমি/ঘ
   B. 40 কিমি/ঘ
   C. 50 কিমি/ঘ
   D. 60 কিমি/ঘ

AnswerCorrect: বিকল্প C. ধরি আসল গতি x কিমি/ঘ; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. মধ্যম – যদি 2x² – kx + 8 = 0 সমীকরণের মূলগুলি সমান হয়, তবে k-এর মান
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: বিকল্প B. নিরূপক k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. মধ্যম – যদি x + 1/x = 5 হয়, তবে x² + 1/x² এর মান
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: বিকল্প A. উভয় পক্ষ বর্গ করুন: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. মধ্যম – (256)^(3/4) এর মান
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: বিকল্প A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. মধ্যম – যদি 3x – 2y = 7 এবং 2x + 3y = 1 হয়, তবে x – y এর মান
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প B. একসাথে সমাধান করুন: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. মধ্যম – 3x² – 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলগুলির যোগফল
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: বিকল্প B. যোগফল = –(–12)/3 = 4.

15. মধ্যম – যদি a – b = 5 এবং ab = 24 হয়, তবে a² + b² এর মান
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: বিকল্প C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. কঠিন – যদি x = √(7 + 4√3) হয়, তবে x + 1/x এর মান
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: বিকল্প B. লিখুন 7 + 4√3 = (2 + √3)² ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. কঠিন – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 সমীকরণের বাস্তব মূলের সংখ্যা
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প D. ধরি y = |x – 3| ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 বা 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4টি বাস্তব মূল।

18. কঠিন – যদি (x + 1)² + (x – 1)² = 10 হয়, তবে x-এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প A. সরল করে 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; যোগফল = 0.

19. কঠিন – একজন ব্যক্তি তার পুত্রের বয়সের 4 গুণ বয়সী। 8 বছর পর তিনি পুত্রের বয়সের 2.5 গুণ বয়সী হবেন। পুত্রের বর্তমান বয়স?
    A. 8 বছর
    B. 10 বছর
    C. 12 বছর
    D. 16 বছর

AnswerCorrect: বিকল্প A. ধরি পুত্র = x, ব্যক্তি = 4x; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. কঠিন – যদি (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca) হয়, তবে a³ + b³ + c³ – 3abc এর মান
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: বিকল্প A. প্রদত্ত শর্তটি বোঝায় a = b = c ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. কঠিন – যদি 2^x · 3^y = 72 এবং 2^y · 3^x = 108 হয়, তবে x + y এর মান
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: বিকল্প C. সমীকরণ ভাগ করুন ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; গুণ করুন ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. কঠিন – 2x² – 8x + 11 এর সর্বনিম্ন মান
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: বিকল্প B. পূর্ণবর্গ সম্পূর্ণ করুন: 2(x – 2)² + 3 ⇒ x = 2-এ সর্বনিম্ন মান 3.

23. কঠিন – যদি x = 1/(√2 + 1) হয়, তবে x² + 2x – 1 এর মান
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: বিকল্প A. পরিমেয় করুন x = √2 – 1; মান বসান ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. কঠিন – x² – (a + 1)x + 2a = 0 সমীকরণের একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ। তাহলে a-এর মান
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: বিকল্প C. ধরি মূল r, 2r; যোগফল 3r = a + 1, গুণফল 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (পুনরায় যাচাই করে মানায়)।

25. কঠিন – যদি (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3) হয়, তবে x-এর মান
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: বিকল্প D. অভেদ: যদি a + b + c = 0 হয় তবে a³ + b³ + c³ = 3abc। এখানে (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

দ্রুত শর্টকাট ও টিপস

1. বিকল্প-সন্নিবেশ: রৈখিক সমীকরণ → মাঝের বিকল্প (C) দিয়ে শুরু করে বিকল্পগুলি পুনরায় বসিয়ে ১০ সেকেন্ড বাঁচান।
2. নিরূপক স্মরণ: সমান মূলের জন্য, D = 0; মূলদ মূলের জন্য, D একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে।
3. সাম্য কৌশল: যখনই a + b + c = 0 হয়, মনে রাখবেন a³ + b³ + c³ = 3abc (প্রশ্ন 25)।
4. যোজন-বিয়োজন: অনুপাত-ভিত্তিক বয়সের সমস্যায় কার্যকরী—অনুপাতকে তাত্ক্ষণিকভাবে সমীকরণে রূপান্তর করুন।
5. শেষ-অঙ্ক যাচাই: সূচক/ঘাতের প্রশ্নে, শুধুমাত্র শেষ অঙ্কটি চক্রাকারে আবর্তিত হয় (ভিত্তি 2-এর জন্য 2,4,8,6) – বিকল্পগুলি দ্রুত বাদ দিতে এটি ব্যবহার করুন।