ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ସମୀକ୍ଷା

ବୀଜଗଣିତ ହେଉଛି ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା ଯାହା ଅଜ୍ଞାତ ପରିମାଣକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବା ପାଇଁ ପ୍ରତୀକ (ଚଳରାଶି) ବ୍ୟବହାର କରେ | ରେଳବାଇ ପରୀକ୍ଷାରେ ଆପଣ ମୁଖ୍ୟତଃ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ, ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ, ସର୍ବସମୀକରଣ, ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଏବଂ ଶବ୍ଦ-ସମସ୍ୟା ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବେ | ଗୋଟିଏ ଚଳରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ମାନକ ରୂପ ax + b = 0 ଯାହାର ସମାଧାନ x = –b/a | ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 କୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ବିଧି କିମ୍ବା ଦ୍ୱିଘାତୀ ସୂତ୍ର x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଏ | ମନେରଖନ୍ତୁ, ବିଵେଚକ D = b² – 4ac ଆପଣଙ୍କୁ ମୂଳର ପ୍ରକୃତି କହିଦିଏ: D > 0 (ବାସ୍ତବ ଏବଂ ଭିନ୍ନ), D = 0 (ବାସ୍ତବ ଏବଂ ସମାନ) ଏବଂ D < 0 (ଜଟିଳ) |

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ବ୍ୟତୀତ, ରେଳବାଇ ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ର ଆପଣଙ୍କ ଗତିଶୀଳତାକୁ ବୀଜଗଣିତ ସର୍ବସମୀକରଣ (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², ଇତ୍ୟାଦି), ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଘାତାଙ୍କର ସରଳୀକରଣ, ଏବଂ ଶବ୍ଦ-ବିବରଣୀରୁ ସମୀକରଣ ଗଠନ (ବୟସ, ଗତି-ଦୂରତା, କାର୍ଯ୍ୟ-ସମୟ) କ୍ଷେତ୍ରରେ ପରୀକ୍ଷା କରେ | ଶୀଘ୍ର ମାନସିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଆୟତ୍ତ କରିବା ଏବଂ “ପ୍ରଶ୍ନକୁ ଓଲଟା ପଢିବା” (ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରଥମେ ବିକଳ୍ପଗୁଡିକ ଯାଞ୍ଚ କରିବା) ଶିଖିବା ପ୍ରତି ପ୍ରଶ୍ନରେ 10–15 ସେକେଣ୍ଡ ସଞ୍ଚୟ କରେ, ଯାହା ମହତ୍ତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଯେତେବେଳେ ଆପଣଙ୍କର Stage-I CBT ରେ ପ୍ରତି MCQ ପାଇଁ ମାତ୍ର 60 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ଅଛି |

ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନବଳୀ

1. ସହଜ – ଯଦି 3x – 7 = 14, ତେବେ x ସମାନ
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: Option C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. ସହଜ – ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 64 | ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: Option B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. ସହଜ – ଯଦି x² – 9 = 0, ତେବେ x ର ଧନାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: Option B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ଧନାତ୍ମକ ମୂଳ 3.

4. ସହଜ – (a + b)² – (a – b)² ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: Option C. ସର୍ବସମୀକରଣ ସରଳ ହୋଇ 4ab ହୁଏ |

5. ସହଜ – ଯଦି 2x + 3y = 12 ଏବଂ x = 3, ତେବେ y ସମାନ
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: Option A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. ସହଜ – x² – 5x + 6 ର ଉତ୍ପାଦକଗୁଡିକ ହେଉଛି
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: Option B. ମଧ୍ୟମ ପଦକୁ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ –5x = –2x –3x.

7. ସହଜ – ଯଦି 5^(x+1) = 125, ତେବେ x ସମାନ
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: Option B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. ମଧ୍ୟମ – ଦ୍ୱିଘାତୀ ସମୀକରଣ x² – 8x + 15 = 0 ର ମୂଳଗୁଡିକ ହେଉଛି
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: Option A. ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (x – 3)(x – 5) = 0.

9. ମଧ୍ୟମ – ଗୋଟିଏ ଟ୍ରେନ୍ 60 କିମି ଅଧିକ ଯାତ୍ରା କରେ ଯଦି ଏହାର ଗତି 3 ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ 10 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବୃଦ୍ଧି ପାଏ | ମୂଳ ଗତି ହେଉଛି
   A. 30 କିମି/ଘଣ୍ଟା
   B. 40 କିମି/ଘଣ୍ଟା
   C. 50 କିମି/ଘଣ୍ଟା
   D. 60 କିମି/ଘଣ୍ଟା

AnswerCorrect: Option C. ମୂଳ ଗତି x କିମି/ଘଣ୍ଟା ହେଉ; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି 2x² – kx + 8 = 0 ର ମୂଳଗୁଡିକ ସମାନ, ତେବେ k ସମାନ
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: Option B. ବିଵେଚକ k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି x + 1/x = 5, ତେବେ x² + 1/x² ସମାନ
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: Option A. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ବର୍ଗ କରନ୍ତୁ: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. ମଧ୍ୟମ – (256)^(3/4) ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: Option A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି 3x – 2y = 7 ଏବଂ 2x + 3y = 1, ତେବେ x – y ସମାନ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: Option B. ଏକସାଙ୍ଗରେ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. ମଧ୍ୟମ – 3x² – 12x + 9 = 0 ର ମୂଳଗୁଡିକର ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: Option B. ଯୋଗଫଳ = –(–12)/3 = 4.

15. ମଧ୍ୟମ – ଯଦି a – b = 5 ଏବଂ ab = 24, ତେବେ a² + b² ସମାନ
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: Option C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. କଠିନ – ଯଦି x = √(7 + 4√3), ତେବେ x + 1/x ସମାନ
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: Option B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² ଲେଖନ୍ତୁ ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. କଠିନ – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 ର ବାସ୍ତବ ମୂଳ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: Option D. ମନେକର y = |x – 3| ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 କିମ୍ବା 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ 4ଟି ବାସ୍ତବ ମୂଳ |

18. କଠିନ – ଯଦି (x + 1)² + (x – 1)² = 10, ତେବେ ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ x ର ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: Option A. ସରଳ କରି 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; ଯୋଗଫଳ = 0.

19. କଠିନ – ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ତାଙ୍କ ପୁଅଠାରୁ 4 ଗୁଣ ବୟସ୍କ | 8 ବର୍ଷ ପରେ ସେ 2.5 ଗୁଣ ବୟସ୍କ ହେବେ | ପୁଅର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ?
    A. 8 ବର୍ଷ
    B. 10 ବର୍ଷ
    C. 12 ବର୍ଷ
    D. 16 ବର୍ଷ

AnswerCorrect: Option A. ମନେକର ପୁଅ = x, ବ୍ୟକ୍ତି = 4x; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. କଠିନ – ଯଦି (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca), ତେବେ a³ + b³ + c³ – 3abc ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: Option A. ଦିଆଯାଇଥିବା ଶର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ a = b = c ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. କଠିନ – ଯଦି 2^x · 3^y = 72 ଏବଂ 2^y · 3^x = 108, ତେବେ x + y ସମାନ
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: Option C. ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ଭାଗ କରନ୍ତୁ ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. କଠିନ – 2x² – 8x + 11 ର ନ୍ୟୁନତମ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: Option B. ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କରନ୍ତୁ: 2(x – 2)² + 3 ⇒ x = 2 ରେ ନ୍ୟୁନତମ ମୂଲ୍ୟ 3.

23. କଠିନ – ଯଦି x = 1/(√2 + 1), ତେବେ x² + 2x – 1 ସମାନ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: Option A. ପରିମେୟକରଣ x = √2 – 1; ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. କଠିନ – x² – (a + 1)x + 2a = 0 ର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅନ୍ୟଟିର ଦୁଇଗୁଣ | ତେବେ a ସମାନ
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: Option C. ମନେକର ମୂଳ r, 2r; ଯୋଗଫଳ 3r = a + 1, ଗୁଣଫଳ 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (ପୁନର୍ବାର ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ) |

25. କଠିନ – ଯଦି (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3), ତେବେ x ସମାନ
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: Option D. ସର୍ବସମୀକରଣ: ଯଦି a + b + c = 0 ତେବେ a³ + b³ + c³ = 3abc | ଏଠାରେ (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

ଶୀଘ୍ର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ ଏବଂ ଟିପ୍ସ

1. ବିକଳ୍ପ-ପ୍ରୟୋଗ: ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ → ମଧ୍ୟମ ବିକଳ୍ପ (C) ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ବିକଳ୍ପଗୁଡିକୁ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରି 10 ସେକେଣ୍ଡ ସଞ୍ଚୟ କରନ୍ତୁ |
2. ବିଵେଚକ ସ୍ମରଣ: ସମାନ ମୂଳ ପାଇଁ, D = 0; ପରିମେୟ ମୂଳ ପାଇଁ, D ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ |
3. ସମମିତି ଟ୍ରିକ୍: ଯେତେବେଳେ a + b + c = 0, ମନେରଖନ୍ତୁ a³ + b³ + c³ = 3abc (Q25) |
4. ଯୋଗ-ଭାଗ ନିୟମ: ଅନୁପାତ ଆଧାରିତ ବୟସ ସମସ୍ୟା ପାଇଁ ଉପଯୋଗୀ—ଅନୁପାତକୁ ତତକ୍ଷଣାତ୍ ସମୀକରଣରେ ପରିଣତ କରନ୍ତୁ |
5. ଶେଷ-ଅଙ୍କ ଯାଞ୍ଚ: ଘାତାଙ୍କ/ଘାତ ପ୍ରଶ୍ନରେ, କେବଳ ଶେଷ ଅଙ୍କ ଚକ୍ରୀୟ ହୁଏ (ଆଧାର 2 ପାଇଁ 2,4,8,6) – ବିକଳ୍ପଗୁଡିକୁ ଶୀଘ୍ର ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ |