சுருக்கமான கோட்பாட்டுப் பார்வை

இயற்கணிதம் என்பது அறியப்படாத அளவுகளைக் குறிக்க குறியீடுகளை (மாறிகள்) பயன்படுத்தும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். ரயில்வே தேர்வுகளில் நீங்கள் முக்கியமாக நேரியல் சமன்பாடுகள், இருபடிச் சமன்பாடுகள், முற்றொருமைகள், காரணிப்படுத்தல் மற்றும் சொல்-சிக்கல்களைக் கையாள்வீர்கள். ஒரு மாறியில் உள்ள நேரியல் சமன்பாடு ax + b = 0 என்ற நிலையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதன் தீர்வு x = –b/a ஆகும். இருபடிச் சமன்பாடுகள் ax² + bx + c = 0 ஆனது காரணி-பிரிப்பு முறையிலோ அல்லது இருபடிச் சூத்திரம் x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a மூலமாகவோ தீர்க்கப்படுகின்றன. நினைவில் கொள்ளுங்கள், பாகுபாடு D = b² – 4ac என்பது மூலங்களின் தன்மையைக் கூறுகிறது: D > 0 (மெய் மற்றும் வெவ்வேறு), D = 0 (மெய் மற்றும் சமம்) மற்றும் D < 0 (சிக்கலெண்).

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைத் தவிர, ரயில்வே தாள்கள் இயற்கணித முற்றொருமைகளில் (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², போன்றவை), விகிதமுறு மூலங்கள் & அடுக்குகளின் எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் சொல்-கூற்றுகளிலிருந்து (வயது, வேகம்-தூரம், வேலை-நேரம்) சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதில் உங்கள் வேகத்தை சோதிக்கின்றன. விரைவான மனக் காரணிப்படுத்தலை மாஸ்டர் செய்தல் மற்றும் “கேள்வியை பின்னோக்கி படிக்க” கற்றுக்கொள்வது (அதாவது முதலில் விருப்பங்களைச் சரிபார்த்தல்) ஒவ்வொரு கேள்விக்கும் 10–15 வினாடிகள் சேமிக்கிறது, இது Stage-I CBT-ல் ஒரு MCQ-க்கு சுமார் 60 வினாடிகள் மட்டுமே உள்ளபோது முக்கியமானது.

பலதேர்வு வினாக்கள்

1. எளிதானது – 3x – 7 = 14 எனில், x இன் மதிப்பு
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: விருப்பம் C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. எளிதானது – இரண்டு தொடர்ச்சியான ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை 64. சிறிய எண்
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: விருப்பம் B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. எளிதானது – x² – 9 = 0 எனில், x இன் நேர்ம மதிப்பு
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: விருப்பம் B. x² = 9 ⇒ x = ±3, நேர்ம மூலம் 3.

4. எளிதானது – (a + b)² – (a – b)² இன் மதிப்பு
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: விருப்பம் C. முற்றொருமை 4ab ஆக எளிமைப்படுகிறது.

5. எளிதானது – 2x + 3y = 12 மற்றும் x = 3 எனில், y இன் மதிப்பு
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: விருப்பம் A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. எளிதானது – x² – 5x + 6 இன் காரணிகள்
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: விருப்பம் B. நடுப்பகுதியைப் பிரி –5x = –2x –3x.

7. எளிதானது – 5^(x+1) = 125 எனில், x இன் மதிப்பு
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: விருப்பம் B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. நடுத்தரம் – x² – 8x + 15 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: விருப்பம் A. காரணி (x – 3)(x – 5) = 0.

9. நடுத்தரம் – ஒரு ரயில் அதன் வேகம் 10 கிமீ/மணி அதிகரித்தால் 3 மணி நேரத்தில் 60 கிமீ அதிகமாகப் பயணிக்கிறது. அசல் வேகம்
   A. 30 கிமீ/மணி
   B. 40 கிமீ/மணி
   C. 50 கிமீ/மணி
   D. 60 கிமீ/மணி

AnswerCorrect: விருப்பம் C. அசல் வேகம் x கிமீ/மணி என்க; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. நடுத்தரம் – 2x² – kx + 8 = 0 சமன்பாட்டின் மூலங்கள் சமமாக இருந்தால், k இன் மதிப்பு
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: விருப்பம் B. பாகுபாடு k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. நடுத்தரம் – x + 1/x = 5 எனில், x² + 1/x² இன் மதிப்பு
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: விருப்பம் A. இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. நடுத்தரம் – (256)^(3/4) இன் மதிப்பு
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: விருப்பம் A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. நடுத்தரம் – 3x – 2y = 7 மற்றும் 2x + 3y = 1 எனில், x – y இன் மதிப்பு
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: விருப்பம் B. ஒரே நேரத்தில் தீர்க்க: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. நடுத்தரம் – 3x² – 12x + 9 = 0 சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூட்டுத்தொகை
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: விருப்பம் B. கூட்டுத்தொகை = –(–12)/3 = 4.

15. நடுத்தரம் – a – b = 5 மற்றும் ab = 24 எனில், a² + b² இன் மதிப்பு
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: விருப்பம் C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. கடினம் – x = √(7 + 4√3) எனில், x + 1/x இன் மதிப்பு
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: விருப்பம் B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² என எழுதுக ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. கடினம் – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 சமன்பாட்டின் மெய் மூலங்களின் எண்ணிக்கை
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: விருப்பம் D. y = |x – 3| என்க ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 அல்லது 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4 மெய் மூலங்கள்.

18. கடினம் – (x + 1)² + (x – 1)² = 10 எனில், சாத்தியமான அனைத்து x இன் கூட்டுத்தொகை
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: விருப்பம் A. எளிமைப்படுத்த: 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; கூட்டுத்தொகை = 0.

19. கடினம் – ஒரு மனிதன் தனது மகனை விட 4 மடங்கு வயதானவர். 8 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் 2.5 மடங்கு வயதானவராக இருப்பார். மகனின் தற்போதைய வயது?
    A. 8 ஆ
    B. 10 ஆ
    C. 12 ஆ
    D. 16 ஆ

AnswerCorrect: விருப்பம் A. மகன் = x, மனிதன் = 4x என்க; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. கடினம் – (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca) எனில், a³ + b³ + c³ – 3abc இன் மதிப்பு
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: விருப்பம் A. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை a = b = c என்பதைக் குறிக்கிறது ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. கடினம் – 2^x · 3^y = 72 மற்றும் 2^y · 3^x = 108 எனில், x + y இன் மதிப்பு
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: விருப்பம் C. சமன்பாடுகளை வகுக்க ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; பெருக்க ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. கடினம் – 2x² – 8x + 11 இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: விருப்பம் B. முழு வர்க்கம்: 2(x – 2)² + 3 ⇒ குறைந்தபட்ச மதிப்பு 3, x = 2 இல்.

23. கடினம் – x = 1/(√2 + 1) எனில், x² + 2x – 1 இன் மதிப்பு
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: விருப்பம் A. விகிதமுறு கூட்டல்: x = √2 – 1; மதிப்பிடுக ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. கடினம் – x² – (a + 1)x + 2a = 0 சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற மூலத்தைப் போல இருமடங்கு எனில், a இன் மதிப்பு
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: விருப்பம் C. மூலங்கள் r, 2r என்க; கூட்டுத்தொகை 3r = a + 1, பெருக்கல் 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (மீண்டும் சரிபார்க்க பொருந்துகிறது).

25. கடினம் – (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3) எனில், x இன் மதிப்பு
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: விருப்பம் D. முற்றொருமை: a + b + c = 0 எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc. இங்கே (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

விரைவான குறுக்குவழிகள் & குறிப்புகள்

1. விருப்பம்-செருகுதல்: நேரியல் சமன்பாடுகள் → நடுத்தர விருப்பத்துடன் (C) தொடங்கி விருப்பங்களை மீண்டும் செருகுவது 10 வி சேமிக்கும்.
2. பாகுபாடு நினைவுகூரல்: சமமான மூலங்களுக்கு, D = 0; விகிதமுறு மூலங்களுக்கு, D ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்க வேண்டும்.
3. சமச்சீர் தந்திரம்: எப்போதாவது a + b + c = 0 எனில், a³ + b³ + c³ = 3abc (Q25) என நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
4. கம்போனெண்டோ-டிவிடெண்டோ: விகிதம்-அடிப்படையிலான வயது சிக்கல்களுக்கு பயனுள்ளது—விகிதங்களை உடனடியாக சமன்பாடுகளாக மாற்றுகிறது.
5. கடைசி-இலக்கம் சரிபார்த்தல்: அடுக்கு/சக்தி கேள்விகளில், கடைசி இலக்கம் மட்டுமே சுழற்சி முறையில் வரும் (அடி எண் 2 க்கு 2,4,8,6) – விருப்பங்களை விரைவாக நீக்க இதைப் பயன்படுத்தவும்.