ਸੰਖੇਪ ਸਿਧਾਂਤ ਸੰਖੇਪ

ਅਲਜਬਰਾ ਗਣਿਤ ਦੀ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਅਣਜਾਣ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ (ਚਲਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਰੇਲਵੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ, ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦ-ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠੋਗੇ। ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ax + b = 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਹੱਲ x = –b/a ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ax² + bx + c = 0 ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ-ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਵਿਤਕਰਾ D = b² – 4ac ਤੁਹਾਨੂੰ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ: D > 0 (ਅਸਲ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ), D = 0 (ਅਸਲ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ) ਅਤੇ D < 0 (ਸੰਯੁਕਤ)।

ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਰੇਲਵੇ ਪੇਪਰ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², ਆਦਿ), ਸਰਡਸ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸਰਲੀਕਰਨ, ਅਤੇ ਸ਼ਬਦ-ਕਥਨਾਂ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ (ਉਮਰ, ਗਤੀ-ਦੂਰੀ, ਕੰਮ-ਸਮਾਂ) ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਗਤੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਤੇਜ਼ ਮਾਨਸਿਕ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਾਹਰ ਹੋਣਾ ਅਤੇ “ਸਵਾਲ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਪੜ੍ਹਨਾ” (ਭਾਵ ਪਹਿਲਾਂ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ) ਸਿੱਖਣਾ ਪ੍ਰਤੀ ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 10-15 ਸਕਿੰਟ ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਸਟੇਜ-I CBT ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ MCQ ਮੁਸ਼ਕਿਲ ਨਾਲ 60 ਸਕਿੰਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ

1. ਸੌਖਾ – ਜੇਕਰ 3x – 7 = 14, ਤਾਂ x ਬਰਾਬਰ ਹੈ
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. ਸੌਖਾ – ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 64 ਹੈ। ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. ਸੌਖਾ – ਜੇਕਰ x² – 9 = 0, ਤਾਂ x ਦਾ ਧਨਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੈ
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ਧਨਾਤਮਕ ਮੂਲ 3.

4. ਸੌਖਾ – (a + b)² – (a – b)² ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ C. ਸਮਾਨਤਾ 4ab ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ.

5. ਸੌਖਾ – ਜੇਕਰ 2x + 3y = 12 ਅਤੇ x = 3, ਤਾਂ y ਬਰਾਬਰ ਹੈ
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. ਸੌਖਾ – x² – 5x + 6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. ਮੱਧ ਪਦ ਨੂੰ ਵੰਡੋ –5x = –2x –3x.

7. ਸੌਖਾ – ਜੇਕਰ 5^(x+1) = 125, ਤਾਂ x ਬਰਾਬਰ ਹੈ
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. ਦਰਮਿਆਨਾ – ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x² – 8x + 15 = 0 ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. ਗੁਣਨਖੰਡ (x – 3)(x – 5) = 0.

9. ਦਰਮਿਆਨਾ – ਇੱਕ ਰੇਲਗੱਡੀ 60 ਕਿਮੀ ਵੱਧ ਚਲਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੀ ਗਤੀ 3 ਘੰਟੇ ਲਈ 10 ਕਿਮੀ/ਘੰਟਾ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸਲੀ ਗਤੀ ਹੈ
   A. 30 ਕਿਮੀ/ਘੰਟਾ
   B. 40 ਕਿਮੀ/ਘੰਟਾ
   C. 50 ਕਿਮੀ/ਘੰਟਾ
   D. 60 ਕਿਮੀ/ਘੰਟਾ

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ C. ਮੰਨ ਲਓ ਅਸਲੀ ਗਤੀ x ਕਿਮੀ/ਘੰਟਾ; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. ਦਰਮਿਆਨਾ – ਜੇਕਰ 2x² – kx + 8 = 0 ਦੇ ਮੂਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ k ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਤਕਰਾ k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. ਦਰਮਿਆਨਾ – ਜੇਕਰ x + 1/x = 5, ਤਾਂ x² + 1/x² ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. ਦਰਮਿਆਨਾ – (256)^(3/4) ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. ਦਰਮਿਆਨਾ – ਜੇਕਰ 3x – 2y = 7 ਅਤੇ 2x + 3y = 1, ਤਾਂ x – y ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. ਇਕੱਠੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. ਦਰਮਿਆਨਾ – 3x² – 12x + 9 = 0 ਦੇ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. ਜੋੜ = –(–12)/3 = 4.

15. ਦਰਮਿਆਨਾ – ਜੇਕਰ a – b = 5 ਅਤੇ ab = 24, ਤਾਂ a² + b² ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. ਕਠਿਨ – ਜੇਕਰ x = √(7 + 4√3), ਤਾਂ x + 1/x ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. ਲਿਖੋ 7 + 4√3 = (2 + √3)² ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. ਕਠਿਨ – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 ਦੇ ਅਸਲ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ D. ਮੰਨ ਲਓ y = |x – 3| ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 ਜਾਂ 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 ਅਸਲ ਮੂਲ.

18. ਕਠਿਨ – ਜੇਕਰ (x + 1)² + (x – 1)² = 10, ਤਾਂ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ x ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. ਸਰਲ ਕਰੋ 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; ਜੋੜ = 0.

19. ਕਠਿਨ – ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਆਪਣੇ ਪੁੱਤਰ ਤੋਂ 4 ਗੁਣਾ ਵੱਡਾ ਹੈ। 8 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਹ 2.5 ਗੁਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਪੁੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ?
    A. 8 ਸਾਲ
    B. 10 ਸਾਲ
    C. 12 ਸਾਲ
    D. 16 ਸਾਲ

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. ਮੰਨ ਲਓ ਪੁੱਤਰ = x, ਆਦਮੀ = 4x; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. ਕਠਿਨ – ਜੇਕਰ (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca), ਤਾਂ a³ + b³ + c³ – 3abc ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. ਦਿੱਤੀ ਸ਼ਰਤ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ a = b = c ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. ਕਠਿਨ – ਜੇਕਰ 2^x · 3^y = 72 ਅਤੇ 2^y · 3^x = 108, ਤਾਂ x + y ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ C. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; ਗੁਣਾ ਕਰੋ ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. ਕਠਿਨ – 2x² – 8x + 11 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ: 2(x – 2)² + 3 ⇒ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ 3 x = 2 ‘ਤੇ.

23. ਕਠਿਨ – ਜੇਕਰ x = 1/(√2 + 1), ਤਾਂ x² + 2x – 1 ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ A. ਪਰਿਮੇਯ ਕਰੋ x = √2 – 1; ਇਸਨੂੰ ਰੱਖੋ ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. ਕਠਿਨ – x² – (a + 1)x + 2a = 0 ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਤਾਂ a ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ C. ਮੰਨ ਲਓ ਮੂਲ r, 2r; ਜੋੜ 3r = a + 1, ਗੁਣਨਫਲ 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (ਦੁਬਾਰਾ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ).

25. ਕਠਿਨ – ਜੇਕਰ (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3), ਤਾਂ x ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

ਜਵਾਬਸਹੀ: ਵਿਕਲਪ D. ਸਮਾਨਤਾ: ਜੇਕਰ a + b + c = 0 ਤਾਂ a³ + b³ + c³ = 3abc. ਇੱਥੇ (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

ਤੇਜ਼ ਛੋਟੇ ਰਸਤੇ ਅਤੇ ਸੁਝਾਅ

1. ਵਿਕਲਪ-ਪਲੱਗਿੰਗ: ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨ → ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਮੱਧ ਵਿਕਲਪ (C) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਪਲੱਗ ਕਰੋ ਤਾਂ 10 ਸਕਿੰਟ ਬਚਾਓ।
2. ਵਿਤਕਰਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ: ਬਰਾਬਰ ਮੂਲਾਂ ਲਈ, D = 0; ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਮੂਲਾਂ ਲਈ, D ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
3. ਸਮਰੂਪਤਾ ਚਾਲ: ਜਦੋਂ ਵੀ a + b + c = 0, ਯਾਦ ਰੱਖੋ a³ + b³ + c³ = 3abc (Q25)।
4. ਕੰਪੋਨੈਂਡੋ-ਡਿਵਿਡੈਂਡੋ: ਅਨੁਪਾਤ-ਅਧਾਰਿਤ ਉਮਰ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ—ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
5. ਆਖਰੀ ਅੰਕ ਜਾਂਚ: ਘਾਤਾਂਕ/ਘਾਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ਼ ਆਖਰੀ ਅੰਕ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਅਧਾਰ 2 ਲਈ 2,4,8,6) – ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।