సంక్షిప్త సిద్ధాంత సారాంశం

బీజగణితం అనేది గణితశాస్త్రంలోని ఒక శాఖ, ఇది తెలియని పరిమాణాలను సూచించడానికి చిహ్నాలను (చరరాశులు) ఉపయోగిస్తుంది. రైల్వే పరీక్షలలో మీరు ప్రధానంగా సరళ సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు, సర్వసమీకరణాలు, కారణాంక విభజన మరియు పద సమస్యలతో వ్యవహరిస్తారు. ఒక చరరాశిలోని సరళ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపం ax + b = 0 మరియు దాని సాధన x = –b/a. వర్గ సమీకరణాలు ax² + bx + c = 0 కారణాంక విభజన ద్వారా లేదా వర్గ సూత్రం x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a ద్వారా సాధించబడతాయి. గుర్తుంచుకోండి, విచక్షణి D = b² – 4ac మూలాల స్వభావాన్ని తెలియజేస్తుంది: D > 0 (వాస్తవ మరియు విభిన్న), D = 0 (వాస్తవ మరియు సమాన) మరియు D < 0 (సంకీర్ణ).

సమీకరణాలను సాధించడం తప్ప, రైల్వే పేపర్లు బీజగణిత సర్వసమీకరణాలలో (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², మొదలైనవి), అకరణీయ సంఖ్యలు & ఘాతాంకాల సూక్ష్మీకరణ మరియు పద-వివరణల నుండి సమీకరణాలను రూపొందించడంలో మీ వేగాన్ని పరీక్షిస్తాయి (వయస్సు, వేగం-దూరం, పని-సమయం). త్వరిత మానసిక కారణాంక విభజనను నేర్చుకోవడం మరియు “ప్రశ్నను వెనుక నుండి చదవడం” నేర్చుకోవడం (అంటే, ముందుగా ఎంపికలను తనిఖీ చేయడం) ప్రతి ప్రశ్నకు 10–15 సెకన్లు ఆదా చేస్తుంది, ఇది స్టేజ్-I CBTలో ప్రతి MCQకు కేవలం 60 సెకన్లు మాత్రమే ఉన్నప్పుడు చాలా కీలకం.

బహుళ-ఎంపిక ప్రశ్నలు

1. సులభం – 3x – 7 = 14 అయితే, x విలువ
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. సులభం – రెండు వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం 64. చిన్న సంఖ్య
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. సులభం – x² – 9 = 0 అయితే, x యొక్క ధనాత్మక విలువ
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ధనాత్మక మూలం 3.

4. సులభం – (a + b)² – (a – b)² విలువ
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. సర్వసమీకరణం సూక్ష్మీకరించగా 4ab.

5. సులభం – 2x + 3y = 12 మరియు x = 3 అయితే, y విలువ
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. సులభం – x² – 5x + 6 యొక్క కారణాంకాలు
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. మధ్య పదాన్ని విభజించండి –5x = –2x –3x.

7. సులభం – 5^(x+1) = 125 అయితే, x విలువ
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. మధ్యస్థం – వర్గ సమీకరణం x² – 8x + 15 = 0 యొక్క మూలాలు
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. కారణాంకం (x – 3)(x – 5) = 0.

9. మధ్యస్థం – ఒక రైలు వేగం 10 కి.మీ/గం పెరిగితే 3 గంటల్లో 60 కి.మీ ఎక్కువ ప్రయాణిస్తుంది. అసలు వేగం
   A. 30 కి.మీ/గం
   B. 40 కి.మీ/గం
   C. 50 కి.మీ/గం
   D. 60 కి.మీ/గం

సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. అసలు వేగం x కి.మీ/గం అనుకుందాం; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. మధ్యస్థం – 2x² – kx + 8 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు సమానమైతే, k విలువ
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. విచక్షణి k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. మధ్యస్థం – x + 1/x = 5 అయితే, x² + 1/x² విలువ
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. రెండు వైపులా వర్గం చేయండి: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. మధ్యస్థం – (256)^(3/4) విలువ
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. మధ్యస్థం – 3x – 2y = 7 మరియు 2x + 3y = 1 అయితే, x – y విలువ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. ఏకకాలంలో సాధించండి: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. మధ్యస్థం – 3x² – 12x + 9 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. మొత్తం = –(–12)/3 = 4.

15. మధ్యస్థం – a – b = 5 మరియు ab = 24 అయితే, a² + b² విలువ
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. కష్టం – x = √(7 + 4√3) అయితే, x + 1/x విలువ
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² అని రాయండి ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. కష్టం – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 సమీకరణం యొక్క వాస్తవ మూలాల సంఖ్య
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

సరైన సమాధానం: ఎంపిక D. y = |x – 3| అనుకుందాం ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 లేదా 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 వాస్తవ మూలాలు.

18. కష్టం – (x + 1)² + (x – 1)² = 10 అయితే, సాధ్యమయ్యే అన్ని x విలువల మొత్తం
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. సూక్ష్మీకరించగా 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; మొత్తం = 0.

19. కష్టం – ఒక వ్యక్తి తన కొడుకు వయస్సుకి 4 రెట్లు పెద్దవాడు. 8 సంవత్సరాల తర్వాత అతను 2.5 రెట్లు పెద్దవాడు అవుతాడు. కొడుకు ప్రస్తుత వయస్సు?
    A. 8 సం
    B. 10 సం
    C. 12 సం
    D. 16 సం

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. కొడుకు వయస్సు = x, వ్యక్తి వయస్సు = 4x అనుకుందాం; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. కష్టం – (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca) అయితే, a³ + b³ + c³ – 3abc విలువ
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. ఇచ్చిన షరతు a = b = c అని సూచిస్తుంది ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. కష్టం – 2^x · 3^y = 72 మరియు 2^y · 3^x = 108 అయితే, x + y విలువ
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. సమీకరణాలను భాగించండి ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; గుణించండి ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. కష్టం – 2x² – 8x + 11 యొక్క కనిష్ఠ విలువ
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. పూర్తి వర్గం: 2(x – 2)² + 3 ⇒ కనిష్ఠ విలువ 3, x = 2 వద్ద.

23. కష్టం – x = 1/(√2 + 1) అయితే, x² + 2x – 1 విలువ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. అకరణీయం చేయండి x = √2 – 1; ప్రతిక్షేపించండి ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. కష్టం – x² – (a + 1)x + 2a = 0 సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం మరొక మూలానికి రెట్టింపు. అప్పుడు a విలువ
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. మూలాలు r, 2r అనుకుందాం; మొత్తం 3r = a + 1, లబ్ధం 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (తిరిగి తనిఖీ చేయండి, సంతృప్తి పరుస్తుంది).

25. కష్టం – (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3) అయితే, x విలువ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

సరైన సమాధానం: ఎంపిక D. సర్వసమీకరణం: a + b + c = 0 అయితే a³ + b³ + c³ = 3abc. ఇక్కడ (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

త్వరిత సూక్ష్మమార్గాలు & చిట్కాలు

1. ఎంపికలను ప్రతిక్షేపించడం: సరళ సమీకరణాలు → మధ్య ఎంపిక (C) నుండి ప్రారంభించి ఎంపికలను తిరిగి ప్రతిక్షేపించండి, 10 సెకన్లు ఆదా చేయడానికి.
2. విచక్షణి గుర్తుంచుకోవడం: సమాన మూలాల కోసం, D = 0; అకరణీయ మూలాల కోసం, D ఖచ్చిత వర్గం అయి ఉండాలి.
3. సౌష్ఠవ ట్రిక్: ఎప్పుడైతే a + b + c = 0 అయితే, a³ + b³ + c³ = 3abc అని గుర్తుంచుకోండి (ప్రశ్న 25).
4. కంపోనెండో-డివిడెండో: నిష్పత్తి ఆధారిత వయస్సు సమస్యలకు ఉపయోగపడుతుంది—నిష్పత్తులను తక్షణంగా సమీకరణాలుగా మార్చండి.
5. చివరి అంకె తనిఖీ: ఘాతాంక/శక్తి ప్రశ్నలలో, చివరి అంకె మాత్రమే చక్రీయంగా మారుతుంది (ఆధారం 2 కోసం 2,4,8,6) – ఎంపికలను త్వరగా తొలగించడానికి ఉపయోగించండి.